Rentenrechnung

26.03.2013, 19:04

Huette

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Rentenrechnung

Hallo Leute,
ich habe ein Problem mit dem Sinn des unterstrichenen Satzes.

Ich zahle jeweils am Monatsanfang 18 Jahre lang 30€ bei einem Zins von 1,1% auf ein Sparbuch ein. Wie hoch ist der Rentenendwert ? Dabei soll ich beachten, dass unterjährig einfach verzinst wird.

Ich verstehe nicht, was mit einfach unterjährig gemeint ist ...

Ich gehe davon aus dass, keine Zinseszinsen anfallen
Aber was heißt unterjährig ? monatlich ? verteljährlich ? was soll ich da nehmen ?

Wenn das geklärt ist, würde ich mit der Jahresersatzrate rechnen ?

Gruß

Huette

26.03.2013, 19:42

Kasen75

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Hallo,

Zitat:

Aber was heißt unterjährig ? monatlich ? verteljährlich ? was soll ich da nehmen ?

Ich gehe hier von monatlicher Verzinsung aus, da sonst nichts anderes dasteht.

Dann könntest du in der Tat mit der Jahresersatzrate rechnen.

Wie sieht das dann aus?

Grüße.

26.03.2013, 23:01

Huette

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naja....

ich würde sagen da vorschüssige Zahlung....

$\begin{eqnarray*} r_E=r[m+\frac{i}{2}(m+1)] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r_E=30[216+\frac{0,011}{2}(216+1)] = 6515,804 \end{eqnarray*}$

Quasi arithmetische Reihe mit $\begin{eqnarray*} r*\frac{i}{2}(m+1) \end{eqnarray*}$ als Zinsanteil plus die erste Rate auch noch verzinst....

Hätte man jetzt Zinseszins Erträge würde die Summe der geometrischen reihe zum tragen kommen.

D.h. die erste Rate würde 216 Monate verzinst werden, die Zweite 215, die dritte 214 Monate usw....

26.03.2013, 23:16

Kasen75

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Hast du denn jetzt die Jahresersatzrate ausgerechnet?

Bei 30 Euro im Monat, ist sie aber nicht viel höher als 30*12 Euro.

Wenn ich das richtig sehe hast du für m den falschen Wert eingesetzt. m hat den Wert 12, da ein Monat ein Zwölftel Jahr ist. Es geht ja erstmal um die Berechnung des Kapitals im ersten Jahr.

27.03.2013, 10:59

Huette

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Ahhh Sorry....
verguckt....

$\begin{eqnarray*} r_E=30*[12+\frac{0,011}{2}*(12+1)] = 362,145 \end{eqnarray*}$

Da die Jahresersatzrate immer nachschüssig ist, ünabhängig für die Zahlungsweise der Raten, kann die Formel der Nachschüssigen Rentenberechnung genommen werden:

$\begin{eqnarray*} R_{18}=362,145*\frac{1,011^{18}-1}{1,011-1} = 7165,38 \end{eqnarray*}$

so rum müsste eiN Schuh draus werden...

27.03.2013, 16:18

Kasen75

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Genauso wird ein Schuh draus. Freude

Freude

Auch wenn ein einzelner Schuh so ziemlich das sinnloseste ist, was es überhaupt gibt.

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27.03.2013, 19:38

Huette

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nicht für einen Einfüßigen ^^
vielen Dank erstmal....

Sag mal Kasen75,

Wenn ich die Wahl habe zwischen Sofortkauf
und Mieten mit folgenden Konditionen:

x Betrag einmalig sofort
y Betrag monatlich über mehrere Jahre
z Betrag einmalig am Schluss

Zinssatz w

und ich herausfinden soll, was die günstigere Variante ist....

...dann würde ich doch erstmal den y Betrag auf heute abzinsen um die Beträge vergleichba rzu machen, in dem ich für y die Jahresersatzrate berechen, dann den Rentenbarwert ?

Was mache ich mit den Einmalzahlungen beim Mieten und beim Kaufen ? muss ich die auch auf und abzinsen ?

27.03.2013, 19:54

Elvis

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Angesichts der Risiken in der Eurokrise würde ich so schnell wie möglich soviel wie möglich wertbeständige Güter kaufen. Rechnen hilft nichts, wenn das Geld weg ist.

28.03.2013, 03:32

Kasen75

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Zitat:

...dann würde ich doch erstmal den y Betrag auf heute abzinsen um die Beträge vergleichba rzu machen, in dem ich für y die Jahresersatzrate berechen, dann den Rentenbarwert ?

Stimmt fast. Mit der Jahresersatzrate würde ich erstmal den Rentenendwert berechnen und daraus dann den Barwert ermitteln.
Dabei gilt: $\begin{eqnarray*} R_0=\frac{R_n}{q^n} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Was mache ich mit den Einmalzahlungen beim Mieten und beim Kaufen ? muss ich die auch auf und abzinsen ?

Du meinst Vorkasse beim Mieten?
Oder der Vergleich von Mietverhälnissen zu Eigentumsverhältnissen?
Ich könnte jetzt nur spekulieren was du meinst. Wäre gut wenn du diesen Sachverhalt nochmal genauer erläutern würdest.

28.03.2013, 07:56

Huette

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Reicht das, wenn ich von der monatlichen rate den Rentenbarwert bereche und dann einfach die einmaligen Zahlbeträge x und z addiere und dann mit dem Sofortkaufbetrag vergleiche oder muss ich die Einmalzahlungen (x und y) beim Mieten auch noch auf bzw. abzinsen ?

Konkretes Beispiel:

Sofiortkauf: 3500€

Mietkonditionen:

50€ einmalig am Anfang
100€ monatlich über 3 Jahre (mit Annahme der vorschüssigen Zahlung)
20€ einmalig am Schluss

Zins = 4%
Zahlungen am Jahresende

Dann wäre meine Rechnung:

$\begin{eqnarray*} r_E=r[m+\frac{i}{2}(m+1) = 100[12+\frac{0,04}{2}(12+1)]=1226,00 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R_3= r_E*\frac{q^n-1}{q-1} = 1226*\frac{1,04^3-1}{1,04-1} = 3827,08 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R_0 = \frac{R_3}{q^n} = \frac{3827,08}{1,04^3} = 3402,26 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3402,26 + 50 + 20 = 3472,26 \end{eqnarray*}$

d.h. ich würde lieber Sofortkaufen anstatt mieten..

28.03.2013, 09:05

Huette

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Wobei Mein Prof meint, dass beim Mieten keine unterjährige Verzinsung stattfinden soll. d.h. es wäre hier mit der Kapitalwertmethode zu rechnen...

28.03.2013, 11:35

Huette

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Dann würde das ja folgendermaßen aussehen

$\begin{eqnarray*} C= \sum\limits_{k=1}^3 \frac{P_n}{q^n} = \frac{P_1}{q^1} + \frac{P_2}{q^2} +\frac{P_3}{q^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C= \frac{50+(12*100)}{1,04^1} + \frac{12*100}{1,04^2} + \frac{20+(12*100)}{1,04^3} = 3395,97 \end{eqnarray*}$

Kaufe ich jetzt besser odwer miete ich ? nehme ich den Höheren Barwert ?

28.03.2013, 16:27

Kasen75

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Hallo,

du schreibst:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 3402,26 + 50 + 20 = 3472,26 \end{eqnarray*}$

Hier hast du vergessen, die 20 Euro abzuzinsen.

Sonst stimmt es.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} C= \frac{50+(12*100)}{1,04^1} + \frac{12*100}{1,04^2} + \frac{20+(12*100)}{1,04^3} = 3395,97 \end{eqnarray*}$

Ich würde mit der Jahresersatzrate rechnen statt mit $\begin{eqnarray*} 12\cdot 100 \end{eqnarray*}$

Des Weiteren müssen die 50 Euro um ein Jahr aufgezinst werden, da sich die Zähler auf die jeweiligen Jahresendwerte beziehen.

Dann sollte bei beiden Vorgehensweisen das gleiche herauskommen.

Zitat:

Kaufe ich jetzt besser odwer miete ich ? nehme ich den Höheren Barwert ?

Da es Zahlungen sind, ist für den Käufer/Mieter die Alternative besser, bei der der Kapitalwert niedriger ist.

Noch eine Anmerkung:
Hierbei wird nicht berücksichtigt, dass das Gut, beim Kauf des Gutes, auch noch über den Zeitraum von 3 Jahren verwendet werden kann.
Oder alternativ, nach drei Jahren wieder veräußert werden kann.

Edit:

Du kannst aber auch ohne Jahresersatzrate rechnen:

$\begin{eqnarray*} q_m=\sqrt[12]{q} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} i_m=q_m-1 \end{eqnarray*}$

Dabei gilt: $\begin{eqnarray*} q_m^{36}=q_m^{12 \cdot 3}=\left( q_m^{12} \right)^3=q^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C=50+r_m \cdot q_m \cdot \frac{q_m^{36}-1}{i_m \cdot q_m^{36} } +\frac{20}{q^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r_m \end{eqnarray*}$ sind die monatlichen Zahlungen.

28.03.2013, 17:36

Huette

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mhhh..

Aber geht das nicht auch ohne Jahresersatzrate nach meinem Beispiel ? ich mein die monatlichen Zahlungen werden doch eh erst am Ende des Jahres verzinst ? Ist diese Rechnung nicht richtig ?

und wieso ist ein i in deiner Formel ?

Würde das gerne verstehen, anstatt nur anzuwenden...

$\begin{eqnarray*} C= 50*1,04 + \frac{(12*100)}{1,04^1} + \frac{12*100}{1,04^2} + \frac{20+(12*100)}{1,04^3} = 3395,97 \end{eqnarray*}$

28.03.2013, 18:02

Huette

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hab das mit dem i verstanden ^^

28.03.2013, 18:17

Kasen75

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Es geht ohne Jahresersatzrate. Siehe meinen Edit-Beitrag. Ich habe das hier stehen:

$\begin{eqnarray*} C=50+ q_m \cdot\textcolor{blue}{r_m \cdot \frac{q_m^{36}-1}{i_m \cdot q_m^{36} }} +\frac{20}{q^3} \end{eqnarray*}$

Der blaue Ausdruck ist die Zusammenfassung der Kapitalwertformel mit Hilfe der geometrischen Reihe.

Man kann auch für den blauen Ausdruck schreiben:

$\begin{eqnarray*} \frac{r_m}{q_m^1}+\frac{r_m}{q_m^2}+\frac{r_m}{q_m^3}+\frac{r_m}{q_m^4}+\frac{r_m}{q_m^5}+\ldots +\frac{r_m}{q_m^{35}}+\frac{r_m}{q_m^{36}} \end{eqnarray*}$

Das ist der Kapitalwert der 36 monatlichen Zahlungen (nachschüssig).

Zitat:

$\begin{eqnarray*} C= 50*1,04 + \frac{(12*100)}{1,04^1} + \frac{12*100}{1,04^2} + \frac{20+(12*100)}{1,04^3} = 3395,97 \end{eqnarray*}$

Du brauchst hier eben die Jahresersatzrate. Sie drückt ja aus, wieviel man bezahlen müsste, wenn man statt der hier 12 monatlichen Zahlungen am Jahresende eine Rate zahlt. Da warst du ja eigentlich auf dem richtigen Weg.

Freut mich, dass du das mit dem $\begin{eqnarray*} i_m \end{eqnarray*}$ verstanden hast. smile

smile

28.03.2013, 18:47

Huette

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Den Zusammenhang zwischen geometrischer und arithmetischer Folge bzw. Reihe hab ich noch nicht ganz verstanden. ich glaub dann fällt einem das jonglieren mit den Formeln leichter.

bzw. wie komm ich von der geometrischen reihe auf deinen blauen Term ?

so korrekt ?

$\begin{eqnarray*} C= 50*1,04 + \frac{1226}{1,04^1} + \frac{1226}{1,04^2} + \frac{20+1226}{1,04^3} = 3472,04 \end{eqnarray*}$

28.03.2013, 20:31

Kasen75

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Vielleicht war mein letztes Zitat von dir nicht gut gewählt. Du solltest hier

Zitat:

$\begin{eqnarray*} C= \frac{50+1226}{1,04^1} + \frac{1226}{1,04^2} + \frac{20+1226}{1,04^3} \end{eqnarray*}$

die 50 Euro aufzinsen. Die Jahresersatzrate habe ich schon mal eingetragen. Also:

$\begin{eqnarray*} C= \frac{50 \textcolor{red}{\cdot 1,04}+1226}{1,04^1} + \frac{1226}{1,04^2} + \frac{20+1226}{1,04^3} \end{eqnarray*}$

Man kann auch sagen, die 50 Euro werden ja zu Zeitpunkt des Kapitalwertes bezahlt.

$\begin{eqnarray*} C=50+ \frac{1226}{1,04^1} + \frac{1226}{1,04^2} + \frac{20+1226}{1,04^3} \end{eqnarray*}$

Zitat:

wie komm ich von der geometrischen reihe auf deinen blauen Term ?

Ich habe in diesem Beitrag versucht darzustellen, wie man auf die Formel für die geometrische Reihe kommt.

$\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ ist hier der nachschüssige Rentenendwert, $\begin{eqnarray*} R_n \end{eqnarray*}$ .

Der muss natürlich noch durch $\begin{eqnarray*} q^n \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} q_m^n \end{eqnarray*}$ geteilt werden, um auf $\begin{eqnarray*} S_0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} R_0 \end{eqnarray*}$ zu kommen.

28.03.2013, 20:56

Huette

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okay, also nochmal rekonstruiert:

die 50 Euro zu Beginn aufzinsen und dann zusammen mit der Jahresersatzrate abzinsen.
Bei den 20 Euro kann ich gleich zusammen mit der Jahresersatzrate abzinsen, da die 20 Euro am Ende gezahlt werden.

ist das so korrekt ?

28.03.2013, 20:59

Kasen75

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Genau.

smile

28.03.2013, 21:07

Huette

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Kasen75,
Hast mir sehr geholfen. Die Erklärung zur geometrischen Reihe zieh ich mir morgen rein.
Toll wenn Leute so geduldig ihr Wissen weitergeben. Daumen hoch !

28.03.2013, 21:13

Kasen75

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Gerne. Wenn dann morgen noch eine Frage offen, kannst du sie ja hier posten.

30.03.2013, 10:14

Huette

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Nun ist danach gefragt, bei welcher Einmalzahlung die Kosten für den Mietvertrag identisch sind mit den Kosten für den Kauf, bei gleichem Kaufpreis und gleichen Mietkonditionen....

Meine Frage:
Hängt die Höhe der Einmalzahlung nicht von Zeitpunkt ab ?

30.03.2013, 15:27

Kasen75

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Ich glaube ich habe die Frage nicht ganz verstanden. Gegebenfalls die Frage nochmal posten.
Ich hätte jetzt einfach die Differenz aus Kapitalwert (Miete) und Kaufpreis genommen.
Dann sind beide "Zahlungströme" gleichwertig.

Zitat:

Hängt die Höhe der Einmalzahlung nicht von Zeitpunkt ab ?

Das ist auf jeden Fall richtig. Das einfachste ist dann eben die einmalige Zahlung schon am Anfang zu tätigen, da du die Kapitalwerte jetzt schon hast.

31.03.2013, 13:51

Huette

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So hätte ich das auch gemacht aber ich könnte ja auch $\begin{eqnarray*} (kaufen - Mieten) * q^1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (kaufen - Mieten) * q^2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (kaufen - Mieten) * q^3 \end{eqnarray*}$ rechnen....

je nachdem, wann die Einmalzahlung erfolgen soll ....

31.03.2013, 14:49

Kasen75

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Genau richtig.

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