Gauß gegen Cramerregel

25.03.2013, 11:55

paperwhite

Gauß gegen Cramerregel

Ich habe 3 Vektoren h1,h2,h3 und möchte eine Matrix aus den 3 Vektoren ermitteln, dabei soll gelten:

Vektor h1(transponiert) * Matrix A(transponiert) *Matrix A(invertiert) * Vektor h2 = 0.

Matrix B = Matrix A(transponiert) *Matrix A(invertiert)

Ich suche die Matrix A oder B. Der Vektor h3 ist konstant (0,0,1), der taucht in der Formel aber nicht auf.

Ich habe keine Ahnung wie ich hier zu einer Lösung komme, da ich nur Programmierer bin. Ein Stichwort für den Lösungsansatz würde mich schon sehr freuen.

25.03.2013, 16:44

paperwhite

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Hallo,

ich habe mir eine Formel aufgestellt und will mit der Cramerregel die Werte für B berechnen. Leider erhalte ich für die Determinante, durch die ich teilen muß, den Wert 0. Laut Cramerregel gibt es keine Lösung.

Hier nochmal die Formel:

$\begin{eqnarray*} h1^{T} * B^{-1} * h2 = 0 \end{eqnarray*}$

Ich glaube das Zeichen * in $\begin{eqnarray*} B^{-1} * h2 \end{eqnarray*}$ ist ein Punktprodukt (Skalarprodukt).

Die Vektoren h1 und h2 sind bekannt.

Kann man hier mit dem Gaus Algorythmus eine Lösung bekommen oder heisst das das ich eine Lösung für meine Vektoren bzw meine Matrix vergessen kann ?

PS: ich glaube mein Thema ist falsch zugeordnet

25.03.2013, 18:33

HAL 9000

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Zitat:

Original von paperwhite
Vektor h1(transponiert) * Matrix A(transponiert) *Matrix A(invertiert) * Vektor h2 = 0.

Matrix B = Matrix A(transponiert) *Matrix A(invertiert)

Setzt man dein zweites $\begin{eqnarray*} B = A^T \cdot A^{-1} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} h_1^T \cdot A^T \cdot A^{-1} \cdot h_2 = 0 \end{eqnarray*}$ ein, so hat man

$\begin{eqnarray*} h_1^T \cdot B \cdot h_2 = 0\qquad (*) \end{eqnarray*}$

zu lösen (nach deinem Bekunden würde dir ja auch erstmal $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ reichen).

Nun zur Lösung von (*): Du hast nix über die Dimension der Matrizen gesagt, nun ich nehme mal $\begin{eqnarray*} n\times n \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ an.

Ist $\begin{eqnarray*} h_1=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} h_2=0 \end{eqnarray*}$ , so erfüllen alle $\begin{eqnarray*} n\times n \end{eqnarray*}$ -Matrizen die Gleichung (*) !

In allen anderen Fällen sind es nicht viel weniger: Mit $\begin{eqnarray*} h_1=(h_{11},\ldots,h_{1n})^T \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} h_2=(h_{21},\ldots,h_{2n})^T \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} B=(b_{ij})_{i,j=1,\ldots,n} \end{eqnarray*}$ folgt

$\begin{eqnarray*} h_1^T \cdot B \cdot h_2 = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n h_{1i}b_{ij}h_{2j} \end{eqnarray*}$

Wir wählen nun irgendein Indexpaar $\begin{eqnarray*} (k,l) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} h_{1k}\neq 0,h_{2l}\neq 0 \end{eqnarray*}$ und dürfen nun alle $\begin{eqnarray*} b_{ij} \end{eqnarray*}$ mit Ausnahme von $\begin{eqnarray*} b_{kl} \end{eqnarray*}$ beliebig wählen, und das eine verbliebene Restelement der gesuchten Matrix wählt man als

$\begin{eqnarray*} b_{kl} := -\frac{1}{h_{1k}h_{2l}} \sum_{\substack{i,j=1,\ldots,n\\(i,j)\neq (k,l)}} h_{1i}h_{2j}b_{ij} \end{eqnarray*}$ ,

dann ist (*) nämlich erfüllt! Die Lösbarkeit von (*) ist also alles andere als eindeutig, sie hat sage und schreibe $\begin{eqnarray*} n^2-1 \end{eqnarray*}$ Freiheitsgrade. geschockt

Ein bisschen arg viele Freiheiten - bist du dir sicher, dass du dein Problem "ordentlich" formuliert hast? verwirrt

25.03.2013, 19:17

paperwhite

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Danke für deine schnelle Antwort und für die Formel für B. Ich habe inzwischen einen anderen Algorythmus ( inklusive Formeln ) gefunden den ich ausprobieren möchte.

Alle Matrizen sind n=3 und m=3 und auch die Vektoren sind 3 dimensional. Die Formel habe ich aus einem Buch, welches leider in keinster Weise auf die Berechnung von B eingeht.

h21 ist leider bei mir gleich 0 und wie du schreibst ist damit B nicht bestimmbar. Ich werde aber erst mal den neuen Algorythmus probieren.

Darf ich dich fragen wie du die Formel aufgestellt bzw umgestellt hast ? Benutzt du ein Matheprogramm oder schüttelst du das aus dem Ärmel ? Wie gesagt ich bin keine Mathematiker. Kannst du mir vielleicht ein Buch über Mathe empfehlen ?

Nochmals vielen Dank.

Edit: mit mehreren h1 und h2 Paarungen könnte ich es wahrscheinlich berechnen (mit der Cramerregel)
Edit2: ich hatte jede Komponente des Punktprodukts auf 0 gesetzt anstatt die 3 Produkte zusammen summiert auf 0 zu setzen. Deshalb hatte ich erst gedacht das ein Paar h1 und h2 reicht. Damit kam dann die Determinante 0 heraus.

25.03.2013, 21:07

HAL 9000

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Zitat:

Original von paperwhite
Darf ich dich fragen wie du die Formel aufgestellt bzw umgestellt hast ? Benutzt du ein Matheprogramm oder schüttelst du das aus dem Ärmel ?

Das ist Basiswissen Lineare Algebra, also wie du sagst "Ärmelschütteln".

27.03.2013, 18:43

paperwhite

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Danke für das Stichwort, habe mir jetzt eine Buch über lineare Algebra gekauft. Das sollte Morgen kommen. Gut das es dieses Forum gibt und Menschen die anderen helfen.

Thx

28.03.2013, 10:57

Leopold

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kleine Wortkunde:

Wenn du "Algorythmus" schreibst, sieht das zugegebenermaßen wunderschön aus. Dennoch heißt es "Algorithmus" und hat mit dem "Rhythmus", dem griechischen Wort für "Takt", "schöne Bewegung" nichts zu tun. Dagegen mit einem orientalischen Gelehrten.

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