(Nicht-) Quadratische Erweiterung

20.03.2013, 18:47

lagrange92

(Nicht-) Quadratische Erweiterung

Meine Frage:
Was meint eine Quadratische Erweiterung im Zusammenhang mit $\begin{eqnarray*} \mathbb Q (\sqrt{\alpha}) \end{eqnarray*}$ also Zahlen der Form: $\begin{eqnarray*} x+y*\sqrt{\alpha} \end{eqnarray*}$ .
Weiter entzieht sich noch die Bedeutung des begrifflichen Gegenstücks meiner Kenntnis, also gerade die Nichtquadratischeerweiterung.
Danke smile

Meine Ideen:
-

20.03.2013, 18:51

watcher

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Hallo,

Zitat:

Was meint eine Quadratische Erweiterung im Zusammenhang mit $\begin{eqnarray*} \mathbb Q (\sqrt{\alpha}) \end{eqnarray*}$ also Zahlen der Form: $\begin{eqnarray*} x+y*\sqrt{\alpha} \end{eqnarray*}$ .

genau das.
Eine Erweiterung $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \subseteq \mathbb Q(\sqrt{a}) \end{eqnarray*}$ vom Grad zwei.
Den rechten Körper nennt man quadratischer Zahlkörper.
Und nicht-quadratische Erweiterungen sind dementsprechend alle anderen Erweiterungen.

20.03.2013, 19:26

lagrange92

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Warum ist dieser Körper aber gerade vom Grad 2?
Ich kenne das bisher nur von z.B. $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\alpha) \end{eqnarray*}$ in dem die Ausdrücke Polynome der Form: $\begin{eqnarray*} \alpha^{2}+\alpha^{1}+1 \end{eqnarray*}$ , dass diese Grad 2 haben.

20.03.2013, 19:29

watcher

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Der Körper ist nicht vom Grad 2 die Körpererweiterung ist es.

Was ist Def. vom Grad einer Körpererweiterung?
Dann solltest du dir selbst die Frage beantworten können.

21.03.2013, 15:19

watcher

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Anmerkungen zu deinem Edit:

Zitat:

Ich kenne das bisher nur von z.B. $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\alpha) \end{eqnarray*}$ in dem die Ausdrücke Polynome der Form: $\begin{eqnarray*} \alpha^{2}+\alpha^{1}+1 \end{eqnarray*}$ , dass diese Grad 2 haben.

ich verstehe diesen Satz nicht, es scheint zumindest ein Verb zu fehlen.

Ist dir bekannt wie $\begin{eqnarray*} \mathbb Q (a) \end{eqnarray*}$ für eine algebraische Zahl a definiert ist?

Bzw. spielst du hier auf die Konstruktion $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(a) =\mathbb Q[X]/(f) \end{eqnarray*}$ , f Minimalpolynom von a (hier also vom Grad 2) an?

21.03.2013, 17:20

lagrange92

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Ich meinte den grad 2 haben, aber im Allgemeinen verstehe ich das so, dass eine algebraische Zahl durch ein Polynom p charakterisiert wird mit $\begin{eqnarray*} p(\alpha)=0 \end{eqnarray*}$ .
Ebenso, dachte ich bisher wäre $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\alpha) :=\left\{ a_1*\alpha^2 + a_2*\alpha^1+a_3*\alpha^0 |a_i \in \mathbb Q \right\} \end{eqnarray*}$ durch solch ein Polynom bechrieben.
Wenn das nicht dem entspricht was du meinst, würde ich dich bitten, mir das kurz zu erklären.
Und was genau sprichst du mit deinem letzten Satz :
Bzw. spielst du hier auf die Konstruktion $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(a) =\mathbb Q[X]/(f) \end{eqnarray*}$ , f Minimalpolynom von a (hier also vom Grad 2) an?
an?
Danke.
Ps.: Ich hoffe diesmal habe ich kein Verb vergessen. smile

21.03.2013, 18:14

watcher

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Ich bin mir nicht sicher ob ich verstehe was du meinst.

Mal ein Erklärungsversuch:
Eine Zahl a ist algebraisch wenn es eine Nullstelle eines Polynoms über dem Grundkörper ist.
Unter diesen Polynomen gibt es ein kleinstes das a als Nullstelle hat, das sogenannte Minimalpolynom. Dieses hat aber auch noch andere Nullstellen ist auch das Minimalpolynom dieser Zahlen.
In diesem Sinne wird eine algebraische Zahl durch ihr Minimalpolynom charakterisiert (allerdings nicht eindeutig.)
Die Körpererweiterung ist aber durch das Minimalpolynom eindeutig bestimmt, denn es ist
$\begin{eqnarray*} \mathbb Q(a) =\mathbb Q[X]/(f) \end{eqnarray*}$ , f Minimalpolynom von a
wie man zeigen kann.

Bsp.:
X^2+1 ist Min.Pol von i und -i über den rationalen Zahlen. (i imaginäre Einheit)

Es ist dann $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(i) =\{a+bi |a,b \in \mathbb Q\} \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} i^2=-1 \end{eqnarray*}$ .

Aber das ist sehr viel Theorie.

Aber ich sehe, dass du auf eine meine Fragen noch nicht eingegangen bist, und die ist relativ entscheidend:
Was ist der Grad einer Körpererweiterung?

21.03.2013, 19:33

lagrange92

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Ich kann es nicht gut erklären, aber ich habe gefunden, dass der Grad einer Körperweiterung gerade die Dimension des Vektorraumes ist.
Ich verestehe das so, seien L und K zwei Vektorräume und L gerade algebraisch mit Koeffizienten in K, dann ist der Grad von L/K gerade die Dimension von K.

21.03.2013, 21:00

watcher

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Zitat:

Ich verestehe das so, seien L und K zwei Vektorräume und L gerade algebraisch mit Koeffizienten in K, dann ist der Grad von L/K gerade die Dimension von K.

L und K sind Vektorräume zu welchen Grundkörper?
Was heißt L (gerade) algebraisch mit Koeffizienten in K?
Wieso hängt der Grad von L/K nur von K ab?

Richtig ist es so:
Der Grad von der Körpereweiterung ist die Dimension von L als K-Vektorraum, in Zeichen:
$\begin{eqnarray*} [L:K]= dim_K(L) \end{eqnarray*}$

Dementsprechend ist eine quadratische Erweiterung eine Erweiterung in der L=K(a) ein 2-dimensionaler K-Vektorraum mit Basis 1,a.

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