Diagonalmatrix berechnen

19.03.2013, 02:55

Xbf

Diagonalmatrix berechnen

Meine Frage:
Berechne die Matrix T von A für $\begin{eqnarray*} \alpha=5 \end{eqnarray*}$ und bestimme $\begin{eqnarray*} T^-1 AT \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1-\alpha & 0 & -\alpha \\ 0 & 1 & 0 \\ \alpha & 0 & \alpha +1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das klappt alles soweit, nur weiß ich nicht, wie ich $\begin{eqnarray*} T^-1 \end{eqnarray*}$ berechnen kann bzw. eigentlich dürfte es gar nicht gehen.

Meine Ideen:
Zuerst Eigenwerte berechnen: $\begin{eqnarray*} \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=1 \end{eqnarray*}$
Da es zwei Nullzeilen gibt: $\begin{eqnarray*} x_3=\beta \text{~und~} x_2=\gamma \end{eqnarray*}$
Dann den Eigenvektor berechnen: $\begin{eqnarray*} V_1\begin{pmatrix} \beta \\ \gamma \\ \beta \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Damit ist dann $\begin{eqnarray*} T=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
So jetzt müsste ich $\begin{eqnarray*} T^-1 \end{eqnarray*}$ berechnen, aber laut Definition sollte man die doch gar nicht berechnen können, da es eine 3x2 Matrix ist.
Aber angeblich lautet die Lösung:
$\begin{eqnarray*} T^-1=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie komme ich darauf? Gauß-Jordan und die Methode mit den Determinanten funktioniert auf jeden Fall nicht?! Ist $\begin{eqnarray*} T^-1 \end{eqnarray*}$ in diesem Fall überhaupt die Inverse?

19.03.2013, 09:43

HAB

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Diagonalmatrix berechnen
Die Inverse einer 3-2-Matrix gibt es natürlich nicht.

Ich gehe davon aus, dass du die Matrix T erhälst, indem du in A für $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ einfach den Wert 5 einsetzt.

Die so erhaltene Matrix T hat eine Inverse, die du mit den bekannten Methoden berechnen kannst.

Zur Kontrolle:

$\begin{eqnarray*} T^{-1} AT=A \end{eqnarray*}$

20.03.2013, 02:58

Xbf

Auf diesen Beitrag antworten »

Das glaube ich nicht, weil T eine inervtierbare Matrix ist, deren Spalten Eigenvektoren von A sind.
Mit der angeblichen Lösung (Musterlösung) passt auch alles. Mich würde nur interessieren wie man auf $\begin{eqnarray*} T^{-1} \end{eqnarray*}$ kommt.
Ganz genau lautet die Aufgabenstellung so:
Sei $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb R ^{n\times n} \end{eqnarray*}$ eine Matrix über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ und T eine invertierbare Matrix deren Spalten Eigenvektoren von A sind. Berechnen Sie die Matrix T für $\begin{eqnarray*} \alpha=5 \end{eqnarray*}$ und bestimmen Sie $\begin{eqnarray*} T^{-1}AT \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} T^{-1}AT \end{eqnarray*}$ sollte dann ja Diagonalform haben. Wenn ich T einfach transponiere, passt es fast. Dann muss ich die letzte Zeile nur noch durch 2 teilen.

20.03.2013, 11:29

HAB

Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht quadratische Matrizen sind nicht invertierbar.

Da es zu dem dreifachen Eigenwert 1 aber nur zwei Eigenvektoren gibt, kannst du auf dem beschriebenen Weg auch keine invertierbare Matrix erhalten.
Oder ist mit $\begin{eqnarray*} T^{-1} \end{eqnarray*}$ eine Matrix gemeint, für die gilt

$\begin{eqnarray*} T^{-1} \cdot T=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 &1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Für diese Matrix ergäbe sich dann auch

$\begin{eqnarray*} T^{-1} \cdot A\cdot T=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 &1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

20.03.2013, 14:14

Xbf

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAB
Für diese Matrix ergäbe sich dann auch

$\begin{eqnarray*} T^{-1} \cdot A\cdot T=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 &1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Genau das ist damit gemeint. Tut mir Leid, dass das falsch rübergekommen ist und danke für deine Hilfe bisher smile

Aber wie auf $\begin{eqnarray*} T^{-1} \end{eqnarray*}$ komme, weiß ich nicht.

20.03.2013, 15:52

HAB

Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst kommt für das von dir berechnete T für $\begin{eqnarray*} T^{-1} \end{eqnarray*}$ jede Matrix der Form
$\begin{eqnarray*} S=\begin{pmatrix} a & 1 & -a \\ b &0 & 1-b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
in Frage. Für das Produkt S*A*T ergibt sich dann:
$\begin{eqnarray*} S*A*T=\begin{pmatrix} 1 & -20a \\ 0 &11-20b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

nur für a=0 und b=0,5 erhält man die Einheitsmatrix.

Aber alles ohne Gewähr!

Neue Frage »

Antworten »

Diagonalmatrix berechnen

Verwandte Themen