Urnenmodell

15.03.2013, 09:17

Jaminalie

Urnenmodell

Meine Frage:
In einer Urne sind 5 Kugeln, die erste hat einen Punkt, ... , die fünfte hat fünf Punkte. Es wird eine Kugel gezogen, die Punktzahl notiert, diese Kugel und zwei weitere mit der gleichen Punktzahl zurückgelegt.
A = "Ziehe beim ersten Mal weniger als 3 Punkte" ; B = "Ziehe beim zweiten Mal 2 Punkte"
Gesucht ist P(B/A) und P(B/?)

Meine Ideen:
Ich habe es mit folgender Formel ausgerechnet: $\begin{eqnarray*} P(B/A)=P(A\cap B)/P(A) \end{eqnarray*}$

Ich habe zuerst die Wahrscheinlichkeit für P(A) (2/5) und P(B) (4/35) berechnet. Dann P(B/A)= (2/5*4/35)/2/5=4/35

Ist dies richtig? Und wenn ja, gibt es dafür keinen simpleren Lösungsweg? Ich habe das Gefühl, dass sobald mehr Kugeln hinzukommen es zu komplex wird.

15.03.2013, 13:33

Kasen75

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Hallo,

du hast nicht berücksichtigt, dass die Ereignisse stochastisch abhängig sind. Es gilt dann folgende Formel:

$\begin{eqnarray*} P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{P(A|B) \cdot P(B)}{P(A)} \end{eqnarray*}$

Für P(A) habe ich auch $\begin{eqnarray*} \frac{2}{5} \end{eqnarray*}$ .

Sonst habe ich ein anderes Ergebnis. Damit es noch langsamer geht Big Laugh

, würde ich mal die Situation aufschreiben:

1. Ziehung 2. Ziehung

$\begin{eqnarray*} 1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1,1,1,2,3,4,5,6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

Anhand dieser Aufstellung kannst du $\begin{eqnarray*} P(B) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} P(A|B) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(B|A) \end{eqnarray*}$ ermitteln.

Grüße.

15.03.2013, 21:00

Jaminalie

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Danke dir schonmal für die Antwort smile

Leider hab ich es noch nicht so ganz verstanden.

Habe aber mal, wie du meintest, die Möglichkeiten aufgeschrieben.

Beim 1. Ziehen ist es ja recht einfach: $\begin{eqnarray*} 1, 2, 3, 4, 5 \end{eqnarray*}$
Beim 2. Ziehen bin ich auf folgendes gekommen:

$\begin{eqnarray*} 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5 1, 2, 2, 2, 3, 4, 5 1, 2, 3, 3, 3, 4, 5 1, 2, 3, 4, 4, 4, 5 1, 2, 3, 4, 5, 5, 5 \end{eqnarray*}$

Damit ergäbe sich eine Wahrscheinlichkeit für $\begin{eqnarray*} P(A)=\frac{2}{5} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(B)=\frac{1}{5} \end{eqnarray*}$ (bin ich durch 1/5 für den ersten Zug und dann mal 1/7 für die Wahrscheinlichkeit 1 "2" zu ziehen beim 2. Zug und anschließend nochmals mal 7 für die 7 möglichen "2"er)

Nun kenn ich die von dir genannte Formel noch nicht und bin mir nicht sicher ob diese Richtig angewandt wurde, da mir der Unterschied zwischen P(A/B) und P(B/A) auch nicht allzu klar ist. Ersteres bezeichnet die Wahrscheinlichkeit von A unter der Annahme, dass B eingetreten ist. Und bei P(B/A) genau andersrum, ja?

Jedenfalls bin ich auf folgendes Ergebnis gekommen:

$\begin{eqnarray*} P(B/A)=\frac{P(A/B)*P(B)}{P(A)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(B/A)=\frac{\left(\frac{2}{5}*\frac{1}{5} \right)*\frac{1}{5}}{\frac{2}{5} } =\frac{1}{25} \end{eqnarray*}$

Macht das irgendwie Sinn?

15.03.2013, 21:43

Kasen75

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Ich habe bei den Werten für $\begin{eqnarray*} P(A) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(B) \end{eqnarray*}$ dasselbe heraus. Freude

Auch die Darstellung der Ereignisse ist bei uns gleich.

Ich bin aber mir nicht ganz klar wie du zu P(B) gekommen bist. Kannst du das nochmal ein bisschen verständlicher schreiben:

Zitat:

(bin ich durch 1/5 für den ersten Zug und dann mal 1/7 für die Wahrscheinlichkeit 1 "2" zu ziehen beim 2. Zug und anschließend nochmals mal 7 für die 7 möglichen "2"er)

Was ich herauslese beziehst du die Wahrscheinlichkeit für A mit ein. Das ist aber nicht nötig, da ja nur nach $\begin{eqnarray*} P(B) \end{eqnarray*}$ gefragt ist.
Eine Rechnung würde auch nicht schaden.

Zitat:

...zwischen $\begin{eqnarray*} P(A/B) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(B/A) \end{eqnarray*}$ auch nicht allzu klar ist. Ersteres bezeichnet die Wahrscheinlichkeit von A unter der Annahme, dass B eingetreten ist. Und bei P(B/A) genau andersrum, ja?

Das ist richtig.

Jetzt mal zu Berechnung von $\begin{eqnarray*} P(A|B) \end{eqnarray*}$ . Ich habe andere Ergebnisse bei den bedingten Wahrscheinlichkeiten.

Wenn Ereignis B eingetreten ist, dann sind die möglichen Ereignisse die roten Ereignisse.

$\begin{eqnarray*} 1, 1, 1, \textcolor{red}{2}, 3, 4, 5 1, \textcolor{red}{2}, \textcolor{red}{2}, \textcolor{red}{2}, 3, 4, 5 1, \textcolor{red}{2}, 3, 3, 3, 4, 5 1, \textcolor{red}{2}, 3, 4, 4, 4, 5 1, \textcolor{red}{2}, 3, 4, 5, 5, 5 \end{eqnarray*}$

Wie groß dann die Wahrscheinlichkeit, dass vorher die 1 oder 2 gezogen wurde?
Tipp: Die 2er in den ersten beiden Zeilen sind die günstigen Ereignisse.

Grüße.

16.03.2013, 08:25

Jaminalie

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Vielen Dank schonmal! Nun sind mir ein paar Dinge klarer geworden smile

Ja, ich hatte bei P(B) wie folgt gerechnet:

$\begin{eqnarray*} P(B)=\frac{1}{5}*\frac{1}{7} *7 \end{eqnarray*}$

Aber wie du schon sagtest, habe ich P(A) mit einberechnet, da ich dachte man muss nun alle Möglichkeiten des ersten Zuges mit einberechnen. Ok, nun weiß ich das also auch Freude

Zitat:

Wenn Ereignis B eingetreten ist, dann sind die möglichen Ereignisse die roten Ereignisse.
Wie groß dann die Wahrscheinlichkeit, dass vorher die 1 oder 2 gezogen wurde

Nun hab ich auch verstanden was genau mit P(A/B) gemeint ist smile

Nun zur Berechnung fallen mir ein paar verschiedene Dinge ein :/
Mir ist klar, warum nur die ersten beiden Zeilen in Betracht kommen.
Die vier 2er bilden die günstigen Ereignisse wegen des Ereignisses P(B) und deshalb die 1er nicht, ja?
Nehme ich nun bei allen möglichen Fällen 14 oder 5?
Ich tendiere ja eher zu den 5, da es beim ersten Zug ja nur 5 Kugeln gab.

Sprich $\begin{eqnarray*} P(A/B)=\frac{4}{5} \end{eqnarray*}$

Ist das korrekt?

Setzt man dann alles in die von dir genannte Formel, kommt man auf:

$\begin{eqnarray*} P(B/A)=\frac{2}{5} \end{eqnarray*}$

Sollte dies falsch sein, könntest du mir bitte kurz das richtige Endergebnis nennen, damit ich solange rum rechnen kann bis ich weiß, dass ich auf dem richtigen Weg bin?

Danke dir nochmals vielmals. Es hat schonmal den ein oder anderen Schleier gelüftet.

16.03.2013, 09:32

Kasen75

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Zitat:

Die vier 2er bilden die günstigen Ereignisse wegen des Ereignisses P(B) und deshalb die 1er nicht, ja?

Die 1er sowieso nicht, da beim zweiten Ziehen (nur) eine 2 gezogen wird.

Zitat:

Nehme ich nun bei allen möglichen Fällen 14 oder 5 ?

Zumindest die 14 wird bei $\begin{eqnarray*} P(B|A) \end{eqnarray*}$ eine Rolle spielen. Dazu später mehr.

Jetzt nochmal zu $\begin{eqnarray*} P(A|B) \end{eqnarray*}$ . Die günstigen Ereignisse sind die 4 Zweier in den ersten beiden Zeilen des zweiten Zugs.

$\begin{eqnarray*} P(A|B) \end{eqnarray*}$ : Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei zweiten Ziehen eine 2 gezogen wird, wenn vorher eine 1 oder 2 gezogen wurde)

Die günstigen Ereignisse sind bei dir 4. $\begin{eqnarray*} \textcolor{blue}{\checkmark} \end{eqnarray*}$

Die möglichen Ereignisse sind die 2er die gezogen werden können, egal was voher gezogen wurde. Welche 2er können denn prinzipiell beim zweiten Ziehen gezogen werden?

Ich bin mir ziemlich sicher, dass du jetzt $\begin{eqnarray*} P(A|B) \end{eqnarray*}$ bestimmen kannst.

16.03.2013, 09:43

Jaminalie

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Die guenstigen sind 4 und die möglichen in dem Fall 7.

Also $\begin{eqnarray*} P(A|B)=\frac{4}{7} \end{eqnarray*}$

16.03.2013, 10:07

Kasen75

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Genau.

$\begin{eqnarray*} P(B|A) \end{eqnarray*}$ kannst du jetzt rechnerisch bestimmen.
Und du kannst es dir so herleiten, wie wir es bei $\begin{eqnarray*} P(A|B) \end{eqnarray*}$ gemacht haben.

Ich würde beides machen. smile

16.03.2013, 11:02

Jaminalie

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Pweh, schwere Geburt Big Laugh

Und nur nochmals für's eigene Verständnis. In dieser Aufgabe gibt

$\begin{eqnarray*} P(A|B) \end{eqnarray*}$ die Wahrscheinlichkeit an, dass beim 2. Zug eine $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ gezogen wird, wenn davor im 1. Zug eine $\begin{eqnarray*} 1 oder 2 \end{eqnarray*}$ gezogen wurde. Aber beachtet werden eigentlich nur die 2er für die möglichen Ereignisse, da $\begin{eqnarray*} P(A\cap B)=P(A|B)*P(B) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} P(B|A) \end{eqnarray*}$ die Wahrscheinlichkeit, dass beim 1. Zug eine $\begin{eqnarray*} 1 oder 2 \end{eqnarray*}$ gezogen wird, wenn ich weiß, dass im 2. Zug eine $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ gezogen wird.

Richtig?

Rechnerisch:

$\begin{eqnarray*} P(B|A)=\frac{P(A|B)*P(B)}{P(A)}=\frac{\frac{4}{7}*\frac{1}{5} }{\frac{2}{5} } =\frac{2}{7} \end{eqnarray*}$

Und sonst sind es wieder 4 günstige Ereignisse und 14 mögliche (alle $\begin{eqnarray*} 1er und 2er \end{eqnarray*}$ )

Somit $\begin{eqnarray*} \frac{4}{14}=\frac{2}{7} \end{eqnarray*}$

16.03.2013, 12:00

Kasen75

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Zitat:

Original von Jaminalie

In dieser Aufgabe gibt
$\begin{eqnarray*} P(A|B) \end{eqnarray*}$ die Wahrscheinlichkeit an, dass beim 2. Zug eine $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ gezogen wird, wenn davor im 1. Zug eine 1 oder 2 gezogen wurde.
...
$\begin{eqnarray*} P(B|A) \end{eqnarray*}$ die Wahrscheinlichkeit, dass beim 1. Zug eine 1 oder 2 gezogen wird, wenn ich weiß, dass im 2. Zug eine $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ gezogen wird.

Es ist genau anders herum. P(A|B) ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim 1. Ziehen eine 1 oder 2 gezogen wird, wenn beim 2. Ziehen eine 2 gezogen wird. Die möglichen Ereignisse sind dann alle 2er beim 2. Zug (7). Jetzt schaut man, wie die Wahrscheinlichkeit ist, dass vorher eine 1 oder 2 gezogen wurde.

Zitat:

Original von Jaminalie
Rechnerisch:

$\begin{eqnarray*} P(B|A)=\frac{P(A|B)*P(B)}{P(A)}=\frac{\frac{4}{7}*\frac{1}{5} }{\frac{2}{5} } =\frac{2}{7} \end{eqnarray*}$

Und sonst sind es wieder 4 günstige Ereignisse und 14 mögliche (alle 1er und 2er )

Somit $\begin{eqnarray*} \frac{4}{14}=\frac{2}{7} \end{eqnarray*}$

Genau.

Hier sind die möglichen Ereignisse die oberen 2 Reihen, da ja vorher eine 1 oder 2 gezogen wurde.

Im Gegensatz zu P(A|B). Hier sind die möglichen Ereignisse die roten 2er.

Grüße.

16.03.2013, 12:43

Jaminalie

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Perfekt

Lieben vielen Dank an dich! Tanzen

16.03.2013, 12:45

Kasen75

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Gerne.

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