Tipp für große Gleichung

19.03.2013, 11:20

rosenbaum

Tipp für große Gleichung

Meine Frage:
Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} ((16x+1)^{3}+27)(x^{4}+81)(x^{5}-x^{3})(4-1)^{2}=0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Gibt es hier einen Tip für eine schnelle Lösung oder muss ich alles ausmultiplizieren?

Danke!

19.03.2013, 11:25

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ausmultiplizieren wäre hier sogar eher kontraproduktiv. Es gilt der Satz vom Nullprodukt:" Ein Produkt ist dann Null, wenn mindestens einer seiner Faktoren Null ist."

Grüße.

19.03.2013, 11:27

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Tip für große Gleichung
ganz im gegenteil.
3 reelle lösungen kannst du direkt ablesen
der 1. faktor läßt sich noch faktorisieren

19.03.2013, 11:37

rosenbaum

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Tip für große Gleichung
Hallo ,

@ Kasen75

wenn ich x=0 dann wird ja alles andere auch null. ok. Aber ist das die Lösung

@riwe

verstehe ich nicht

19.03.2013, 11:47

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist nur eine Lösung.

Du hast ersmal diesen Faktor $\begin{eqnarray*} (x^5-x^3) \end{eqnarray*}$ betrachtet. Hier kann man $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ ausklammern: $\begin{eqnarray*} x^3 \cdot (x^2-1) \end{eqnarray*}$ .

Somit hast du hier jetzt zwei Faktoren. Der erste Faktor, wird Null, wenn x=0 ist. Es gibt hier aber jetzt einen zweiten Faktor $\begin{eqnarray*} (x^2-1) \end{eqnarray*}$ . Wann wird dieser Null?

Danach muss man noch den Faktor $\begin{eqnarray*} ((16x+1)^3+27) \end{eqnarray*}$ betrachten.

19.03.2013, 11:55

rosenbaum

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

aber wenn der erste Fakot 0 wird dann wird der 2. doch automatisch auch 0?

$\begin{eqnarray*} (x^2-1) \end{eqnarray*}$ wird zu 0 wenn x=1

19.03.2013, 12:07

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

aber wenn der erste Faktor 0 wird dann wird der 2. doch automatisch auch 0?

Nicht ganz. Das Produkt der beiden Faktoren wird Null. Der zweite Faktor aber ist deswegen noch nicht unbedingt Null.
Die Lösung x=1 ist richtig. Hier gibt es noch eine zweite Lösung für den Faktor $\begin{eqnarray*} (x^2-1) \end{eqnarray*}$ .

Man kann die Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2-1=0 \end{eqnarray*}$ ummstellen, indem man auf beiden Seiten 1 addiert: $\begin{eqnarray*} x^2=1 \end{eqnarray*}$

Jetzt kann man die Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung ziehen, wenn man die beiden Lösungen (eine hast du ja schon) nicht sofort sieht.

19.03.2013, 12:13

rosenbaum

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist die Lösungsmenge (1; -1) ?

Aber ist das jetzt schon die Antwort auf die Aufgabe?

Was ist denn mit der ersten Klammer?

19.03.2013, 12:20

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt hast du schon mal 3 von 4 Lösungen. Freude

Bei dem ersten Faktor stellst du ebenfalls eine Gleichung auf:

$\begin{eqnarray*} (16x+1)^{3}+27=0 \end{eqnarray*}$

Dann solltes1 du die 27 auf die rechte Seite bringen.

Was steht dann erstmal da ?

19.03.2013, 14:15

rosenbaum

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} (16x+1)^{3}+27=0 \end{eqnarray*}$ / -27
$\begin{eqnarray*} (16x+1)^{3}=-27 \end{eqnarray*}$ /dritte Wurzel
$\begin{eqnarray*} 16x+1=-3 \end{eqnarray*}$ /-1
$\begin{eqnarray*} 16x=-4 \end{eqnarray*}$ / :16

$\begin{eqnarray*} x=-0,25 \end{eqnarray*}$

19.03.2013, 14:24

rosenbaum

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, dann habe ich L= (-0,25; -1; 0; 1)

Was ich aber nicht so ganz verstehe ist, warum ich die Klammern

$\begin{eqnarray*} (x^{4}+81) und (4-1)^{2} \end{eqnarray*}$

außer acht lassen kann?

19.03.2013, 14:37

adiutor62

Auf diesen Beitrag antworten »

Was fällt dir auf, wenn du x^4+81=0 setzt?

(4-1)^2 kann man sofort berechnen.

19.03.2013, 14:38

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Tip für große Gleichung
Hat doch niemand gesagt, dass du das außer Acht lassen kannst. Ein Produkt wird genau dann null, wenn einer der Faktoren null wird. Das heißt, du untersuchst jeden Faktor einzeln. Zu lösen ist also - unabhängig voneinander:

$\begin{eqnarray*} ((16x+1)^{3}+27) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x^{4}+81) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x^{5}-x^{3}) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (4-1)^{2}=0 \end{eqnarray*}$

Und die Gesamtmenge der Lösungen dieser vier Gleichungen bildet dann eben die Menge aller Lösungen deiner vollständigen Gleichung. Aber nicht jede dieser vier Gleichungen muss auch eine Lösung haben. Guck einfach, wo du Lösungen findest und schreib sie auf.

Wobei mir das mit dem $\begin{eqnarray*} (4-1)^2 \end{eqnarray*}$ sehr suspekt vorkommt, das ist einfach konstant 9 und wer schreibt eine 9 auf solch eine Art und Weise? Liegt hier ein Tippfehler vor? Kontrollier das nochmal.

Edit: Ups, ich hatte Kasen als offline gesehen - mein Fehler. Ich bin weg. Augenzwinkern

19.03.2013, 14:56

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr gut.

Vielleicht kommst du selber drauf, wenn du die folgenden Sätze zu sinnvollen Sätzen ergänzt.

$\begin{eqnarray*} (4-1)^2=9 \end{eqnarray*}$

Bitte ergänze:
Der Faktor $\begin{eqnarray*} (4-1)^2 \end{eqnarray*}$ ist unabhängig vom Wert von $\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$ gleich neun, und somit immer größer $\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

Dann noch für $\begin{eqnarray*} x^2+81 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ ist immer $\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$ egal ob x $\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$ ist.

81 ist immer $\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$ .

Somit kann die Summe aus 81 und $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ nie $\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$ werden.

19.03.2013, 14:57

rosenbaum

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Tip für große Gleichung
stimmt!

$\begin{eqnarray*} (4-1)^2 \end{eqnarray*}$ soll $\begin{eqnarray*} (4x-1)^2 \end{eqnarray*}$ heißen.

Aber bei den zwei Klammer versteh ich das nicht.

$\begin{eqnarray*} (x)^4+81 = 0 \end{eqnarray*}$ / -81
$\begin{eqnarray*} (x)^4 = -81 \end{eqnarray*}$ / 4te Wurzel

= geht nicht

$\begin{eqnarray*} (4x-1)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 16x^2 -8x +1 = 0 \end{eqnarray*}$

für x = 0,25

Also gehört doch +0,25 auch noch zur Lösungsmenge. Oder?

19.03.2013, 15:32

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. die 0,25 gehört dann auch noch zur Lösungsmenge.

Die Schlussfolgerung zu dem Faktor $\begin{eqnarray*} (x^2-81) \end{eqnarray*}$ ist richtig. Nur der Weg dahin kann ich nicht wirklich nachvollziehen.

20.03.2013, 10:03

rosenbaum

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Kasen,

was genau kannst du denn nicht nachvollziehen?

Gruß

20.03.2013, 14:39

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, ich hätte mir einfach eine Begründung gewünscht, statt einfach zu schreiben "geht nicht."

20.03.2013, 16:29

rosenbaum

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Aber

$\begin{eqnarray*} (x^2-81) \end{eqnarray*}$ steht doch nirgendwo?

Es gibt nur $\begin{eqnarray*} (x^4+81) \end{eqnarray*}$

und wenn ich dort -81 rechne dann muss ich die 4te Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen. Und das geht meiner Meinung nach nicht (mal abgesehen von den komplexen Zahlen... glaub ich....bin mir aber nicht sicher.....äähhmm.... 9*9*i^2 ??)

21.03.2013, 03:13

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, deine Idee zur Lösbarkeit ist richtig. Wollte nur noch mal nachfragen. smile

Deine Vermutung bezüglich $\begin{eqnarray*} -81=9 \cdot 9 \cdot i^2 \end{eqnarray*}$ auch.
Ich schreibe es mal auf, wie man zur Lösung kommt. Wichtig ist erstmal die Definition von i.
$\begin{eqnarray*} i=\sqrt {-1} \end{eqnarray*}$ . Das weißt du aber schon. Man kann im Prinzip im Folgenden somit auch für $\begin{eqnarray*} \sqrt{-1} \end{eqnarray*}$ auch i schreiben.

$\begin{eqnarray*} x^4+81=0 \end{eqnarray*}$

Damit ist $\begin{eqnarray*} x^4=-81 \Rightarrow x_{1,2}^2=\pm\sqrt{-81} \end{eqnarray*}$ Die 81 kann man aus der Wurzel herausziehen.

$\begin{eqnarray*} x_1^2=9 \cdot \sqrt {-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2^2=-9\cdot \sqrt {-1} \end{eqnarray*}$

Um jetzt die vier Lösungen von für x zu bestimmen muss man nochmal die Wurzel ziehen.
Vorher kann man aber noch die zweite Gleichung etwas anders schreiben.

$\begin{eqnarray*} x_2^2=-9\cdot \sqrt {-1}=(-1) \cdot 9\cdot \sqrt {-1} \end{eqnarray*}$

Den Faktor (-1) braucht man jetzt, beim nächsten Wurzelziehen

Die beiden Wurzeln von $\begin{eqnarray*} x_1^2 \end{eqnarray*}$ sind dann:

$\begin{eqnarray*} x_{11}=3 \cdot \sqrt{\sqrt{-1}}=3 \cdot {(-1)}^{\frac{1}{4}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{12}= -3 \cdot \sqrt{\sqrt{-1}}=-3 \cdot {(-1)}^{\frac{1}{4}} \end{eqnarray*}$

Das sind die ersten beiden Lösungen.

Nun die beiden Wurzeln von $\begin{eqnarray*} x_2^2 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} x_{21}= \sqrt{-1} \cdot 3 \cdot \sqrt{\sqrt{-1}}= (-1)^{\frac{1}{2}} \cdot 3 \cdot {(-1)}^{\frac{1}{4}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{22}= -\sqrt{-1} \cdot 3 \cdot \sqrt{\sqrt{-1}}=-(-1)^{\frac{1}{2}} \cdot 3 \cdot {(-1)}^{\frac{1}{4}} \end{eqnarray*}$

Nun kann man noch bei den letzten beiden Lösungen die Ausdrücke, mit (-1) als Basis, zusammenfassen, indem man die Potenzgesetze anwendet.

$\begin{eqnarray*} x_{21}=3 \cdot {(-1)}^{\frac{3}{4}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{22}=-3 \cdot {(-1)}^{\frac{3}{4}} \end{eqnarray*}$

21.03.2013, 10:59

rosenbaum

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Kasen,

hui...das ist jetzt aber schon sehr detailiert :-)

Zitat:

die 81 kann man aus der Wurzel herausziehen.

Was ist das für einen Regel? Die kenne ich gar nicht

21.03.2013, 11:50

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hoffe nicht zu detailliert.

Du kannst doch den Faktor aus der Wurzel herausziehen.

Die allgemeine Regel könnte lauten $\begin{eqnarray*} \sqrt{a \cdot b^2}= \pm b \cdot \sqrt{a} \end{eqnarray*}$

Neue Frage »

Antworten »

Tipp für große Gleichung

Verwandte Themen