Konvergenz von Reihen |
30.03.2013, 09:30 | Womanpower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Konvergenz von Reihen Hallo. Ich muss drei bzw. zwei Reihen auf Konvergenz untersuchen. Bei iii) soll ich dies zeigen (Hinweis Vergleichskriterium) Meine Ideen: Nun die erste und wichtigste Frage: Welche Konvergenzkriterien kommen in Frage, da habe ich immer Probleme herauszufinden, welches am Geeignetsten ist. Das Vergleichskriterium ist was ? DankÖ |
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30.03.2013, 09:52 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das Vergleichskriterium heißt auch Majorantenkriterium. Welches Kriterium man anwendet, kann man nicht immer eindeutig sagen. Das erfordert ganz einfach etwas Übung, Erfahrung und zum Teil auch ein gutes Auge. Diese drei Reihen lassen sich z.B. alle mit dem Majorantenkriterium bearbeiten, bei der ersten Reihe dürfte es aber auch das Quotientenkriterium tun. |
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30.03.2013, 10:12 | Womanpower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich bräuchte ein wenig Schützenhilfe, bei der Bearbeitung. Das Majorantenkriterium besagt ja sei eine unendliche Reihe mit reellen oder komplexen Summandengegeben. Gibt es nun eine konvergente unendliche Reihe mit nichtnegativen reellen Summanden und gilt für fast alle : , dann ist die Reihe S absolut konvergent. Man sagt, die Reihe wird von majorisiert oder ist die Majorante von . Kehrt man diesen Schluss um, erhält man das Minorantenkriterium: Sind und Reihen mit nichtnegativen reellen Summanden bzw. , und gilt für fast alle n, dann folgt: Ist diesmal divergent, dann ist auch divergent. Wie übertrage ich denn das auf meine Reihen. |
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30.03.2013, 10:15 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die dritte muss aber zu einer Teleskopreihe umformen, mit dem Majorantenkriterium hat man da keinen Erfolg. |
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30.03.2013, 10:22 | Womanpower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie macht man denn z.B. jetzt bei den Anfang? |
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30.03.2013, 10:23 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Che Netzer, warum sollte ich damit keinen Erfolg haben? Natürlich kann man da ohne Probleme das Majorantenkriterium verwenden, um die (absolute) Konvergenz nachzuweisen. @Womanpower, es gibt einige "Standardreihen" deren Konvergenzverhalten man kennen sollte, dazu gehört etwa die harmonische Reihe bzw. die verallgemeinerte harmonische Reihe für , auch das Konvergenzverhalten geometrischer Reihen ist wichtig zu wissen. Bei der ersten Reihe könnte die Überlegung zielführend sein, dass langsamer wächst als ab einem gewissen . Damit kann man das gegen eine geometrische Reihe abschätzen und mit dem Majorantenkriterum die Konvergenz nachweisen (hier tut es aber wie gesagt auch das Quotientenkriterium, wenn dir das lieber ist). |
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30.03.2013, 10:24 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Iorek: Hier soll aber der Grenzwert berechnet werden. |
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30.03.2013, 10:26 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Che, über den Grenzwert haben wir aber noch nicht gesprochen. Bisher geht es nur um Probleme bei der Anwendung des Majorantenkriteriums. |
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30.03.2013, 10:34 | Womanpower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Und wie schreibt man das auf ? |
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30.03.2013, 10:38 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zuerst solltest du die von mir behauptete Ungleichung ab einem bestimmten beweisen. Falls es dir leichter fällt, kannst du auch die Ungleichung nehmen. Dann solltest du dir das Konvergenzverhalten von geometrischen Reihen nochmal ansehen und dir auch Gedanken machen, warum bzw. e^n[/l] geeignete Abschätzungen sind. |
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30.03.2013, 10:41 | Womanpower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wieso denn ? nicht ? Falls es mir leichter fällt naja bei weiß ich auch nicht so wirklich, wie ich das angehen soll. |
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30.03.2013, 10:46 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Warum keine geeignete Abschätzung ist, lässt sich am Konvergenzverhalten der geometrischen Reihe erkennen. Für welche Werte von konvergiert diese? |
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30.03.2013, 11:03 | Womanpower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Für welche Werte von konvergiert diese ? Also die geometrische Reihe ? Wenn q eine reelle Zahl ungleich 1 ist. Ansonsten ist diese divergent. |
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30.03.2013, 11:27 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also ist konvergent? Schlag doch bitte mal in deinen Unterlagen nach, da müsste eine Aussage über das Konvergenzverhalten der geometrischen Reihe stehen, alternativ tuts auch ein Blick in den bereits oben verlinkten Workshop. |
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30.03.2013, 21:58 | Womanpower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Natürlich divergent, das springt doch einem um die Ohren.
Joa. Und jetzt? |
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30.03.2013, 22:51 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Und jetzt solltest du eigentlich wissen, für welche die geometrische Reihe konvergiert, immerhin hattest du mehr als 10 Stunden dafür Zeit. Also: für alle mit konvergiert absolut. Für alle anderen ist sie divergent. Damit ist sie also auch nicht für alle konvergent, wie von dir behauptet. Damit solltest du auch die Begründung hinbekommen, warum eine Abschätzung gegen oder vorgeschlagen wird, damit man eine konvergente Majorante bekommt. Damit wir uns aber nicht noch länger mit dieser Reihe aufhalten müssen noch einmal der Hinweis: bei der ersten Reihe kann man auch einfach mit dem Quotientenkriterium die Konvergenz nachweisen. |
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30.03.2013, 23:02 | Womanpower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja Quotientenkriterium. Ich verstehe aber nicht den kleinen und feinen Unterschied zwischen Konvergenz und absoluter Konvergenz. Ich meine gilt dies dann ist die reihe absolut konvergent. Gelte hingegen für fast alle so ist die Reihe divergent. Im Fall der Konvergenz muss von unabhängig und echt kleiner als 1 sein. Nur wie wende ich jetzt das Quotientenkriterium bei an. |
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30.03.2013, 23:07 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Beim Quotientenkriterium musst du eigentlich nur bilden und im Idealfall den Grenzwert bestimmen. Für den Unterschied zwischen Konvergenz und absoluter Konvergenz solltest du dir die entsprechenden Definitionen nochmal ansehen. |
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30.03.2013, 23:20 | Womanpower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann können wir es doch jetzt im Idealfall tun. Setze ich dann mein einfach dort ein? So viel meinerseits? |
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30.03.2013, 23:38 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was ist denn mit dem passiert? Das musst du doch auch noch einsetzen. Und kurz zur absoluten Konvergenz: Eine Reihe heißt absolut konvergent, wenn auch konvergent ist. Also wir nehmen uns die Folgenglieder, die wir aufsummieren wollen, und bilden bei jedem Folgenglied erst einmal den Betrag. In unserem Beispiel sind sowieso schon von Anfang an alle Folgenglieder positiv, hier ist also Konvergenz gleichbedeutend mit absoluter Konvergenz. Hier besteht zwischen diesen beiden Begriffen also kein Unterschied in dem Sinne. Aber das ist ja nicht bei jeder Folge so. Edit: Wenn du doch noch da bist, mach ggf. ruhig weiter, Iorek. Dachte, du wärst weg. |
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30.03.2013, 23:46 | Womanpower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hmm? Mehr geht nicht ? Und danke, der Unterschied zwischen absoluter Konvergenz und Konvergenz ist mir klarer geworden. |
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30.03.2013, 23:58 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn du dich mit der Konvergenz von Reihen beschäftigst, solltest du das noch vereinfachen und den Grenzwert für berechnen können. |
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31.03.2013, 00:14 | Womanpower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn ich es könnte, dann würde ich es machen. Momentan scheitert es an der Vereinfachung. Ich nehme an ich muss die Binomische Formel auflösen und dann könne sich etwas vereinfachen. Leider hackt's daran diese auszurechnen. Ich komme auf aber ob das stimmt ? |
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31.03.2013, 00:22 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, das ist so nicht richtig. Und es ist auch nicht nötig. Klammere stattdessen lieber die höchste Potenz von aus. |
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31.03.2013, 00:29 | Womanpower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Oh meno so? |
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31.03.2013, 00:44 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du hast doch im Nenner nur stehen und nicht . Es handelt sich hier um eine simple Folge, deren Grenzwert bestimmt werden soll. Wenn du dich mit Fragen zur Reihenkonvergenz beschäftigst, muss das eigentlich sitzen! |
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31.03.2013, 00:56 | Womanpower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die hätte ich ja davor ziehen können, daher der Fehler. Aber deins ist schon praktischer i.wie Und der Grenzwert ist ? |
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31.03.2013, 00:57 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, der Grenzwert davon wäre . Damit kannst du nun etwas über das Konvergenzverhalten der Reihe sagen. |
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31.03.2013, 01:01 | Womanpower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Reihe konvergiert. |
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31.03.2013, 01:03 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Genauer wäre es zu sagen, sie konvergiert absolut (das macht hier keinen Unterschied, da sämtliche Summanden schon positiv sind, sollte aber nicht unerwähnt bleiben). Damit ist die (absolute) Konvergenz der Reihe nachgewiesen. |
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31.03.2013, 01:08 | Womanpower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wieder Quotientenkriterium ? Usw. ? |
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31.03.2013, 10:19 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn du das auflöst, den Grenzwert berechnet und dieser eine Aussage ermöglicht, dann wäre das eine Möglichkeit, dem wird aber nicht so sein. Hier solltest du das Majorantenkriterium anwenden und daran denken, das der eine monoton steigende, beschränkte Funktion ist. |
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31.03.2013, 21:24 | Womanpower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das Majorantenkriterium besagt, dass eine unendliche Reihe mit reellen oder komplexen Summanden gegeben. Gibt es nun eine konvergente unendliche Reihe mit nichtnegativen reellen Summanden und gilt für fast alle : dann ist die Reihe absolut konvergent. Man sagt, die Reihe wird von majorisiert oder ist die Majorante von Kehrt man diesen Schluss um, erhält man das Minorantenkriterium: Sind und Reihen mit nichtnegativen reellen Summanden bzw. , und gilt für fast alle , dann folgt: Ist diesmal divergent, dann ist auch divergent. Nun das Problem wenn man es selber anwenden soll, dann happert's. Wie mache ich das mit dem Majorantenkriterium ? Bei dem Quotientenkriterium konnte man es einfach einsetzen in die Formel und umformen. Hier wüsste ich jetzt nicht wie bzw. was ich wo einsetzen könnte. |
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31.03.2013, 23:05 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Für das Majorantenkriterium ist ein Mindestmaß an Wissen über konvergente Reihen notwendig, man muss einige konvergente Reihen kennen. Geometrische Reihen sowie die verallgemeinerte harmonische Reihe mit sind mindestens notwendig. Was kannst du über deren Konvergenzverhalten sagen? |
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31.03.2013, 23:10 | Womanpower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die harmonische Reihe konvergiert gegen unendlich. |
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31.03.2013, 23:13 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die harmonische Reihe divergiert, nicht konvergiert. Aber wie sieht es z.B. mit oder aus? Dazu solltet ihr eigentlich auch mal eine Aussage zu aufgeschrieben haben. |
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