Sigma-Algebra

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mbbm Auf diesen Beitrag antworten »
Sigma-Algebra
Hi,

ich soll zeigen dass es sich bei der Menge (gemeint ist die disjunkte Vereinigung), um eine Sigma Algebra handelt, wobei ( auch hier wieder disjunkte Vereinigung).

Das enthalten ist und die komplementstabilität erfüllt ist habe ich bereits gezeigt.

Nur bei der Vereinigungsstabilität bin ich mir nicht sicher:

Sei , z.z. .

Da kann ich ja jedes , aufgrund der Definition, als eine disjunkte Vereingung darstellen. Folgt dann nicht:

.

Kann ich so vorgehen oder ist dieser Ansatz zu verwerfen?

mfg
HerrLustig Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

ich glaube du musst dir die Indexmengen etwas genauer anschauen. Würde in etwa so vorgehen:

Für jedes existiert ein , so dass

also ist:

.


mfg
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

ist endlich, ihr braucht euch also nur um die Vereinigung zweier disjunkter Menge aus kümmern.

Und und haben hier schon eine Bedeutung.
mbbm Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für eure Antwort.

Der Weg von HerrLustig scheint mir schon mal einleuchtend, da für jedes eine endliche Indexmenge existiert, muss auch für die Vereinigung der eine Indexmenge existieren, welche in der Vereinigung aller Indexmengen liegt.

@Che Netzer

Verstehe leider nicht genau was du meinst. Könntest du vl. deinen Vorschlag ein bisschen ausführlicher erklären?

mfg
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Was verstehst du denn daran nicht? verwirrt
Die Zahl ist hier schon fest, außerdem ist eine feste Menge aus .

Und mein "Vorschlag" war, dass ihr euch zwei Mengen und aus nehmt und zeigt.
mbbm Auf diesen Beitrag antworten »

Also meinst du, dass ich zuerst zeigen soll, dass es sich hierbei um eine Algebra handelt und daraus schließe, dass es eine ist.

Dieser Schluss gilt doch aber nur, wenn und dass wissen wir doch nicht oder?
Zwar ist eine disjunkte Vereinigung endlich vieler Mengen, aber wir wissen doch nicht ob diese Mengen endlich sind.
 
 
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht , sondern enthält hier nur endlich viele Elemente.
mbbm Auf diesen Beitrag antworten »

Aber auch bei F weiß man doch nicht ob die A_n endlich sind verwirrt

EDIT: Kaum klicke ich auf Beitrag speichern fällt der Groschen. F ist endlich, da die Elemente von F ja nicht die Elemente von A sind, sondern die Mengen A und davon gibt es ja nur endlich viele.

Aber wir haben keinen Satz kennengelernt, dass wenn F endlich ist, aus Algebra folgt Sigma-Algebra, sondern nur für den Fall Omega ist endlich.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mbbm
Aber auch bei F weiß man doch nicht ob die A_n endlich sind verwirrt

Ist auch vollkommen egal.
Wenn die Mengen in unendlich sind, ändert das nichts daran, dass nur endlich viele Mengen (maximal ) in enthalten sind.

Zitat:
Und wir haben auch keinen Satz kennengelernt, dass wenn F endlich ist, aus Algebra folgt Sigma-Algebra, sondern nur für den Fall Omega ist endlich.

Dann denk kurz darüber nach.

Edit: Dein Edit hört sich schon besser an Augenzwinkern
mbbm Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sigma-Algebra
Ok, also angenommen F ist endlich und eine Algebra, dann liegt die endliche Vereinigung von Mengen in F. Wähle also nun eine Folge , dann gilt:



da es ja nur endlich viele gibt. Also haben wir wieder eine endliche Vereinigung und diese liegt somit in F.

Stimmt diese Schlussfolgerung?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sigma-Algebra
Ja, wobei passend gewählt werden muss.

Edit: Ach ja, und das "somit" musst du jetzt zeigen.
mbbm Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sigma-Algebra
Zitat:
Original von Che Netzer
Ja, wobei passend gewählt werden muss.


Entspricht dieses N der Anzahl der Elemente von F?


Zitat:
Edit: Ach ja, und das "somit" musst du jetzt zeigen.


Ja ist klar smile . Ich habe das jetzt folgendermaßen gemacht:

Seien A und B aus F und [late]I_1 [/late] und [late] I_2 \subset \left\{1,\ldots,n\right\}[/latex] mit

und
.

Dann gilt:



Setze also . Dann ist



und somit in F.

Du hast vorher gesagt man kann zwei disjunkte Mengen wählen. Warum kann ich das o.B.d.A machen?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sigma-Algebra
Zitat:
Original von mbbm
Zitat:
Original von Che Netzer
Ja, wobei passend gewählt werden muss.


Entspricht dieses N der Anzahl der Elemente von F?

Nein, sondern dem Index, nach dem keine "neuen" Mengen mehr in der Vereinigung auftauchen.

Zitat:
Setze also . Dann ist


Nein, .
Du berechnest stattdessen .

Zitat:
Du hast vorher gesagt man kann zwei disjunkte Mengen wählen. Warum kann ich das o.B.d.A machen?

Vergiss das lieber wieder. Dass durchschnittstabil ist, ist eigentlich doch nicht sofort klar.
mbbm Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sigma-Algebra
Hoppla, stimmt ich habe dann den Durchschnitt gar nicht mehr dabei.

So jetzt ist alles klar. Vielen Dank für die super Hilfe.

mfg
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