Drachenviereck / 4 Punkte

16.03.2013, 15:45

iIamb02o1o

Drachenviereck / 4 Punkte

Gegeben sind die Punkte P(-4|9|3), Q(1|8|-2), R(6|3|-1) und S(1|8-2a|3a-2) ,mit a Element von IR und a>1.

Zeige, dass für alle a E von IR und a > 1 das Viereck PQRS ein Drachenviereck ist.

Warum muss a=1 ausgeschlossen werden?

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Habe jetzt gedacht PQ = QR und PS = SR aber da kommt für a bei PS = SR -> 1 raus. Verstehe die Aufgabe nicht ganz.

16.03.2013, 16:08

Leopold

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Was ist denn überhaupt ein Drachenviereck? Nun eines, bei dem eine Diagonale Symmetrieachse ist. Dazu müssen die beiden Diagonalen senkrecht aufeinander stehen, und der Mittelpunkt einer der beiden Diagonalen muß auf der anderen liegen. Wenn du das nachgewiesen hast, dann liegen die vier Punkte $\begin{eqnarray*} P,Q,R,S \end{eqnarray*}$ auch in einer Ebene, was ja auch nicht von vorneherein klar ist.
Du kannst natürlich auch Streckenlängen berechnen, wie du es vorgeschlagen hast. Aber irgendwie muß dann noch die Komplanarität von $\begin{eqnarray*} P,Q,R,S \end{eqnarray*}$ gezeigt werden.
Übrigens unterstellst du, daß $\begin{eqnarray*} QS \end{eqnarray*}$ die Symmetrieachse ist. Das könnte aber ebenso gut $\begin{eqnarray*} PR \end{eqnarray*}$ sein.

Falls diese Aufgabe Teil einer größeren Aufgabe ist, könnte es sein, daß einige der zu erbringenden Nachweise schon in vorigen Aufgabenteilen behandelt wurden.

16.03.2013, 16:33

iIamb02o1o

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So hier ist die ganze Aufgabe:

Bei a) hab ich für a = 2 raus.
Bei b) hab ich auch für a = 2 raus?

Und ja den Rest habe ich ja nicht verstanden ^^

[attach]29109[/attach]

Edit opi: Bild angehängt, Link entfernt. Bilder bitte immer direkt im Board hochladen.

16.03.2013, 16:54

Leopold

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a) ist richtig. Da jedes Rechteck ein Parallelogramm ist, kommt bei b) nur $\begin{eqnarray*} a=2 \end{eqnarray*}$ in Frage. Das heißt aber noch lange nicht, daß es mit $\begin{eqnarray*} a=2 \end{eqnarray*}$ auch geht. Hast du einmal überprüft, ob $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{PQ} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{QR} \end{eqnarray*}$ orthogonal sind?

Und zur Drachengeschichte habe ich bereits alles gesagt.

16.03.2013, 17:13

iIamb02o1o

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PQ * QR = 15

Also nicht orthogonal -> Also kein Rechteck?

16.03.2013, 17:23

Leopold

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Zitat:

Original von iIamb02o1o
PQ * QR = 15

Ich komme auf 25. Was aber nichts am Ergebnis ändert.

16.03.2013, 17:45

iIamb02o1o

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Ja stimmt hast recht.

Jetzt habe ich aber noch eine andere Frage, bei der nächsten Aufgabe habe
ich a) bis c) gelöst. Aber bei d) verstehe ich jetzt nicht was der Schnittpunkt S sein soll und Sa und Sb...

[attach]29110[/attach]

Freue mich nochmals über Hilfe =)

Edit opi: Bild angehängt, Link entfernt. Bilder bitte immer direkt im Board hochladen.

16.03.2013, 18:44

Leopold

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b) Für mich gibt es keine automatisch "richtige Reihenfolge" der Punkte $\begin{eqnarray*} A,B,C \end{eqnarray*}$ . Oder wurde das in diesem Buch irgendwie festgelegt?

d) Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich doch immer im Schwerpunkt $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ . Insofern weiß ich nicht ganz, was diese Aufgabe soll. Oder soll diese Elementarwissen als unbekannt vorausgesetzt werden? Dann müßtest du Gleichungen für die Seitenhalbierenden aufstellen und ihren Schnittpunkt $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ bestimmen. Und falls es daran liegt, daß du nicht weißt, was eine Seitenhalbierende ist: Die Seitenhalbierende $\begin{eqnarray*} s_a \end{eqnarray*}$ (hier irritiert mich der Großbuchstabe $\begin{eqnarray*} S_a \end{eqnarray*}$ , diese Bezeichnung ist absolut unüblich!) geht durch die Mitte der Seite $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und den Punkt $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} s_b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s_c \end{eqnarray*}$ gilt Entsprechendes.
Für den Ortsvektor $\begin{eqnarray*} \vec{s} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ solltest du $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \left( \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} \right) \end{eqnarray*}$ herausbekommen, wobei $\begin{eqnarray*} \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \end{eqnarray*}$ die Ortsvektoren von $\begin{eqnarray*} A,B,C \end{eqnarray*}$ sind. Aber anscheinend darfst du das nicht wissen ... merkwürdiger Aufgabenstil ...

16.03.2013, 19:16

iIamb02o1o

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Ja, das Aufgabenblatt ist echt komisch...
Ich hab jetzt bei b) irgendeine Reihenfolge gemacht.

Und bei d) hab ich jetzt den Schwerpunkt mit OS = 1/3 * (OA + OB + OC)
berechnet. Kommt bei mir S(8/3|10/3|2) raus. Aber wenn man dann e)
die Spiegelpunkte ausrechnet kommen da nur noch lange komische Brüche raus...
glaub nicht dass das Sinn der Sache ist...

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