Eigenwerte und Eigenvektoren

18.03.2013, 22:58

Die Verzweiflung

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Eigenwerte und Eigenvektoren

Meine Frage:
Guten Abend. Mein Problem bei Matrizen bzw. Eigenwerten und Eigenvektoren ist immer die Eigenvektoren zu bestimmen. Ich verstehe nicht was man dann macht. Also man löst immer ein Gleichungssystem, aber irgendwie wählt man da immer was oder Sonstiges und das verstehe ich einfach nicht.
Beispiel
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} -2 & 2\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bilde das charakteristische Polynom:
$\begin{eqnarray*} det(A- \lambda E)=(-2- \lambda)(- \lambda)-1\cdot 2 = \lambda^2 +2 \lambda -2 \end{eqnarray*}$

Bestimme Nullstellen mit PQ-Formel und erhalte:
$\begin{eqnarray*} \lambda_1= -1+ \sqrt{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_1= -1- \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

Und nun das Problem wir setzen die Nullstellen in das charakteristische Polynom ein um die Eigenvektoren zu bestimmen:

$\begin{eqnarray*} I(-1-\sqrt{3})x_1 + 2x_2=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} II x_1 + (1-\sqrt{3})x_2 =0 \end{eqnarray*}$

Dann rechnen wir zum Beispiel $\begin{eqnarray*} II \end{eqnarray*}$ Zeile mal $\begin{eqnarray*} (1+\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ und machen $\begin{eqnarray*} I+II \end{eqnarray*}$ Zeile und es kommt heraus:

$\begin{eqnarray*} I(-1-\sqrt{3})x_1 + 2x_2=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} II 2x_2=0 \end{eqnarray*}$

Und wenn ich sowas sehe wie in der zweiten Zeile dann raufen mir sich die Haare und ich weiß nicht was ich machen soll. Kann mir jemand dieses Phänomen erklären das würde mir wirklich gut tun, sonst erleide ich noch irgendwann eine Psychose

Meine Ideen:
Ansätze sind aufgelistet.

18.03.2013, 23:20

Helferlein

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Du hast Dich verrechnet.
Korrekt lautet die zweite Gleichung 0=0.

18.03.2013, 23:25

Lamiah

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Der Ansatz für den Eigenvektor $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ für den Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ lautet: $\begin{eqnarray*} (A- \lambda_i E)v_i=0 <=> \begin{pmatrix} -2 -\lambda_i & 2 \\ 1 & - \lambda_i \end{pmatrix} v_i = 0 \end{eqnarray*}$
Das heißt, wir lösen das homogene Gleichungssystem: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 -\lambda_i & 2 & |0 \\ 1 & - \lambda_i & |0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

19.03.2013, 09:07

Die Verzweiflung

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Für $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = -1+\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ haben wir das LGS:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 -\sqrt{3} & 2 & |0 \\ 1 & 1-\sqrt{3} & |0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und jetzt rechne ich wie vorhin die zweite Zeile mal $\begin{eqnarray*} 1+\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ und addiere beide Zeilen und erhalte:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 -\sqrt{3} & 2 & |0 \\ 0 & 0 & |0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(Ja ich habe mich eben dummerweise verrechnet verwirrt

verwirrt

) Helferlein hat recht, danke dir smile

smile

Danke auch Lamiah

Aber jetzt ? Was sagt mir das das die Spaltenvektoren linear unabhängig sind und wie bestimmte ich letztlich die Eigenvektoren ?

19.03.2013, 09:18

klarsoweit

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Wenn du das Gauß-Verfahren kennen würdest, was auch Grundvoraussetzung für die Bestimmung von Eigenvektoren ist, dann müßtest du das wissen.

Und außerdem: wo sind die Spaltenvektoren linear unabhängig?

19.03.2013, 09:23

Die Verzweiflung

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Ja den Gauß kenne ich, aber ich erinnere bzw. weiß nicht mehr wie man das löst. Ja mit den linear unabhängigen Spaltenvektoren habe ich zu weit gegriffen...
Wenn man meistens den Gauß macht dann kriegt man eine Lösung und setzt diese schön ein und kommt auf die Lösungen und hierbei wäre ich dir dankbar wenn du mir diese wissenslücke schließt Gott

Gott

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19.03.2013, 16:36

Helferlein

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Könntest Du eine Gleichung der Form $\begin{eqnarray*} ax+by=0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b\neq0 \end{eqnarray*}$ lösen?

Wenn ja, dann setze einfach $\begin{eqnarray*} a=-1-\sqrt3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=2 \end{eqnarray*}$ ein Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wenn nein, dann hast Du ein ernstes Problem und solltest Dir noch einmal den Mittelfstufenstoff "Umformungen linearer Gleichungen" aneignen.

19.03.2013, 16:50

Die Verzweiflung

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[quote]Original von Helferlein
Könntest Du eine Gleichung der Form $\begin{eqnarray*} ax+by=0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b\neq0 \end{eqnarray*}$ lösen?

Wenn ja, dann setze einfach $\begin{eqnarray*} a=-1-\sqrt3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=2 \end{eqnarray*}$ ein Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} x=(-1+\sqrt3)y \end{eqnarray*}$ Aber wie bekomme ich die Eigenvektoren heraus ?

19.03.2013, 19:20

Helferlein

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Du hast einen Vektor bestehend aus zwei Koordinaten, die Du gerade eben bestimmt hast. Wie könnte dann wohl der Vektor lauten? Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.03.2013, 19:31

Die Verzweiflung

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So:

$\begin{eqnarray*} v_1=\begin{pmatrix} 1-\sqrt3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

19.03.2013, 20:47

Helferlein

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Nein, so nicht. Du hast anscheinend a und b eingesetzt, aber nicht x und y.

$\begin{eqnarray*} x=(-1+\sqrt3)y \Rightarrow \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1+\sqrt3)y\\y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

19.03.2013, 21:22

Die Verzweiflung

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Zitat:

Original von Helferlein
Nein, so nicht. Du hast anscheinend a und b eingesetzt, aber nicht x und y.

$\begin{eqnarray*} x=(-1+\sqrt3)y \Rightarrow \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1+\sqrt3)y\\y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ja allerdings. Wie geht's dann ? Aber das ist doch nicht genau der Eigenvektor $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$

Wieso folgt aus $\begin{eqnarray*} x=(-1+\sqrt3)y \end{eqnarray*}$

dieses
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1+\sqrt3)y\\y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

19.03.2013, 21:27

Helferlein

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Das ist nicht ein Eigenvektor, das sind alle Eigenvektoren zu dem einen Eigenwert Augenzwinkern

Augenzwinkern

Die zweite Frage verstehe ich nicht wirklich. Du wirst doch wohl nachvollziehen können, das zum Beispiel aus x=2 auch 2x=4 oder x-2=0 folgt.

19.03.2013, 21:51

Die Verzweiflung

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Zitat:

Original von Helferlein
Das ist nicht ein Eigenvektor, das sind alle Eigenvektoren zu dem einen Eigenwert Augenzwinkern

Augenzwinkern

D.h. es gibt unendlich viele Eigenvektoren zu diesem Eigenwert ?

Zitat:

Original von Helferlein
Die zweite Frage verstehe ich nicht wirklich. Du wirst doch wohl nachvollziehen können, das zum Beispiel aus x=2 auch 2x=4 oder x-2=0 folgt.

Ja ich verstehe nicht wieso $\begin{eqnarray*} y=y \end{eqnarray*}$ da steht. Es ist doch

Wir haben ja $\begin{eqnarray*} x=(-1+\sqrt3)y \end{eqnarray*}$ also ist doch $\begin{eqnarray*} y=\frac{x}{-1+\sqrt3} \end{eqnarray*}$

und meiner komische Logik nach
dann
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1+\sqrt3)y\\\frac{x}{-1+\sqrt3} \end{pmatrix}=v_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ Darf man das so schreiben ?

19.03.2013, 23:42

Helferlein

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Natürlich gibt es unendlich viele Eigenvektoren. Für beliebige $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gilt doch

$\begin{eqnarray*} Ax=\lambda x \Rightarrow A(tx)=t(Ax)=t(\lambda x) = \lambda (tx) \end{eqnarray*}$

Und zu deinem $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ : Was sollte das bringen wenn man x durch y darstellt und umgekehrt? Ziel ist doch die Anzahl der unabhängigen Variablen soweit wie möglich zu reduzieren, also x durch y zu ersetzen oder umgekehrt. Wenn Du beide ersetzt, hast Du doch wieder zwei Variablen, die voneinander abhängen.

20.03.2013, 00:39

Die Verzweiflung

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Zitat:

Original von Die Verzweiflung
[quote]Original von Helferlein
Die zweite Frage verstehe ich nicht wirklich. Du wirst doch wohl nachvollziehen können, das zum Beispiel aus x=2 auch 2x=4 oder x-2=0 folgt.

Ja ich verstehe nicht wieso $\begin{eqnarray*} y=y \end{eqnarray*}$ da steht. Wie kommt man dann darauf ich komme einfach nicht darauf wieso da y=y steht wie löst man das dann auf ?

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