Verteilungsfunktion Zerfallsgesetz

Neue Frage »

eulemitbrille Auf diesen Beitrag antworten »
Verteilungsfunktion Zerfallsgesetz
Meine Frage:
Die Dichte einer Verteilungsfunktion sei auf dem Intervall [0,] gegeben durch

a) Bestimmen Sie die Normierungskonstante N
b) In welchem Intervall beginnend bei 0 liegen die Werte, die mit 90% Wahrscheinlichkeit angenommen werden?
c) Berechnen Sie die Erwartungswerte von x und x²
d) Bestimmen Sie mit diesen Erwartungswerten Mittelwert und Varianz

Meine Ideen:
Hallo erstmal smile

Ich sitze jetzt schon ziemlich lange an dieser Aufgabe und je weiter ich damit komme, um so mehr verwirrt sie mich und mein Lehrbuch hilft leider auch nicht.

a)
Mir ist klar, dass es sich bei der angegebenen Formel um das radioaktive Zerfallsgesetz handelt. Da ist N aber dann doch meine Anfangsmenge von zu zerfallenden Kernen, die variabel ist. Ich verstehe also nicht, wie/warum ich das überhaupt ausrechnen soll...
Probiert hab ich es trotzdem, mit folgendem Ansatz:

Wobei p ja die Dichte der Wahrscheinlichkeitsverteilung ist, und dann die tatsächliche Verteilungsfunktion, welche über das gesamte Intervall hinweg ja =1 sein muss, da jeder Kern früher oder später zerfällt.
Also folgt:



Dann habe ich einfach mal substituiert

Wobei der Term, der r enthält, ja gegen 0 läuft weshalb ich den rausgeworfen habe.
Aus dem Rest habe ich dann

erhalten.
Stimmt das so und kann ich den Trick mit der Substitution überhaupt so anwenden? @_@


b)
Denn wenn das so geht, kann ich ja b) auch relativ leicht lösen, indem ich N ersetze.



Nach Kürzen und Einsetzen der Integralgrenzen bekomme ich dann


Kann ich das noch irgendwie weiter ausrechnen? Denn so richtig "schön" sieht mein Ergebnis ja nicht aus!


c)
Wikipedia gibt mir folgende Lösung:

Nimmt man, um den Erwartungswert zu erhalten, jetzt also einfach ein x bzw. x² und multipliziert das mit der Funktion, um dann das Integral davon zu berechnen? Wie kommt man auf sowas?
Den Rechenweg zu 1/lambda habe ich aber wenigstens verstanden Augenzwinkern


d)
(Mit diesem Teil habe ich richtig Probleme)
Weiterhin habe ich folgendes gefunden:
Median:

Varianz:

da

mit


Also ist für die Varianz µ = E(X) und ich kann einfach die Ergebnisse aus c) einsetzen, die Integralgrenzen anpassen und fröhlich sein?

Was ich jetzt mit dem Median anfangen soll, kann ich mir leider überhaupt nicht vorstellen, da lambda ja variabel ist (oder nicht?) und ich dann ja eine Gleichung mit zwei Unbekannten habe.

Muss ich die Werte mit x² aus c) jetzt noch irgendwie da einrechnen? Also, den "gemittelten Mittelwert" bilden, oder etwas in der Richtung, oder reicht da ein konkretes Ergebnis für je x und x²?


Ich wäre sehr dankbar, wenn ihr mir helfen könntet!
Makito Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verteilungsfunktion Zerfallsgesetz
Schade, dass es bislang keine Antwort gab. Ich habe (seltsamerweise genau 1 Jahr später) exakt die gleiche Aufgabe zu lösen und würde mich freuen, wenn jemand Stelung zu den Lösungen von eulemitbrille nehmen könnte. smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

a) ist soweit Ok, wenn auch reichlich umständlich gehandhabt.


Bei b) ist ein Vorzeichenfehler, d.h. das Ergebnis ist .



Bei c) gibt's nix zu sagen zur unsäglichen Frage "wie kommt man auf sowas". Es fehlt die geforderte Berechnung von .



Bei d): Zunächst, um den Median geht's hier gar nicht. Und die Varianz kann mit den Ergebnissen von c) leicht über



berechnet werden.
Makito Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Antwort; mir ist etwas dazwischen gekommen, daher kann ich erst jetzt antworten:

a) und b) habe ich verstanden, c) konnte ich mit etwas Aufwand und part. Integration lösen. Somit habe ich die erwartungswerte und

Die Varianz ist dann

Beim Mittelwert bin ich etwas verwirrt: Reicht es, zu rechnen?
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »