Konvergenzradius reloaded

30.03.2013, 13:39

Konvergenzniete

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Konvergenzradius reloaded

Meine Frage:
Zu bestimmen ist der Konvergenzradius:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty 3^n \sqrt{(3n-2)2^n}z^n \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \frac{3^n \sqrt{(3n-2)2^n}}{3^{n+1} \sqrt{(3(n+1)-2)2^{n+1}}} \end{eqnarray*}$

Ist dieser Schritt richtig ?

30.03.2013, 13:42

Che Netzer

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RE: Konvergenzradius reloaded
Wenn du $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ wie üblich definiert hast, ja.
Jetzt kannst du kürzen und die Wurzeln zusammenfassen.

30.03.2013, 19:18

Konvergenzniete

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RE: Konvergenzradius reloaded
Zu bestimmen ist der Konvergenzradius:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty 3^n \sqrt{(3n-2)2^n}z^n \end{eqnarray*}$

Ja hab das $\begin{eqnarray*} a_n= 3^n \sqrt{(3n-2)2^n} \end{eqnarray*}$ gewählt/definiert.

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \frac{3^n \sqrt{(3n-2)2^n}}{3^{n+1} \sqrt{(3(n+1)-2)2^{n+1}}}= \frac{3^n \sqrt{(3n-2)2^n}}{3^{n} 3 \sqrt{(3(n+1)-2)2^{n+1}}}= \frac{\sqrt{(3n-2)2^n}}{3 \sqrt{(3(n+1)-2)2^{n+1}}} \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich doch Schwierigkeiten.

30.03.2013, 19:29

Che Netzer

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RE: Konvergenzradius reloaded
Den Faktor $\begin{eqnarray*} \frac13 \end{eqnarray*}$ kannst du schonmal vor den ganzen Bruch ziehen.
Anschließend fasse die beiden Wurzeln zu einer zusammen (was weißt du über den Quotienten zweier Wurzeln?). Darin kannst du nochmals kürzen.

30.03.2013, 20:25

Konvergenzniete

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RE: Konvergenzradius reloaded
$\begin{eqnarray*} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \frac{3^n \sqrt{(3n-2)2^n}}{3^{n+1} \sqrt{(3(n+1)-2)2^{n+1}}}= \frac{3^n \sqrt{(3n-2)2^n}}{3^{n} 3 \sqrt{(3(n+1)-2)2^{n+1}}}= \frac{\sqrt{(3n-2)2^n}}{3 \sqrt{(3(n+1)-2)2^{n+1}}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{3} \sqrt{\frac{(3n-2)2^n}{(3(n+1)-2)2^{n+1}}}=\frac{1}{3} \sqrt{\frac{(3n-2)}{(3(n+1)-2)2}} \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich die Klammer innen gelöst also:

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{3} \sqrt{\frac{(3n-2)}{ \sqrt{(3(n-1)2}}} \end{eqnarray*}$

Und jetzt wenn ich den Nenner ausmultipliziere erhalte ich ja $\begin{eqnarray*} 6n-6 \end{eqnarray*}$ das sehe ich irgendwie nicht, wie ich das vereinfachen soll ?

30.03.2013, 21:02

Che Netzer

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RE: Konvergenzradius reloaded

Zitat:

Original von Konvergenzniete
$\begin{eqnarray*} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \frac{3^n \sqrt{(3n-2)2^n}}{3^{n+1} \sqrt{(3(n+1)-2)2^{n+1}}}= \frac{3^n \sqrt{(3n-2)2^n}}{3^{n} 3 \sqrt{(3(n+1)-2)2^{n+1}}}= \frac{\sqrt{(3n-2)2^n}}{3 \sqrt{(3(n+1)-2)2^{n+1}}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{3} \sqrt{\frac{(3n-2)2^n}{(3(n+1)-2)2^{n+1}}}=\frac{1}{3} \sqrt{\frac{(3n-2)}{(3(n+1)-2)2}} \end{eqnarray*}$

Das stimmt noch; was das danach sein sollte, weiß ich nicht...
Jetzt könntest du z.B. den Faktor $\begin{eqnarray*} \frac1{\sqrt2} \end{eqnarray*}$ herausziehen.
Ansonsten berechne mal den Grenzwert von
$\begin{eqnarray*} \frac{3n-2}{2(3(n+1)-2)}\,. \end{eqnarray*}$

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30.03.2013, 21:20

Konvergenzniete

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RE: Konvergenzradius reloaded

Zitat:

Original von Che Netzer
Jetzt könntest du z.B. den Faktor $\begin{eqnarray*} \frac1{\sqrt2} \end{eqnarray*}$ herausziehen.

den Faktor $\begin{eqnarray*} \frac1{\sqrt2} \end{eqnarray*}$ herausziehen ? Das darf man ? Okay also so:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3\sqrt{2}} \sqrt{\frac{(3n-2)}{(3(n+1)-2)}} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Che Netzer
Ansonsten berechne mal den Grenzwert von
$\begin{eqnarray*} \frac{3n-2}{2(3(n+1)-2)}\,. \end{eqnarray*}$

Den Grenzwert berechnen ? Also ich habe nicht viel Übung bei solchen Aufgaben daher falle ich blind in deine Arme (danke). Was hat denn jetzt die Grenzwertsuche mit dem Konvergenzradius zu tun. Im Endeffekt ist doch der Konvergenzradius der Radius bzw. Punkt um den sich die Reihe sozusagen "einpendelt" ?
Also Grenzwert davon, aber gegen welchen Wert ? Und was passiert mit dem Vorfaktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow ?}\frac{3n-2}{2(3(n+1)-2)}\ \end{eqnarray*}$

30.03.2013, 22:17

Che Netzer

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RE: Konvergenzradius reloaded
Wir wollen doch
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\left\lvert\frac{a_n}{a_{n+1}}\right\rvert \end{eqnarray*}$
berechnen.
Und das ist gerade der Grenzwert von
$\begin{eqnarray*} \frac1{3\sqrt2}\sqrt{\frac{3n-2}{3(n+1)-2}}\,. \end{eqnarray*}$
Ist das nun klar?

30.03.2013, 22:27

Konvergenzniete

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RE: Konvergenzradius reloaded

Zitat:

Original von Che Netzer
Wir wollen doch
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\left\lvert\frac{a_n}{a_{n+1}}\right\rvert \end{eqnarray*}$
berechnen.
Und das ist gerade der Grenzwert von
$\begin{eqnarray*} \frac1{3\sqrt2}\sqrt{\frac{3n-2}{3(n+1)-2}}\,. \end{eqnarray*}$
Ist das nun klar?

Ja also gehört der Vorfaktor dazu. $\begin{eqnarray*} (\frac1{3\sqrt2}) \end{eqnarray*}$

Und wie berechne ich diesen Grenzwert

30.03.2013, 22:33

Che Netzer

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RE: Konvergenzradius reloaded
Indem du zunächst einmal den unter der Wurzel bestimmst.
Du wirst doch sicher
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{3n-2}{3n+1} \end{eqnarray*}$
berechnen können...

30.03.2013, 22:43

Konvergenzniete

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RE: Konvergenzradius reloaded

Zitat:

Original von Che Netzer
Indem du zunächst einmal den unter der Wurzel bestimmst.
Du wirst doch sicher
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{3n-2}{3n+1} \end{eqnarray*}$
berechnen können...

Da gerate ich schon an meine Grenzen. $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{3n-2}{3n+1} \end{eqnarray*}$

Also für ergäbe das $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{3n-2}{3n+1}=\infty \end{eqnarray*}$

30.03.2013, 22:48

Che Netzer

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RE: Konvergenzradius reloaded
Mit welcher Begründung?

30.03.2013, 22:52

Konvergenzniete

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RE: Konvergenzradius reloaded
Wir haben im Zähler als auch im Nenner unendlich stehen, wenn wir n gegen unendlich laufen lassen. Im Endeffekt ist dann unendlich geteilt durch unendlich was wiederum unendlich ist ? Weiß nicht wie ich es formulieren soll, es ist ja so definiert, dass es unendlich sein muss.

30.03.2013, 22:55

Che Netzer

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RE: Konvergenzradius reloaded
Tut mir leid, aber das ist Unsinn.
Wäre dann auch
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}1=\lim_{n\to\infty}\frac nn=\frac\infty\infty=\infty\,? \end{eqnarray*}$

Kürze stattdessen durch $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .
Solche Grenzwertberechnungen solltest du aber dringend üben.

30.03.2013, 23:13

Konvergenzniete

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RE: Konvergenzradius reloaded

Zitat:

Original von Che Netzer
Tut mir leid, aber das ist Unsinn.
Wäre dann auch
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}1=\lim_{n\to\infty}\frac nn=\frac\infty\infty=\infty\,? \end{eqnarray*}$

Kürze stattdessen durch $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .
Solche Grenzwertberechnungen solltest du aber dringend üben.

Verwirr mich doch bitte nicht geschockt

geschockt

. Das Rechnen mit Unendlich und Zahlen ist an solches ja nicht definiert... das ist mir klar. Vielleicht magst du mir einfach sagen was in meinem Denken falsch ist damit ich es für die Zukunft weiß. Das wäre lieb.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}1=\lim_{n\to\infty}\frac nn=\frac\infty\infty=\infty\ \end{eqnarray*}$

Das ist doch falsch...

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}1=?\ \end{eqnarray*}$ ?

[l]\lim_{n\to\infty}\frac nn[\/l] existiert nicht ?

30.03.2013, 23:17

Che Netzer

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RE: Konvergenzradius reloaded
Hm...
Dann mal ein kleiner Exkurs in die Berechnung von Grenzwerten.
Zunächst ist $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}1=1 \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ist unabhängig von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

Jetzt wollen wir den Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \frac{3n-2}{3n+1} \end{eqnarray*}$ bestimmen.
Kürze dazu den Bruch durch $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .
Was erhältst du dann? Kannst du die Grenzwertsätze anwenden, um den Grenzwert des Ergebnisses zu bestimmen?

30.03.2013, 23:25

Konvergenzniete

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RE: Konvergenzradius reloaded

Zitat:

Original von Che Netzer
Jetzt wollen wir den Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \frac{3n-2}{3n+1} \end{eqnarray*}$ bestimmen.
Kürze dazu den Bruch durch $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .
Was erhältst du dann? Kannst du die Grenzwertsätze anwenden, um den Grenzwert des Ergebnisses zu bestimmen?

$\begin{eqnarray*} \frac{3-2}{3+1}=\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ Grenzwertsätze anwenden. Nicht so hatte das Thema nie so wirklich, daher auch meine außerirdischen und bedauerlichen Skills bei diesem Thema... Aber mir liegt sehr viel daran, dass ich es schaffe, daher bin ich für deine Hilfe sehr dankbar.

30.03.2013, 23:28

Che Netzer

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RE: Konvergenzradius reloaded
Du hattest das Thema "Grenzwertsätze" nie, beschäftigst dich aber mit der Konvergenz von Reihen?

Naja, aber das Thema "Kürzen von Brüchen" hattest du doch sicher schonmal.
Allerdings hast du anscheinend gerade das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ aus einer Summe herausgekürzt.
Überprüfe das nochmal...

30.03.2013, 23:31

Konvergenzniete

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RE: Konvergenzradius reloaded
Das habe ich nur herausgekürzt, weil du es gesagt hast... Aus Summen kürzt man ja nicht, ich dachte bei der Konvergenzgeschichte darf man sowas, anscheinend nicht.

30.03.2013, 23:33

Che Netzer

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RE: Konvergenzradius reloaded
Nein, man kürzt ganz normal.
Du nimmst dir den Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{3n-2}{3n+1} \end{eqnarray*}$ und teilst sowohl Zähler als auch Nenner durch $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

30.03.2013, 23:39

Konvergenzniete

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RE: Konvergenzradius reloaded
$\begin{eqnarray*} \frac{3-2/n}{3+1/n} \end{eqnarray*}$ teilen und kürzen sind jetzt nicht gerade Synonyme. Okay.

30.03.2013, 23:49

Che Netzer

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RE: Konvergenzradius reloaded
Aber einen Bruch zu kürzen, bedeutet doch, Zähler und Nenner durch denselben Wert zu teilen verwirrt

verwirrt

Naja, kannst du nun den Grenzwert berechnen?

30.03.2013, 23:57

Konvergenzniete

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RE: Konvergenzradius reloaded
Bevor ich irgendwelche wilden Sachen mache, überlasse ich lieber dir. Sonst bekommst du noch einen Schock Big Laugh

Big Laugh

31.03.2013, 00:19

Che Netzer

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RE: Konvergenzradius reloaded
Sinn der Sache ist es aber, dass du es selbst versuchst...

31.03.2013, 00:22

Konvergenzniete

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RE: Konvergenzradius reloaded
Der Grenzwert existiert nicht.

31.03.2013, 00:24

Che Netzer

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RE: Konvergenzradius reloaded
Naja, so groß war der Schock doch gar nicht.

Zuerst einmal: Was wäre denn der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \frac1n \end{eqnarray*}$ ?
Und/oder: wieso sollte der Grenzwert von eben nicht existieren?

31.03.2013, 00:32

Konvergenzniete

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RE: Konvergenzradius reloaded

Zitat:

Original von Che Netzer
Naja, so groß war der Schock doch gar nicht.

Zuerst einmal: Was wäre denn der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \frac1n \end{eqnarray*}$ ?
Und/oder: wieso sollte der Grenzwert von eben nicht existieren?

$\begin{eqnarray*} \frac1n \end{eqnarray*}$ nähert sich Null, es ist die Nullfolge und der Grenzwert von eben, naja es lässt sich keine Aussage darüber machen ob es divergiert oder konvergiert also existiert der Grenzwert nicht.

31.03.2013, 00:37

Che Netzer

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RE: Konvergenzradius reloaded

Zitat:

Original von Konvergenzniete
naja es lässt sich keine Aussage darüber machen ob es divergiert oder konvergiert

Nein, bisher kannst du keine Aussage darüber machen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wir haben jetzt $\begin{eqnarray*} \frac1n\to0 \end{eqnarray*}$ .
Wir wollen nun den Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \frac{3-\frac2n}{3+\frac1n} \end{eqnarray*}$ bestimmen.
Benutze dazu die Grenzwertsätze.

31.03.2013, 00:39

Konvergenzniete

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RE: Konvergenzradius reloaded
Die nicht vorhandenen Grenzwertsätze verwirrt

verwirrt

Mhm

31.03.2013, 00:42

Che Netzer

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RE: Konvergenzradius reloaded
Sowas wirst du doch wohl kennen...

31.03.2013, 00:48

Konvergenzniete

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RE: Konvergenzradius reloaded
$\begin{eqnarray*} \frac{3-0}{3+0}=1 \end{eqnarray*}$

31.03.2013, 00:49

Che Netzer

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RE: Konvergenzradius reloaded
Schon besser.
Kommst du weiter?

31.03.2013, 00:59

Konvergenzniete

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RE: Konvergenzradius reloaded
Naja wenn mich jemand in die richtige Spur weist, dann komme ich einen niedrigem Gange voran. Dank dir. Und wie geht's jetzt weiter?

31.03.2013, 01:08

Che Netzer

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RE: Konvergenzradius reloaded
Jetzt erinner dich daran, was wir gerade gemacht haben.
Was haben wir wieso ausgerechnet? Was können wir mit dem Ergebnis anfangen?

31.03.2013, 01:15

Konvergenzniete

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RE: Konvergenzradius reloaded
Wir haben doch den Grenzwert berechnet. Ursprünglich waren wir aber auf der Suche nach dem Konvergenzradius. Jetzt fehlt mir bisschen der klare Kopf um zu sagen was wir mit dem Ergebnis anfangen können. Ich weiß das es 3. bzw. Fälle gibt wo man Folgerungen aus dem Konvergenzradius macht.

Ist $\begin{eqnarray*} |x-x_0|<r, \end{eqnarray*}$ so ist die Potenzreihe absolut konvergent.
Ist $\begin{eqnarray*} |x-x_0|>r, \end{eqnarray*}$ so ist die Potenzreihe divergent.
Ist $\begin{eqnarray*} |x-x_0|=r, \end{eqnarray*}$ so kann keine allgemeine Aussage getroffen werden, in manchen Situationen hilft aber der Abelsche Grenzwertsatz.
Ist $\begin{eqnarray*} |x-x_0|\leq r^{\prime}<r, \end{eqnarray*}$ so konvergiert die Potenzreihe gleichmäßig für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x-x_0|\leq r^{\prime} \end{eqnarray*}$ . Auf einem inneren Kreis oder Teilintervall liegt also auch immer eine gleichmäßige Konvergenz vor.

Aber ich weiß nicht so recht was ich damit anfangen soll wird haben den Grenzwert heraus und nicht den Konvergenzradius ?

31.03.2013, 01:22

Che Netzer

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RE: Konvergenzradius reloaded
Diese Auflistung hat nichts mit der Aufgabe zu tun.

Und nochmal: Wieso haben wir diesen Grenzwert berechnet? Wenn das aus dem Kurzzeitgedächtnis schon entfleucht ist, blätter hier im Thread herum.

31.03.2013, 01:33

Konvergenzniete

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RE: Konvergenzradius reloaded
Wieso wir den Grenzwert berechnet haben naja wir haben unser $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ in die Formel eingesetzt
$\begin{eqnarray*} r=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \bigg| \end{eqnarray*}$

Und dann kam der Vorschlag deinerseits den Grenzwert zu berechnen, der der Formel entspricht.

31.03.2013, 01:41

Che Netzer

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RE: Konvergenzradius reloaded
Ja, die Formel stimmt schonmal.
Jetzt setze alle Teile hier zusammen, um den Grenzwert endgültig berechnen.

31.03.2013, 01:47

Konvergenzniete

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RE: Konvergenzradius reloaded
$\begin{eqnarray*} r=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \bigg| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} lim_{n\rightarrow\infty} = \frac{3^n \sqrt{(3n-2)2^n}}{3^{n+1} \sqrt{(3(n+1)-2)2^{n+1}}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}\frac1{3\sqrt2}\sqrt{\frac{3n-2}{3(n+1)-2}}\ =1 \end{eqnarray*}$

Ich blick da nicht mehr durch verwirrt

verwirrt

31.03.2013, 03:01

Che Netzer

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RE: Konvergenzradius reloaded

Zitat:

Original von Konvergenzniete
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}\frac1{3\sqrt2}\sqrt{\frac{3n-2}{3(n+1)-2}}\ =1 \end{eqnarray*}$

Nein, nur die Wurzel geht gegen Eins.

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