endliche Teilmenge ist Untergruppe

17.03.2013, 15:32

Timbonane

endliche Teilmenge ist Untergruppe

Hallo!

Ich sitze nun schon seit längerm vor dem letzten Beweis meines Übungszettels, und ich komm einfach nicht weiter, bzw finde keinen gescheiten Ansatz...

Es geht um folgenden Beweis:

Eine endliche Teilmenge $\begin{eqnarray*} H \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ einer Gruppe $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ist schon eine Untergruppe, wenn nur

$\begin{eqnarray*} a,b \in H \Rightarrow ab\in H \end{eqnarray*}$

Ich habe leider keinen wirklichen Ansatz, wie ich hier beginnen soll.

Ich weis ja, dass für eine Untergruppe gelten muss:

$\begin{eqnarray*} a, b \in H \Rightarrow ab\in H \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a \in H \Rightarrow a^{-1}\in H \end{eqnarray*}$

Aber wie ich jetzt zeigen kann, dass in einer endlichen Untergruppe aus dem ersten Punkt der zweite folgt, da hab ich keine Ahnung
Wir haben zwar zyklische Gruppen noch nicht eingeführt in der Vorlesung, aber könnte ich evtl darüber was machen? Also zeigen, dass die Untergruppe dann zyklisch sein muss?

Würde mich über Hilfe freuen! Big Laugh

mfg

Edit: Nicht zu dieser Aufgabe gehörende Beiträge inklusive Diskussionen und Richtigstellungen über den Vorschlag von RavenOJ wurden ausgeschnitten und sind hier zu finden. LG Iorek

17.03.2013, 16:19

watcher

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Hallo,

betrachte alle Potenzen eines Elements von H.
Zeige damit, dass alle Elemente von H endliche Ordnung haben.
Dann lässt sich das Inverse eines Elements a als Potenz desselben darstellen.

Zitat:

Wir haben zwar zyklische Gruppen noch nicht eingeführt in der Vorlesung, aber könnte ich evtl darüber was machen? Also zeigen, dass die Untergruppe dann zyklisch sein muss?

Nein, weil das nicht stimmt. Gegenbeispiel: kleinsche Viererergruppe als H und G.
Im übrigen ist hier ja noch zu zeigen, dass überhaupt eine untergruppe vorliegt.

17.03.2013, 16:33

RavenOnJ

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RE: endliche Teilmenge ist Untergruppe

Zitat:

Original von Timbonane

Eine endliche Teilmenge $\begin{eqnarray*} H \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ einer Gruppe $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ist schon eine Untergruppe, wenn nur

$\begin{eqnarray*} a,b \in H \Rightarrow ab\in H \end{eqnarray*}$

Das ist leider falsch. Es muss heißen:

Eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} H \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ einer Gruppe $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ist schon eine Untergruppe, wenn nur

$\begin{eqnarray*} a,b \in H \Rightarrow ab^{\color{red}-1}\in H \end{eqnarray*}$

Dass deine Aussage falsch ist, kannst du an einem Beispiel erkennen. Sei $\begin{eqnarray*} G = \mathbb Z \end{eqnarray*}$ mit der Addition als Gruppenoperation. Betrachte die Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb N_2 := \{n\in \mathbb Z\;|\;n>0, 2\mid n\} \end{eqnarray*}$ , also alle positiven geraden Zahlen. Offensichtlich sind die Bedingungen aus deiner Behauptung erfüllt, nichtsdesotrotz ist $\begin{eqnarray*} \mathbb N_2 \end{eqnarray*}$ keine Untergruppe von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Edit: Sorry, hatte übersehen, dass da "endlich" steht. Das ändert die Sachlage. Insofern ist mein "Gegenbeispiel" für deine Behauptung auch nicht relevant.

17.03.2013, 16:35

watcher

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@RavenOnJ:

Deine Teilmenge ist nicht endlich, wie gefordert.

17.03.2013, 16:35

Timbonane

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Dankeschön erstmal für die Antwort!

Nur kurz, damit ich mir eventuell was überlegen kann, endliche Ordnung heisst doch:

$\begin{eqnarray*} \exists n \in \mathbb N: a^n=e \end{eqnarray*}$

oder?

Das heisst nun, dass ich zeigen muss, dass es für alle Elemente aus H ein solches n gibt?

edit: tut mir leid, falls ich elementare Sachen auch immer noch nachfragen muss etc, aber ich tu mir im Moment in Algebra noch ziemlich schwer, da war Lineare Algebra um einiges leichter....

17.03.2013, 16:38

watcher

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Betrachte:

$\begin{eqnarray*} \{a^n|n \in \mathbb N\} \end{eqnarray*}$
da H multiplikativ abgeschlossen ist liegt diese Menge in H.
Daraus kannst du folgern, dass es ein n wie in der Def. gibt.

17.03.2013, 16:52

Timbonane

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Hmmm, meinst du damit dann, dass deine gerade beschriebene Menge eine Untergruppe von H ist?

weil sonst seh ich das grad nicht, wie man daraus schliessen kann, dass $\begin{eqnarray*} a^n=e \end{eqnarray*}$ für ein n ist verwirrt

17.03.2013, 16:57

watcher

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Da es wohl etwas untergegangen ist nochmal die grobe Beweisstrategie:

Zitat:

betrachte alle Potenzen eines Elements von H.
Zeige damit, dass alle Elemente von H endliche Ordnung haben.
Dann lässt sich das Inverse eines Elements a als Potenz desselben darstellen.

Der erste Schritt ist also zu zeigen, dass es ein m gibt mit $\begin{eqnarray*} a^m=e \end{eqnarray*}$ .

Verwende hier $\begin{eqnarray*} \{a^n|n \in \mathbb N\} \subseteq H \end{eqnarray*}$ , dass H endlich ist.
Was sagt das bzgl. der linken Menge?

Daraus folgt ziemlich schnell, dass $\begin{eqnarray*} e \in H \text{ und } a^{-1} \in H \end{eqnarray*}$ , d.h. H ist Untergruppe

@RavenOnJ:

Beachte den Zeitpunkt meines Postes und den Zeitpunkt deines Edits.

17.03.2013, 18:00

Timbonane

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Soo, mein Ansatz:

Es gilt ja:
$\begin{eqnarray*} A=\lbrace a^n:n\in \mathbb N\rbrace \subseteq H \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} a\in H \end{eqnarray*}$ beliebig, und weil nun H endlich ist, muss auch A endlich sein

Wenn A nun endlich ist, muss eben ein solches m existieren, sodass a^m=e.
d.h. nun also, dass $\begin{eqnarray*} e \in A \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} e\in H \end{eqnarray*}$ , also ist das neutrale Element in H

Nun ist noch zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} a^{-1} \in H \end{eqnarray*}$

Weil nun $\begin{eqnarray*} a^m=e \end{eqnarray*}$ , ist dann also $\begin{eqnarray*} a^{m-1}*a=a*a^{m-1}=e \end{eqnarray*}$ aufgrund der Definition von Potenzen, also ist $\begin{eqnarray*} a^{m-1} \end{eqnarray*}$ invers zu a.
Weil a beliebig, gilt das also für alle Elemente in H.

macht das so Sinn?

17.03.2013, 20:47

watcher

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Zitat:

Wenn A nun endlich ist, muss eben ein solches m existieren, sodass a^m=e. [/latex], also ist das neutrale Element in H

Hier würde mir als Korrektor definitv ein Schritt fehlen.
Aber es ist vollkommen richtig, dass es aus der Endlichkeit von A folgt.
Wieso "muss" so ein m existieren, dass $\begin{eqnarray*} a^m =e \end{eqnarray*}$ ?
Ich würde hier beginnen, dass es in A zwei Elemente gibt die gleich sind...

Der Rest passt.

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