Ordnung einer Abbildung

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Difus Auf diesen Beitrag antworten »
Ordnung einer Abbildung
Guten Abend zusammen

Ich habe eine Aufgabe zu Forbeniushomomorphismus.
Also einen KörperHomo von K->K, f(x) =x^p. K ist endlich.
Und ich muss die Ordnung von dieser Abb. bestimmen.

Meine Ideen:
Meine Körper sind in der Form p^r. Wenn r=1 habe ich keine Probleme da dies die Idenditätsabb ist.
Ich vermute dass die Ordnung r ist. Ich dachte mir ich bastle ein Element in dem Körper, das Ordnung p^r hat, gelingt mir aber nicht. Ich muss ja zeigen, dass es kein s gibt s<r, so dass x^ps =x gibt.

Kann mir wer einen Denkanstoss geben?
Bruder Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Difus,

hat bestimmt Charakteristik . Wenn der Frobeniusautomorphismus ist, dann gilt doch für alle

.

Was folgt nun dadurch und durch die Kenntnis, dass die multiplikative Gruppe zyklisch der Ordnung ist, sofern ?
Difus Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo

Danke für deine Antwort.
Also für jedes Element von K* gilt: . Also folgt, dass
.
Und es gibt kein s, , so dass , da K* zyklisch ist.
Habe ich das so richtig verstanden?
Bruder Auf diesen Beitrag antworten »

Naja nicht ganz,

jedes Element einer endlichen Gruppe besitzt eine Ordnung , die nach Lagrange die Gruppenordnung teilen muss. In unserem Fall haben wir die Gleichung

, was für alle gelten soll. Also auch für alle Elemente der multiplikativen Gruppe .

Daher gilt für alle . Jetzt wissen wir, dass für ein . Also ist .

Wie jkönnte man jetzt weitermachen?
Difus Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, Ich versuchs nochmal.
Ich weiss, dass es ein Element gibt mit Ordnung , nämlich y, da es ganz K* erzeugt. Also ist die Ordnung der Abbildung mindestens n, da es sonst die Gruppenordnung nicht teilt.
Ich frage mich dann, wieso du weisst, dass es so ein y gibt der K* erzeugt.
Difus Auf diesen Beitrag antworten »

Und wieso hat K* Elemente?

Z.b.
K* hat aber {1,3,5,7,9,11,13,15} 8 Elemente.
Jetzt bin ich völlig verwirrt. verwirrt
 
 
Bruder Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Difus,

sorry, dass ich immer so lange brauch.
Also 1.
Die Überlegung in deiner vorletzten Mail war richtig.
Warum es ein Element gibt mit Ordnung ? Diese Tatsache liegt doch gerade daran, dass zyklisch ist (Guck dir nochmal die Definition einer zyklischen Gruppe an).
2.
Es gibt zwar einen Körper mit 16 Elementen. Jedoch ist dieser nicht isomorph zu , da Nullteiler besitzt:
. Weil in einem Körper alle Elemente bis auf die 0 per Definition multiplikative Inverse besitzen, erschließt sich die Nullteilerfreiheit:
Angenommen, , da und multiplikative Inverse besitzen (solche Elemente nennt man Einheiten). Dies ist aber offensichtlich ein Widerspruch.
Ein Körper mit Elementen existiert zwar, wird jedoch anders konstruiert. (Guck dir das noch mal an). Für die Aufgabe ist es jedoch nur relevant zu wissen, dass Körper mit Primzahlpotenzordnung existieren und zyklisch ist.

Was ist denn die Ordnung eines Elementes per Definition? Kann die Ordnung von daher größer als sein?
Difus Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, kann es nicht, da es sonst nicht mehr minimal ist. Die Ordnung eines Element x ist die minimale natürliche Zahl s für die gilt: x^s=x. Wieso ist dann K* zyklisch?
Wenn ich z.b einen Körper mit 16 Elementen basteln möchte, muss ich dann die multplikative Gruppe Z/15Z nehmen? Da sie die einzige zyklische Gruppe ist?
Bruder Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau.
Dass zyklisch ist, ist ein bisschen komplizierter zu zeigen. Aber du darfst das ruhig annehmen.
Wenn , dann ist .
Difus Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann danke ich dir mal für deine Hilfe.
Den Beweis dafür, dass die multiplikative Gruppe eines Körpers zyklisch ist, werde ich noch nachschlagen (stört mich nämlich ein bisschen).
Noch eine letzte Frage: Wie sieht die additive Gruppe eines Körpers aus? p x ... x p?
Bruder Auf diesen Beitrag antworten »

Also wichtig ist dabei die ganze Zeit, dass wir endliche Körper betrachten. Wenn , dann ist die additive Gruppe des Körpers

.

Ist auch schnell zu zeigen, wenn man weiß, wie endliche Körper mit Primzahlpotenzordnung konstruiert werden.
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