Endliche Körper - Multiplikationstabelle

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25.03.2013, 12:07	vfbf4n1893	Auf diesen Beitrag antworten »
Endliche Körper - Multiplikationstabelle Hallo Zusammen! Ich habe eine Frage zur Multiplikationstabelle. Ich habe die beil. Multiplikationstabelle. Nun die Frage, wie komme ich hier z.B. auf das Ergebnis bei der Spalte 2x2=3 oder 10x10=11 Bezeichnet wurde die Tabelle mit GF(2²) Die Additionstabelle ist mir klar, hier wird xor angewendet jedoch wie läuft das bei der Multiplikationstabelle ab?
25.03.2013, 12:40	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endliche Körper - Multiplikationstabelle Der von dir dargestelltew Körper ist isomoroh zu dem Körper mit 4 Elementen, dem Körper $\begin{eqnarray} \mathbb F_2[X] / (X^2+X+1) \end{eqnarray}$ . Da kann man das gut nachrechnen.... Dabei ist $\begin{eqnarray} ab=ax+b \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a,b \in \left\{0,1 \right\} \end{eqnarray}$
25.03.2013, 12:43	vfbf4n1893	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endliche Körper - Multiplikationstabelle Sorry, aber ich verstehe deine Antwort irgendwie nicht. Vollzitat entfernt. Steffen
25.03.2013, 12:55	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endliche Körper - Multiplikationstabelle Was genau verstehts du denn nicht? Der Körper $\begin{eqnarray} \mathbb F_2 \end{eqnarray}$ ist der Körper mit zwei Elementen, also der Restklassenkörper modulo 2 über den ganzen Zahlen. Der Ring $\begin{eqnarray} \mathbb F_2 [X] \end{eqnarray}$ ist der Ring der Polynome über diesem Körper. Der Körper $\begin{eqnarray} \mathbb F_2 / (X^2+X+1) \end{eqnarray}$ ist der Körper der Restklassen modulo $\begin{eqnarray} X^2+X+1 \end{eqnarray}$ des Polynomringes über dem Körper $\begin{eqnarray} \mathbb F_2 \end{eqnarray}$ . In diesem Körper ist dein Tupel $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}0\\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ äquivalent zu dem Polynom $\begin{eqnarray} 0 \cdot x+1 \end{eqnarray}$ , das Tupel $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1\\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist äquivalent zu dem Polynom $\begin{eqnarray} x+1 \end{eqnarray}$ usw. Also ist dein: 0-Element: $\begin{eqnarray} 0 \cdot x^1 + 0 \cdot x^0=\begin{pmatrix}0\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ 1-Element: $\begin{eqnarray} 0 \cdot x^1+1 \cdot x^0=\begin{pmatrix}0\\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ 2-Element: $\begin{eqnarray} 1 \cdot x^1+0 \cdot x^0=\begin{pmatrix}1\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ 3-Element: $\begin{eqnarray} 1 \cdot x^1+1 \cdot x^0=\begin{pmatrix}1\\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
25.03.2013, 13:00	vfbf4n1893	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endliche Körper - Multiplikationstabelle Ja gut, und wieso kommt dann bei 2x2 die 3 hin (11)? Kannst du mir das an nem Beispiel aufzeigen? Vollzitat entfernt. Steffen
25.03.2013, 13:04	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endliche Körper - Multiplikationstabelle Wir rechnen: $\begin{eqnarray} 2 \cdot 2 \end{eqnarray}$ , das entspricht der Multiplikation $\begin{eqnarray} x \cdot x=x^2 \end{eqnarray}$ Nun teilen wir diese durch $\begin{eqnarray} x^2+x+1 \end{eqnarray}$ und betrachten den Rest (Bedenke, wir rechnen im Körper, in dem gilt -1=1 und 2=0..) $\begin{eqnarray} x^2 : (x^2+x+1)=1 \text{ Rest } (x+1) \end{eqnarray}$ Der Rest ist unser gesuchtes Körperelement, das ist das 3-Element....
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25.03.2013, 13:30	vfbf4n1893	Auf diesen Beitrag antworten »
Und 2x3? das entspricht ja nicht x²?
25.03.2013, 13:32	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Na, rechne doch mal selbst, das Prinzip ist das gleiche... rechne $\begin{eqnarray} x \cdot (x+1) \end{eqnarray}$ und dividiere durch $\begin{eqnarray} x^2+x+1 \end{eqnarray}$ , was erhälst du als Rest?
25.03.2013, 13:37	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht aus, als wenn vfbf4n1893 aus der Informatik kommt. Wenn er noch keine Kenntnisse in Höherer Algebra hat, kann er das nur schwer verstehen. Wahrscheinlich soll er die Tabelle einfach als Definition der Multiplikation auffassen. Man erkennt in der Tabelle sofort das Null- und Einselement. Daß auch andere Körperaxiome, vor allem das Distributivgesetz, gelten, wäre im einzelnen nachzurechnen. Vielleicht noch so viel: Die Elemente eines Körpers ausschließlich dem Nullelement bilden unter der Multiplikation eine Gruppe, die sogenannte multiplikative Gruppe des Körpers. Hat der Körper also vier Elemente, muß seine multiplikative Gruppe aus drei Elementen bestehen. Bis auf Isomorphie gibt es aber nur eine Gruppe mit drei Elementen, die zyklische. Und auch genau das kann man in der Tabelle ablesen. Wenn dir das alles nichts sagt, hilft vielleicht die folgende Realisierung des Körpers über die Matrizenrechnung: $\begin{eqnarray} \Theta = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \, , \ \ E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \, , \ \ I = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \, , \ \ J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Rechne mit den Elementen der Matrizen modulo 2, also $\begin{eqnarray} 0+0=1+1=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 1+0=0+1=1 \end{eqnarray}$ (entspricht dem logischen "xor") sowie $\begin{eqnarray} 0 \cdot 0 = 0 \cdot 1 = 1 \cdot 0 = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 1 \cdot 1 = 1 \end{eqnarray}$ (entspricht dem logischen "und"). Dann bilden die Matrizen mit der Matrizenaddition und -multiplikation einen Körper: $\begin{eqnarray} K = \{ \Theta , E , I , J \} \end{eqnarray}$ Es ist $\begin{eqnarray} \Theta \end{eqnarray}$ das Nullelement und $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ das Einselement des Körpers. Erstelle die Additions- und Multiplikationstabelle für diesen Körper. Du kannst das in die Notation der Aufgabe übertragen, wenn du folgendermaßen identifizierst: $\begin{eqnarray} \Theta \leftrightarrow 00 \, , \ E \leftrightarrow 01 \, , \ I \leftrightarrow 10 \, \ J \leftrightarrow 11 \end{eqnarray}$

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