Ableitung über Differentialquotient

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daniel22 Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung über Differentialquotient
Meine Frage:
Hallo!
Ich muss die Funktion über den Differentialquotient ableiten und die Steigung an der Stelle X0=1 bestimmen. So hab ich die Ableitung und die Steigung herausbekommen aber das umwandeln und umformen bekomm ich nicht hin.

Meine Ideen:




Lamiah Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung über Differentialquotient
Ich sehe nicht, dass Du den Differentialquotienten bei Bestimmung der Ableitung verwendet hast.

Das hier ist der Differentialquotient:

Beachte: . Stichwort: Dritte binomische Formel.
Und:
Außerdem solltest Du wissen, dass gilt: .
daniel22 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung über Differentialquotient
Ich habe es mit einer anderen Aufgabe auch so gemacht. So haben wir es auch in der Schule gemacht. Ist doch nichts falsch dran, oder? Im Internet findet man den Differentialquotienten auch so.
Z.B. hier: http://www.brinkmann-du.de/mathe/gost/diff_01_02.htm
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung über Differentialquotient
Falsch ist das nicht. Allerdings mußt du jetzt diesen Grenzwert:
Zitat:
Original von daniel22

bestimmen, und da hilft dir die von Lamiah angegebene Formel.
daniel22 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung über Differentialquotient
Komm nicht ganz klar.
Ich muss ja versuchen das DeltaX im Nenner weg zu kürzen.
Bringt mich das weiter?
Lamiah Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung über Differentialquotient
Jap, wo genau hackt es denn?
 
 
daniel22 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung über Differentialquotient
Zitat:
Original von daniel22


Bringt mich das weiter? Sonst fällt mir im Moment nix mehr ein.
Wie kann ich das DeltaX alleine da stehen haben, ohne es unter der Wurzel zu haben.
Lamiah Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde den Term ruhig in der Potenzschreibweise lassen!


Hilft Dir dieser Ansatz?
daniel22 Auf diesen Beitrag antworten »

Nachvollziehen kann ich das, aber die Schreibweise kenn ich nicht.
x-x0 im Nenner soll DeltaX sein aber im Zähler steht doch auch (x-DeltaX), sowie ich das geschrieben habe.
Jetzt muss ich den linken Term irgendwie umformen, dass ich das mit dem Nenner kürzen kann, aber wie? Mir fällt da nichts ein. Ist bestimmt einfach aber im Moment komm ich einfach nicht drauf.
Lamiah Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von daniel22
Nachvollziehen kann ich das, aber die Schreibweise kenn ich nicht.


Ich kenne es mit Delta x= h, nämlich:
. Das ist aber das gleiche wie

Aber wenn Du es unbedingt mit der h-Methode zeigen möchtest, können wir das gerne tun. Kennst Du die Regel von L'Hopital?
daniel22 Auf diesen Beitrag antworten »

Habe davon mal gehört aber in der Schule haben wir das nicht gemacht.
Manche schreibens mit h andere mit DeltaX. Hab schon beide Versionen gesehen.
Lamiah Auf diesen Beitrag antworten »

Wir definieren Wenn unserer Limes von der Form und existiert, dann gilt:

Kannst Du damit etwas anfangen?
daniel22 Auf diesen Beitrag antworten »

Im Moment versteh ich es nicht ganz. Die Regel müsste ich eher nochmal genauer nachlesen.
Was bringt das für meine Aufgabe? Wende es mal an, dann kann ich eher was damit anfangen.
Lamiah Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich es anwende, habe ich die Aufgabe schon gelöst. Am besten googelst Du L'Hospital und dann versuchen wir es Schritt für Schritt gemeinsam.

Was ist denn f'(h) bzw. g'(h)?
daniel22 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich nehme an das Erste ist die Ableitung des Zählers und die Zweite des Nenners?
Lamiah Auf diesen Beitrag antworten »

Jap, f und g habe ich ja oben definiert. Wichtig ist, dass Du hier nicht (!) nach x, sondern nach h ableitest.
daniel22 Auf diesen Beitrag antworten »

Geht das nur mit dem L`Hospital oder kann man das auch so machen?
Aber wie leite ich einfach die zwei Variablen h ab?
Oder ist die andere Gleichung doch einfacher? Wenn ja, dann machen wirs doch über die.
daniel22 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lamiah



Oder wie geht es hier weiter? Vielleicht ist das einfacher. Muss ich hier das x-x0 im Nenner auch irgendwie kürzen? Aber ich weis nicht, wie ich da genau weiter machen soll.

Und das versteh ich nicht ganz. Was muss ich da zum Schluss machen? x--> x0
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung über Differentialquotient
Meine Güte, was für ein Wirrwarr. unglücklich Ich habe doch gesagt, wie es geht. Nutze an dieser Stelle:
Zitat:
Original von daniel22

diese Formel:
Zitat:
Original von Lamiah
Außerdem solltest Du wissen, dass gilt: .

Die stellen wir noch um:

Und nun setze (das kann man auch so schreiben: ) und .

Und weiß auch nicht, warum Lamiah von seiner Linie abgewichen ist und die l'Hospital-Regel ins Spiel gebracht hat. verwirrt
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist überhaupt die Aufgabe? "Über den Differentialquotienten ableiten" verstehe ich nicht. "Differentialquotient" ist ja heutzutage ein Synonym für "Ableitung". Also bedeutet dieser Satz: "über die Ableitung ableiten". Wie bitte?

Ist vielleicht nur gemeint, nach der bekannten Regel für Potenzen zu differenzieren und x=1 einzusetzen?

Oder soll es heißen "über den Differenzenquotienten ableiten"?

Nicht daß daniel22 hier zu Kunststücken animiert wird, die er gar nicht vorzuführen braucht. Sicher - schaden tut's nicht ...

Die Sache jedenfalls über L'Hospital abwickeln zu wollen, ist absurd. Da würde man ja das zu Beweisende voraussetzen. Darauf hat ja klarsoweit schon hingewiesen. Nur hat er es, weil er ein netter Mensch ist, nicht so deutlich ausgesprochen.
daniel22 Auf diesen Beitrag antworten »

Die genaue Aufgabe ist, dass ich auf direktem Wege über den Differentialquotienten die Ableitung der Funktion an der Stelle x0=1 bestimmen soll.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Dem steht ja jetzt auch nichts mehr in Wege. Wie es geht, ist ausführlich beschrieben. Wenn du willst, kannst du zur Vereinfachung noch x=1 setzen.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von daniel22
... auf direktem Wege über den Differentialquotienten die Ableitung der Funktion ... bestimmen ...


Noch einmal: Der Differentialquotient ist bereits die Ableitung. Du willst also

... auf direktem Wege über die Ableitung die Ableitung der Funktion ... bestimmen ...

Diese Aufgabenstellung ist unsinnig. Vielleicht teilst du das bei Gelegenheit dem Aufgabensteller mit. Aber ich will mich jetzt lieber zurückhalten ...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Um das noch zu ergänzen:

Die richtige Formulierung wäre

... auf direktem Wege über den Differenzenquotienten die Ableitung der Funktion ... bestimmen ...

gewesen.
daniel22 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Differentialquotient ist ja schon die Ableitung. Habs verstanden. Muss ich denen mal nächste Woche sagen.

Stimmt das soweit oder muss ich das auf der linken Seite weglassen?
Wie geht's jetzt weiter?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du das ganze noch durch Delta x dividierst, dann stimmt das ganze. Als nächstes kannst du im Zähler die Klammer ausmultiplizieren.
daniel22 Auf diesen Beitrag antworten »

So? Habe im Zähler die Klammer aufgelöst und das DeltaX ausgeklammert und zum Schluss durch DeltaX auf beiden Seiten dividiert. Aber das ist doch noch nicht die Ableitung. Das im Nenner muss doch auch weg, oder? Als Lösung sollte das herauskommen:
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

In der letzten Zeile ist im Zähler das "-x²" überflüssig. Außerdem kann du jetzt den Grenzwert für delta x gegen Null bilden.
daniel22 Auf diesen Beitrag antworten »

So müsste es stimmen.
Wie sieht es eigendlich mit der anderen Schreibweise aus?


z.B.: für x^4

Was muss ich da genau tun? Möchte diese Form nur mal zum Verständnis machen.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Algebra stimmt jetzt. Aber mit dem Limeszeichen gehst du recht freizügig um. Der Differenzenquotient selber ist ja von abhängig, erst der Grenzwert für enthält nicht mehr.
In der fünften, sechsten und siebten Zeile hat daher das Limeszeichen nichts verloren, denn du formst ja nur den Differenzenquotienten oder Teile von ihm äquivalent um.
Erst in der achten Zeile berechnest du den Grenzwert des Differenzenquotienten, also den Differentialquotienten. Das ist in der Definition von von ganz oben versteckt. Und konsequenterweise ist da ja auch kein mehr drin. Also weg mit den drei Limeszeichen.

Und hinter der alternativen Definition des Differenzenquotienten steckt kein Geheimnis. Eigentlich geht es nur um Folgendes: zwei Zahlen und ihre Differenz. Wenn du die zwei Zahlen kennst, kannst du ihre Differenz berechnen. Wenn du dagegen eine Zahl und die Differenz kennst, kannst du die andere Zahl berechnen:

bekannt; dann berechenbar

bekannt; dann berechenbar

Allgemein ist in diesem Zusammenhang einfach eine Abkürzung:



Oder nach aufgelöst:



Deswegen kann man den Differenzenquotienten auf zwei Arten schreiben:



Und die Grenzübergänge und entsprechen dabei einander.
daniel22 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke. Super erklärt.
Jetzt hab ich es verstanden Freude
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