Beweis zu Gruppe

28.03.2013, 08:26

Viriditas

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Beweis zu Gruppe

Hallo,

G ist ungleich der leeren Menge und $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ bildet von $\begin{eqnarray*} G x G \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ab. Diese Verknüpfung hat folgende Eigenschaften: Es gilt das Assoziativgesetzt für alle a, b, c aus G und darüber hinaus gilt $\begin{eqnarray*} \forall a,b \in G \exists x \in G: a\cdot x=b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \forall a,b \in G \exists y \in G: y\cdot a=b \end{eqnarray*}$

Ich soll zeigen, dass es sich um eine Gruppe handelt.
Also die Abgeschlossenheit ist laut Deifnition gegeben, auch das Assoziativgesetz ist erfüllt. Wie zeige ich nun, dass es ein neutrales und ein inverses Element gibt?

Ich weiß, dass ich die $\begin{eqnarray*} a\cdot x=b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y\cdot a=b \end{eqnarray*}$ dafür verwenden muss. Ich könnte die beiden Beziehungen z.B. gleichsetzen, kann dann aber schwer die beiden Seiten mit einem inversen Verknüpfen, wenn ich noch nicht gezeigt habe, dass es existiert, etc.

Wie kann ich also nun die beiden Gruppenaxiome zeigen?

Danke im Voraus!

28.03.2013, 09:23

Elvis

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1. Setze a=b, weil die Gleichungen lösbar sind folgt daraus die Existenz (und Eindeutigkeit) eines neutralen Elements e.
2. Setze b=e, weil die Gleichungen lösbar sind folgt daraus für jedes a die Existenz (und Endeutigkeit) des zu a inversen Elements.

28.03.2013, 09:25

Viriditas

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Warum kompliziert, wenn es auch so einfach geht? Vielen Dank! smile

smile

28.03.2013, 09:35

Jack Prince

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Warum ist dann für alle $\begin{eqnarray*} a \in G \end{eqnarray*}$ das neutrale Element das Gleiche? Ich weiß doch nur, dass zu jedem eins existiert. Das muss doch aber für alle das Selbe sein.

28.03.2013, 09:43

Elvis

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Das ist "der übliche Beweis": e=ee'=e'
Klar ist, dass Viriditas alle "Kleinigkeiten" in diesem Beweis ausführen muss.

28.03.2013, 09:54

Jack Prince

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Aber wenn jetzt $\begin{eqnarray*} a,b \in G \end{eqnarray*}$ beliebig. Dann existieren per Definition $\begin{eqnarray*} e,e' \in G \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} ae=a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} be'=b \end{eqnarray*}$

Damit es sich doch jetzt um ein rechtsneutrales Element handelt, muss doch $\begin{eqnarray*} e=e' \end{eqnarray*}$

Warum ist das aber der Fall? $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} e' \end{eqnarray*}$ stabilisieren doch bisher nur $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ .

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28.03.2013, 10:10

Viriditas

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RE: Beweis zu Gruppe
Man setze a=b, d.h. bx=b => x ist rechtsneutrales Element und yb=b => y ist linksneutrales Element.

Damit gilt:

$\begin{eqnarray*} x=yx=y \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} x = y = e \end{eqnarray*}$

Da neutrales Element existiert:
Sei b=e, also: ax=e und ya=e =>x ist Rechtsinverses zu a und y ist Linksinverses zu a => $\begin{eqnarray*} x=y=a^{-1} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} a^{-1} \end{eqnarray*}$ ist inverses Element, denn mit dem Assoziativgesetz gilt:

$\begin{eqnarray*} y=ye=y(ax)=(ya)x=ex=x \end{eqnarray*}$

Ist das in Ordnung so?

28.03.2013, 10:15

Leopold

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Jack Prince hat recht. Mit Elvis' Argumentation hat man zunächst nur ein von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ abhängiges $\begin{eqnarray*} e = e_a \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a \cdot e_a = a \end{eqnarray*}$ . Warum sollte $\begin{eqnarray*} e_a \end{eqnarray*}$ diese Wirkung für alle $\begin{eqnarray*} \color{red} x \end{eqnarray*}$ aufweisen?

28.03.2013, 11:07

Elvis

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Jack Prince und Leopold haben recht. Man muss hier etwas sorgfältiger argumentieren.

Wählt man z.B. $\begin{eqnarray*} e_a \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} ae_a=a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} xa=b \end{eqnarray*}$ , so folgt $\begin{eqnarray*} be_a=(xa)e_a=x(ae_a)=xa=b \end{eqnarray*}$ , also ist ein rechtsneutrales Element für a rechtsneutral für alle Elemente von G.

Und so weiter, und so fort. Tut mir leid, dass ich das "Kleinigkeiten" genannt habe. unglücklich

unglücklich

28.03.2013, 11:10

Viriditas

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Danke, jetzt zeige ich also noch die Existenz des linksneutralen Elementes für alle Elemente nach dem gleichen Muster und kann den Rest meines Beweises so übernehmen, oder?

28.03.2013, 13:09

Elvis

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Ja. Rechtsneutral zu a existiert, das ist dann rechtsneutral für alle b in G (oben gezeigt). Linksneutral zu a existiert und ist linksneutral für alle b in G (dazu symmetrisch). e=ee'=e' zeigt, dass das linksneutrale Element gleich dem rechtsneutralen Element ist, also Existenz und Eindeutigkeit von e.

Existenz inverser Elemente hast du schon gezeigt. Bleibt nur noch die Eindeutigkeit zu zeigen.

28.03.2013, 13:14

Viriditas

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Danke! Wie kann ich die Eindeutigkeit zeigen? Durch einen Beweis durch Widerspruch? Also ich nehme an, es gibt zwei Inverse Elemente zu a, die verschieden sind und zeige dann, dass sie gleich sind?

28.03.2013, 14:41

Elvis

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Das ist sehr einfach: e=xa=ya von rechts mit einem zu a rechtsinversen Element z multiplizieren.

09.04.2013, 18:59

Viriditas

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RE: Beweis zu Gruppe
Hallo, nochmals ich...

Also der Beweis des Inversen und dessen Endeutigkeit ist mir klar.

Ich verstehe nur nicht, wie ich die Eindeutigkeit des neutralen Element zeige. Also hier mein gesamter Beweis:

Es gelten laut Voraussetzung: $\begin{eqnarray*} a\cdot x=b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y\cdot a=b \end{eqnarray*}$
Man setze b=a.

Es folgt: $\begin{eqnarray*} a\cdot x=a \end{eqnarray*}$ , daraus folgt x ist rechtsneutrales Element (RN) zu a.
$\begin{eqnarray*} y\cdot a=a \end{eqnarray*}$ , daraus folgt, y ist linksneutrales Element (LN) zu a.

Zu zeigen ist, dass $\begin{eqnarray*} x=e_a \end{eqnarray*}$ RN zu allen Elementen aus G ist und dass $\begin{eqnarray*} y=e_b \end{eqnarray*}$ LN zu allen Elementen aus G ist.

Wenn ich dann den Vorschlag von Evlis berücksichtige...

Zitat:

Original von Elvis
Wählt man z.B. $\begin{eqnarray*} e_a \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} ae_a=a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} xa=b \end{eqnarray*}$ , so folgt $\begin{eqnarray*} be_a=(xa)e_a=x(ae_a)=xa=b \end{eqnarray*}$ , also ist ein rechtsneutrales Element für a rechtsneutral für alle Elemente von G.

... kann ich das für das $\begin{eqnarray*} e_a \end{eqnarray*}$ problemos zeigen, aber beim $\begin{eqnarray*} e_b \end{eqnarray*}$ schaffe ich das damit nicht. ABER: Warum steht hier plötzlich $\begin{eqnarray*} xa=b \end{eqnarray*}$ ? Das setzt doch die Kommutativität voraus, denn die Ursprungsleichung lautet $\begin{eqnarray*} ax=b \end{eqnarray*}$ .

09.04.2013, 19:09

Elvis

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Der Witz ist gut. Big Laugh

Big Laugh

Ersetze x durch y.

09.04.2013, 19:29

Viriditas

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RE: Beweis zu Gruppe
Und für das Rechtsneutrale? Dann muss gelten $\begin{eqnarray*} e_b \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} e_bb=b \end{eqnarray*}$ und ..., daraus soll folgen: $\begin{eqnarray*} e_ba=...=a \end{eqnarray*}$

Nur weiß ich nicht, welche der obigen Formeln ich wie für den Zwischenteil verwenden soll, damit es stimm.

11.04.2013, 18:14

Elvis

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Es ist ein bißchen schade, dass du das noch nicht kannst, du musst dir etwas mehr Mühe geben.
Setze $\begin{eqnarray*} e_bb=b, a=bx \end{eqnarray*}$ und überlege dir bitte, warum es zu jedem $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ solche Element $\begin{eqnarray*} e_b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gibt, dann folgt wie oben $\begin{eqnarray*} e_ba=e_b(bx)=(e_bb)x=bx=a \end{eqnarray*}$ .
Ich hoffe, du erkennst wenigstens die Symmetrie in diesen Beweisen und erfreust dich an deren Schönheit.

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