Minimalitätskriterium und lineare Erzeugung

20.03.2013, 18:34

lagrange92

Minimalitätskriterium und lineare Erzeugung

Meine Frage:
Kann mir bitte jemand mal erklären, was da Folgende meint:
Sei K ein Körper und $\begin{eqnarray*} \alpha_{1},...,\alpha_{n } \in K \end{eqnarray*}$ eine Kollektion von reellen Zahlen, die K linear erzeugen, dann ist diese Kollektion minimal, d.h. eine kleinste solche Kollektion, wenn $\begin{eqnarray*} a_1*\alpha_1+...+a_n*\alpha_n=0 \Rightarrow a_1=a_2=...=a_n=0 \end{eqnarray*}$ .
Meine Fragen sind, was genau die Aussage von $\begin{eqnarray*} a_1*\alpha_1+...+a_n*\alpha_n=0 \Rightarrow a_1=a_2=...=a_n=0 \end{eqnarray*}$ ist und was linear erzeugen genau bedeutet.

Meine Ideen:
-

21.03.2013, 18:04

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Hier ist K/k ein Vektorraum und $\begin{eqnarray*} {\alpha_1, ..., \alpha_n} \end{eqnarray*}$ eine Basis dieses Vektorraums, also ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. (siehe "Lineare Algebra").

Die Frage ist ein wenig seltsam, denn wieso sollen die Elemente von K reelle Zahlen sein, und was ist dann der Grundkörper k, über dem die Körpererweiterung K/k als k-Vektorraum betrachtet wird ?

23.03.2013, 13:39

lagrange92

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Grundbedingung war, dass $\begin{eqnarray*} K \subset R \end{eqnarray*}$ gilt und, dass diese rellen Zahlen mit rationalen Koeffizienten die Elemente von K linear erzeugen.
Als Grundkörper würde ich die rationalen Zahlen betrachten, in die Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathbb R _{ \backslash Q} \end{eqnarray*}$ eingebettet werden.
Wir haben das am Anfang so aufgezogen, dass wir die rationalen Zahlen und die reellen betrachtet haben und dann mit $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \subset \mathbb Q(\alpha) \subset R \end{eqnarray*}$ sozusagen den Zwischenkörper $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\alpha) \end{eqnarray*}$ definiert haben.
Wir haben erst dann allgemein auf andere zu erweiternde Körper übertragen.

24.03.2013, 11:36

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Somit ist fast schon klar, worum es hier geht, danke. Gibt es noch Bedingungen an $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ oder im n-dimensionalen Fall an $\begin{eqnarray*} \alpha_1,...,\alpha_n \end{eqnarray*}$ ? Sind diese algebraisch oder transzendent über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} K=\mathbb Q(\alpha) \end{eqnarray*}$ ein algebraischer Zahlkörper oder ein transzendenter Zahlkörper. Endlich erzeugte algebraische Zahlkörper sind jedenfalls endlichdimensionale rationale Vektorräume, und das ist anscheinend mit deiner Frage gemeint.

Zurück zu deiner Frage.

$\begin{eqnarray*} a_1\cdot\alpha_1+...+a_n\cdot\alpha_n\Rightarrow a_1=...=a_n=0 \end{eqnarray*}$ ist genau die Definition dafür, dass $\begin{eqnarray*} \{\alpha_1,...,\alpha_n\} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ .

Jedes Element $\begin{eqnarray*} \alpha\in K \end{eqnarray*}$ hat eine Darstellung $\begin{eqnarray*} \alpha=a_1\cdot\alpha_1+...+a_n\cdot\alpha_n \end{eqnarray*}$ ist genau die Definition dafür, dass $\begin{eqnarray*} \{\alpha_1,...,\alpha_n\} \end{eqnarray*}$ ein Erzeugendensystem von $\begin{eqnarray*} K/\mathbb Q \end{eqnarray*}$ ist.

Beides zusammen ist eine Vektorraumbasis, nämlich ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.

04.04.2013, 09:02

lagrange92

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Bedingung an die Kollektion war, dass sie minimal war. Also die Anzahl von $\begin{eqnarray*} \alpha_1,..., \alpha_n \end{eqnarray*}$ (der erzeugenden Elemente) minimal ist.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} a_1\cdot\alpha_1+...+a_n\cdot\alpha_n\Rightarrow a_1=...=a_n=0 \end{eqnarray*}$ ist genau die Definition dafür, dass $\begin{eqnarray*} \{\alpha_1,...,\alpha_n\} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ .

Wenn die linerunahängig über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ sind heißt das doch, dass man keines der anderen $\begin{eqnarray*} \alpha_i \end{eqnarray*}$ als Linearkombination aus den anderen Elementen der Kollektion darstellen kann. Wieso sind dann aber die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_i =0 \end{eqnarray*}$ ? Rührt das daher, dass man kein Element der Kollektion durch ein anderes dieser Kollektion linear erzeugen kann?

06.04.2013, 11:09

lagrange92

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Bedingung $\begin{eqnarray*} a_1\cdot\alpha_1+...+a_n\cdot\alpha_n\Rightarrow a_1=...=a_n=0 \end{eqnarray*}$ ist genau die Definition dafür, dass $\begin{eqnarray*} \{\alpha_1,...,\alpha_n\} \end{eqnarray*}$ lineare Unabhängigkeit charakterisiert. Ist dieser Ausdruck unter der Bedingung dann minimal, weil der Nullvektor jetzt nicht von nichtrivialen Koeffizienten erzeugt wird? Oder warum kann man hier von Minimalität sprechen?

06.04.2013, 15:35

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Ein linear unabhängiges Erzeugendensystem ist minimal, weil jedes linear abhängige Erzeugendensystem mehr Elemente enthält.
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n a_i\alpha_i=0\Rightarrow \alpha_1=-\sum_{i=2}^n \frac {a_i}{a_1}\alpha_i \end{eqnarray*}$ , also kannst du z.B. $\begin{eqnarray*} \alpha_1 \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} a_1\ne 0 \end{eqnarray*}$ oder ein beliebiges $\begin{eqnarray*} \alpha_j \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_j\ne 0 \end{eqnarray*}$ weglassen und hast immer noch ein Erzeugendensystem.

06.04.2013, 17:22

lagrange92

Auf diesen Beitrag antworten »

Super, danke.

Neue Frage »

Antworten »

Minimalitätskriterium und lineare Erzeugung

Verwandte Themen