Irreduzibel aber nicht prim

20.03.2013, 17:07	Schreckschraube	Auf diesen Beitrag antworten »
Irreduzibel aber nicht prim Hallo, ich habe mir jetzt schon mehrmals die Finger in meinem Skript wund gescrollt aber finde keine eindeutige Definition o.ä. von daher meine Frage zu folgender Aufgabe/Lösung: Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} R:= Z[\sqrt{-5} ] \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie: $\begin{eqnarray} x:= 1 + \sqrt{-5} \end{eqnarray}$ ist in R irreduzibel aber nicht prim. Lösung: x ist irreduzibel: Ann.: x ist nicht irreduzibel. Dann gibt es $\begin{eqnarray} r,s\in R, x=rs, N(r)=2, N(s)=3 \end{eqnarray}$ Also gilt für $\begin{eqnarray} r = a + b\sqrt{-5} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a^2 +5b^2 = N(r) =2 \end{eqnarray}$ diese Gleichung hat aber keine Lösung in ZxZ. Frage: Was hat es mit dem N(r) und N(s) auf sich? Sowohl Skripsuche als auch Google haben mir nicht geholfen. Besten Dank im vorraus!
20.03.2013, 17:19	weisbrot	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Irreduzibel aber nicht prim das ist die norm $\begin{eqnarray} N: R\to\mathbb Z , a+b\sqrt{-5}\mapsto a^2+5b^2 \end{eqnarray}$ . die hat auch die üblichen normeigenschaften, was in dem beweis benutzt wird. lg
21.03.2013, 11:26	Schreckschraube	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, jetzt ist es klar!
07.06.2013, 10:51	zewa-softis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich soll für diesen Ring zeigen dass 2 nicht prim ist. Und kann ich daher sagen dass im Hauptideal (2) dass Element 6 = 2*3 exisitert?
07.06.2013, 11:03	Captain Kirk	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Punkt ist, dass 6 keine eindeutige Primfaktorzerlegung hat. Es gibt noch eine andere Zerlegung der 6, mit Faktorn die weder 2 noch 3 teilen.
07.06.2013, 11:08	zewa-softis	Auf diesen Beitrag antworten »
also kann ich sagen dass 2 nicht prim ist, da 2 ein Teiler von $\begin{eqnarray} 23 = 6 = (1+sqrt(-5) ) * (1-sqrt(-5) ) \end{eqnarray}$ aber 2 teilt nicht $\begin{eqnarray} (1+sqrt(-5)) \end{eqnarray}$ und auch nicht $\begin{eqnarray} (1-sqrt(-5)) \end{eqnarray*}$ und daher ist 2 nicht prim?
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07.06.2013, 11:10	Captain Kirk	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich.
07.06.2013, 11:11	zewa-softis	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank!

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