Verständnisfrage zu Ebenenscharen

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rez Auf diesen Beitrag antworten »
Verständnisfrage zu Ebenenscharen
Meine Frage:
Hi, ich habe - wie der Titel sagt - ein Verständnisproblem mit Ebenenscharen. smile

Es gibt ja z.B. Ebenenscharen wie
Ek = kx + 3y = 8.

und solche wie:
Er = rx + 3y = 8r.

Bei Ek ist nur der normalenvektor von k abhängig, es ändert sich also immer nur einer der richtungsvektoren.
Bei Er ist der normalenvektor und die Verschiebung von r abhängig.

Meine Ideen:
BEIDE ebenen sollen jedoch eine Gerade besitzen, die in allen Ebenen liegt.
Wie soll das bei Er gehen?

habe auch allgemein probleme, mir das vorzustellen, bei beiden Ebenen.
kann jemand einen erklärungsansatz geben?
opi Auf diesen Beitrag antworten »




Die beiden Gleichungen solltest Du voneinander subtrahieren.

Substituiere anschließend z=t (mit t als Parameter des Richtungsvektors). smile
Alternativ könntest Du auch überlegen, welcher Richtungsvektor der Geraden garantiert senkrecht auf alle Normelenvektoren der Ebenenschar steht (Skalarprodukt).
rez Auf diesen Beitrag antworten »

eben das mein ich ja. für Ek gibt es einen sicheren richtungsvektor, der nicht von k abhängt, UND sie wird nicht von k verschoben. das heißt sie rotiert lediglich um den von k unabhängigen vektor.
aber wie sieht das ganze bei Er aus? ok so kann man allgemein immer die gemeinsamen geraden bestimmen, aber ich check immer noch nicht wie SO eine ebenenschar aussieht.
aber danke, bin schwer von begriff. smile
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

mit Papierund Bleistift geht das schon.

1.) das sind vorläufig Geraden. ( von z ist weit und breit nix zu sehen ! )

Wenn wir eine Gerade zeichnen, dann ist anschliessend z frei wählbar und die Ebene steht senkrecht auf der Zeichenebene. Aus dem gemeinsamen Punkt aller Geraden wird dann durch senkrechtes Verschieben die gemeinsame Gerade.

Das alles nur zum Verständnis.

a.)

nun , welchen gemeinsamen Punkt besitzt diese Geradenschar?

Zeichne 3 Geraden der Schar.
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst die gesamte Ebenengleichung von Er auch mal durch r teilen, dann sieht sie von der Form auch nicht viel anders aus als Ek. Augenzwinkern
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

ja opi, da gibt es viele Möglichkeiten den Vorstellungen auf die Sprünge zu helfen...

Aber wie so oft verläuft das im Sande. Schade
 
 
rez Auf diesen Beitrag antworten »

da verläuft nichts im sande, falls du darauf anspielst dass meine initiative fehlt... ich lern seit ein paar wochen während dem essen, schlafen und ALLEN tätigkeiten des menschen mathe, bin nur hier nicht mehr zurück weil ich eure erklärung halt nicht verstanden hab.. und meine nerven täglich DEUTLICH abnehmen...

hab meinem mathelehrer dann auch diese frage gestellt, er meint, wenn das k NUR hinter dem = steht, gibts wirklich keine gemeinsame gerade (ebenen parallel), wenn es auf beiden seiten vorkommt, schon, und nur links auch.
das hab ich glaub ich soweit auch schon fast gewusst; ich wollte wissen, wie ich mir die 2. schar VORSTELLEN kann.
aber das wird mir niemand mehr erklären und ich hab keine nerven mehr es zu verstehen oder selbst rauszufinden (könnte man vielleicht durch das zeichnen 20 verschiedener ebenen).

trotzdem danke für die hilfe, will echt nicht undankbar klingen. bin nur wirklich am ende mit den nerven.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

das tut mir leid

andererseits ist es nun mal so, dass unsere Versuche dir zu helfen dann scheitern ( müssen ) wenn die Diskrepanz deines Wissens zum notwendigen Wissen zu gross ist. unglücklich

Um diese zu Überbrücken müsstest du schon einige Stunden privat unterrichtet werden.

noch ein Tip:

a.) alle Geraden gehen durch (0| 8/3) mit verschiedenen Steigungen. Und wie gesagt, senkrecht zur x-y Ebene stehen die Ebenen. Vorstellbar ?
rez Auf diesen Beitrag antworten »

senkrecht zur x1x2-ebene hieße, dass sie nur nach oben gehen, oder? aber wenn k nicht gleich 3 ist..?
und wenn die ebene kx1 + 3x2 + 0x3 = 8k ist und man (0l8l3) einsetzt, stimmt es nicht, nur wenn man es wirklich als eine gerade sieht, dann ist es aber komisch, einen punkt des dreidimensionalen koord.s. einzusetzen.
oder?
das sind halt die kleinen sachen wegen denen ich schon scheitere.. irgendwas ist vielleicht anders dargestellt als ich es kenne, und... ende.
nee, stunden privat = note 5 oder 6, selber lernen = note 1, hat bei mir die erfahrung gezeigt... völlig konstant ohne ausnahme.. naja ich bin vielleicht seltsam Big Laugh
Bürgi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verständnisfrage zu Ebenenscharen
Zitat:
BEIDE ebenen sollen jedoch eine Gerade besitzen, die in allen Ebenen liegt. Wie soll das bei Er gehen?
habe auch allgemein probleme, mir das vorzustellen, bei beiden Ebenen.


Ich vermute mal, dass das nicht der Originalaufgabentext ist.

Der Text behauptet nicht, dass es eine Gerade gibt, die in beiden Ebenenscharen gleichzeitig vorhanden ist, sondern:

In jeder einzelnen Ebenenschar gibt es eine gemeinsame Gerade (praktisch die Achse von dem Schaufelrad).

Es gibt allerdings eine Ebene, die zu beiden Scharen gehört, wenn nämlich r = k = 1 ist.

Zur Veranschaulichung habe ich eine Grafik angehängt.
rez Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verständnisfrage zu Ebenenscharen
Hi, vielen dank für das bild, muss zugeben dass ich es immer noch nicht 100% verstehe aber das liegt dran dass mein kopf mich grad verlässt, wie immer vor wichtigen prüfungen. trotzdem viel zu spät nochmal danke und sorry fürs so spät antworten.
wenn mathe rum ist hab ich ja alle zeit der welt und auch wieder kopf, dann setz ich mich solange dran bis ich das bild verstehe. smile
wies der zufall will, hab ich noch eine hoffentlich abschließende frage zu den ebenenscharen:


bei Ek = 3x1 + kx2 - kx3 = 6k sollte ja eine schnittgerade oder gerade, die in allen Ek's liegt, entstehen, wenn ich von ihr eine z.B. Ev subtrahiere.
wenn ich dies tue, sieht es aber so aus:

.....3x1 + kx2 - kx3 = 6k
-....3x1 + vx2 - vx3 = 6v
_______________________
= (k-v)x2 - (k-v)x3 = (k-v)6.

kann super die (k-v)'s rauskürzen und erhalte

x2 - x3 = 6.

Damit habe ich soviel mir einfiel rumprobiert, aber nach meinem verständnis ist das nunmal eine ebene. diese ebenenschar kann aber keine gemeinsame ebene haben. (??!?!?!?!?)

also allgemein sind doch schnittgeraden aller Ek's bzw. geraden die in allen Ek's liegen, dann möglich, wenn
1) hinter dem = kein k steht und min. eine koordinate des n auch k-frei ist. denn dann hat man zwei feste punkte in allen Ek's -> feste gerade.
2) wenn die ebene komplett k-abhängig ist, geht es zwar auch, krieg ich aber nie raus.... ich seh zwar (plötzlich) ohne rechnen, dass z.B. (0/12/6) und (0/24/12) darin liegen, also die gerade dann (0/12/6) + t* (0/12/6) ist, aber wieso krieg ich das nicht durch subtrahieren raus?

ist jemand noch ein weiteres mal gewillt, mir zu helfen? :P
biiiitte :'(
mfg rez

P.S. und irgendwas stimmt mit dieser gerade auch nicht.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

da hast du recht, das ist eine Ebene. Übrigens denke ich, dass eine gemeinsame Gerade = Schnittgerade gesucht ist.

Folgendes: du must das LGS richtig lösen, irgendeine Zwischenebene sagt noch gar nix.

Dein LGS besteht nach der ersten Operation aus:



bitte merken: ein LGS mit 2 Gleichungen bleibt immer ein LGS mit 2 Gleichungen, es entseht nicht eine 3. Gleichung.

jetzt können wir noch in 1.) entfernen:



dann ist ( erst ) Stufenform erreicht.
rez Auf diesen Beitrag antworten »

omg dass ich das nicht gesehen habe Big Laugh ich weiß eigentlich schon wie man ein LGS mit stufenform löst, ich dachte nur irgendwie "man löst es indem man 2 ebenen subtrahiert", also dass das schon zur endgültigen lösung führt. ok jetzt ist es klar. XD

zu "Übrigens denke ich, dass eine gemeinsame Gerade = Schnittgerade gesucht ist.":
ich bin mir grad sehr unsicher, ob das das gleiche wie "eine gerade, die in allen ebenen liegt" ist oder nicht bzw. was sonst der unterschied ist....
und ich frage mich, ob es auch passieren kann, dass alle ebenenscharen bloß einen punkt, d.h. keine gerade, gemeinsam haben... bei 2 ebenen geht das nicht, aber bei unendlich vielen vielleicht?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

wie sollte eine Ebenenschar eine gemeinsame Ebene haben verwirrt

da müssten die doch identisch sein. Rein formal geht das schon:



aber die Schar ist eben identisch.

----------------------------

Wie sollte Ebenen genau einen Punkt gemeinsam haben verwirrt

entweder haben die Keinen ( echt parallel ) oder unendlich viele ( = Schnittgerade ) oder sind identisch. Eine 4. Möglichkeit sehe ich nicht.
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann in diesem Thread leider überhaupt nichts mehr nachvollziehen. unglücklich

Zitat:
Original von opi
Substituiere anschließend z=t (mit t als Parameter des Richtungsvektors).

Das war meine Antwort auf die Eingangsfrage.
Anschließend gab es hier Überlegungen, ob eine Ebenengleichung eine Ebene beschreibt (da die z-Koordinate fehle), später die Feststellung, daß es wirklich eine Ebene sei.

Unwidersprochen blieb bei der neuen Aufgabe:
Zitat:
Original von rez
ich seh zwar (plötzlich) ohne rechnen, dass z.B. (0/12/6) und (0/24/12) darin liegen, also die gerade dann (0/12/6) + t* (0/12/6) ist

Nein, die Punkte liegen nicht in allen Ebenenscharen gemeinsam, die Gerade ist also keine Schnittgerade.

Zitat:
Original von Dopap



bitte merken: ein LGS mit 2 Gleichungen bleibt immer ein LGS mit 2 Gleichungen, es entseht nicht eine 3. Gleichung.

jetzt können wir noch in 1.) entfernen:



dann ist ( erst ) Stufenform erreicht.

Dies kann ich nicht nachvollziehen, erst recht ist mir der Nutzen dieser Umformung unklar. verwirrt

Ich schreibe ausnahmsweise direkt einen möglichen Rechenweg auf, sonst würde alles zu verwirrend:

Wir sind auf dem Stand:


Die Substitution ergibt nach Einsetzen in die zweite Gleichung

Beides in die erste Gleichung eingesetzt liefert



Alles zusammengebastelt:

Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

ok opi !

auch an dieser Stelle kann man schon wie so oft den Parameter einführen.
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