Vektorraum der Polynome

30.03.2013, 20:58

Hantel

Vektorraum der Polynome

Guten Abend,

ich bitte bei folgender Aufgabe um Hinweise, ich weiß nicht, ob ich die Aufgabenstellung richtig verstehe: Die Polynome:

$\begin{eqnarray*} 1, x+1, x^2 +x +1, x^3+x^2+x+1 \end{eqnarray*}$ ,

bilden eine Basis des Vektorraumes der Polynome vom Grad < 4. (i) Zeigen Sie, dass die Ableitung D: f -> f', ein Endomorphismus ist, (ii) bestimmen Sie die darstellende Matrix M(D;B,B) von D bzgl. B.

Zunächst gehe ich mal die erste Aufgabe an:

$\begin{eqnarray*} (i) D(\alpha p_2 + p_3) = D(\alpha(x+1) + x^2 +x +1) = D(\alpha x+\alpha + x^2 +x +1) = \alpha +2x +1 = \alpha \cdot 1 + 2x +1 = \alpha \cdot D(p_2) + D(p_3). \end{eqnarray*}$

Soweit. Hoffe davon kann man was verwerten. Zur zweiten: Ich habe hier im Forum eine ähnliche Frage gepostet, da ging es um eine lineare Abbildung zwischen zwei Basen. Was ich mir gemerkt habe: Wende die Abbildung an, und linear kombiniere Sie dann aus den Vektoren der Basis. Mal sehen ob es hält:

$\begin{eqnarray*} (ii) D(p_1) = 0 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}_B; D(p_2) = 1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}_B; D(p_3) = 2x +1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}_B; D(p_4) = 3x^2 + 2x + 1 = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}_B<br /> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow M(D;B,B) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 &0 &0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Freue mich über Beitrage!

31.03.2013, 03:34

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Zu (i): Das musst Du schon für alle Polynome aus dem Raum beweisen, nicht nur für eins.

Zu (ii): Was ist hier die Basis $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ?

31.03.2013, 14:11

Hantel

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Basis B, von der & in die abgebildet wird, ist der Vektorraum der Polynome vom Grad n<4. (3. Zeile im ersten Beitrag)

Lässt sich der Nachweis, dass D ein Endomorphismus ist, nur erbringen indem p1, p2, p3, p4 miteinander verknüpft werden? Muss man das durchpermutieren? Geht das nicht allgemeiner?

31.03.2013, 14:58

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

zu (i) Wenn du benutzen darfst, dass D linear ist, musst du nur zeigen, dass die Ableitung eines Polynoms vom Grad <4 wieder ein solches ist. Dafür kannst du so ein Polynom in allgemeiner Form aufschreiben und D darauf anwenden. Die Basis brauchst du für den Teil nicht.
(ii) sieht gut aus

01.04.2013, 11:42

Hantel

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von URL
zu (i) Wenn du benutzen darfst, dass D linear ist, ...

Tja, ich weiß nicht recht, ich soll zeigen, dass ein Endomorphismus vorliegt. Kann ich dann die Linearität vorraussetzen? Oder wie meinst du das?

Wenn ich deinen Beitrag richtig verstehen, soll ich in etwa so was tun(?):

$\begin{eqnarray*} D(\sum_i c_i \cdot p_i) = c_1 D( p_1) +c_2 D( p_2) + c_3 D( p_3) + c_4 D( p_4) = \sum_{i+1} c_i p_i' \in B \end{eqnarray*}$

Weiß nicht, ob mir das gefallen will, sieht ein bisschen freimütig aus. Freue mich über weitere Anregungen, Gruß!

01.04.2013, 11:49

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Was sind bei dir eigentlich immer diese $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

Um zu zeigen, dass D linear ist, sind halt die zwei üblichen Eigenschaften zu zeigen. Das sind in diesem Fall die bereits aus der Schule bekannten Ableitungsregeln: Faktorregel und Summenregel. Für letzteres reicht es schon, sich zwei beliebige Polynom aus besagtem Raum zu nehmen. Mit den angegebenen vier Basisvektoren hat dieser Aufgabenteil überhaupt nichts zu tun. Mit diesen Ableitungsregeln ist die Aufgabe sofort erschlagen. Es geht hier wohl nur darum, diese Analogie zu erkennen. Setz doch für die Summe so an: Nimm dir zwei beliebige Polynome f,g und rechne los.

Ob du die Linearität bereits voraussetzen darfst, weiß ich nicht. Das kannst du nur wissen. Instinktiv würde ich aber davon ausgehen, dass das noch zu zeigen ist. Ist aber wie gesagt schnell erledigt.

Und damit es ein Endomorphismus ist, muss die Ableitung eines Polynoms vom Grad kleiner 4 auch wieder ein Polynom vom Grad kleiner 4 sein. Leite ein allgemein gehaltenes Polynom vom Grad kleiner 4 ab und schau dir das Ergebnis an.

01.04.2013, 11:57

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Folge dem Mulder Augenzwinkern

Wobei ich instinktiv die Linearität von D aus der Analysis übernommen hätte Big Laugh

01.04.2013, 12:01

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von URL
Wobei ich instinktiv die Linearität von D aus der Analysis übernommen hätte

Ja, wie gesagt, ich sehe das so, dass man diese Analogie einmal herstellen soll. Dass man summandenweise ableiten darf, wird als bekannt vorausgesetzt, sicher. Ich stelle mir das bei der Homogenität z.B. so vor:

$\begin{eqnarray*} D( \alpha f) = ( \alpha f)' \overset{\text{Analysis}}{=} \alpha f' = \alpha D(f) \end{eqnarray*}$

Analog dann die Summenregel, die dem Fragesteller überlassen sei. Augenzwinkern

01.04.2013, 12:16

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man den Bezug zur Analysis ganz vermeiden will, könnte man D einfach als formale Ableitung definieren, also $\begin{eqnarray*} D(\sum_{k=0}^n a_kx^k) := \sum_{k=1}^n a_k k x^{k-1} \end{eqnarray*}$ .
Details wären dem Fragesteller überlassen Augenzwinkern

01.04.2013, 12:35

Hantel

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für eure zügigen Beiträge.

$\begin{eqnarray*} h(x) = 3 + a x, f(x) = 3, g(x) = a x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h'(x) = a = f'(x) + g'(x). \end{eqnarray*}$

Sowas?

Edit:

Zitat:

Und damit es ein Endomorphismus ist, muss die Ableitung eines Polynoms vom Grad kleiner 4 auch wieder ein Polynom vom Grad kleiner 4 sein. Leite ein allgemein gehaltenes Polynom vom Grad kleiner 4 ab und schau dir das Ergebnis an.

Geht das nicht rückwirkend aus (ii) hervor?

01.04.2013, 13:09

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Hantel
$\begin{eqnarray*} h(x) = 3 + a x, f(x) = 3, g(x) = a x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h'(x) = a = f'(x) + g'(x). \end{eqnarray*}$

Das sind schon wieder speziell gewählte Beispiele und damit wertlos. Du musst das allgemein machen.

Zitat:

Original von Hantel
Geht das nicht rückwirkend aus (ii) hervor?

Leite doch einfach ein allgemeines Polynom eben ab. Warum wehrst du dich denn so dagegen?

$\begin{eqnarray*} f = \sum_{i=0}^3 a_ix^i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D(f) =... ? \end{eqnarray*}$

01.04.2013, 14:12

Hantel

Auf diesen Beitrag antworten »

Mhm, dann jetzt nochmal:

$\begin{eqnarray*} h= f + g = \sum_{i=0}^3 a_ix^i + \sum_{i=0}^3 b_ix^i = \sum_{i=0}^3 ( a_ix^i + b_ix^i) = \sum_{i=0}^3 (a_i + b_i)x^i \overset{(c_i = a_i + b_i)}{=} \sum_{i=0}^3 c_ix^i . \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D(h) = \sum_{i=1}^3 i c_i x^{i-1} \overset{\circlearrowright}{=} \sum_{i=1}^3 i(a_i + b_i)x^{i-1} = \sum_{i=1}^3 ( ia_ix^{i-1} + ib_ix^{i-1}) = \sum_{i=1}^3 ia_ix^{i-1} + \sum_{i=1}^3 ib_ix^{i-1} = D(f) + D(g) = D(h). \end{eqnarray*}$

Zum Zweiten, auch und gerade für den letzten Teil werde ich vermutlich gemeuchelt werden - wie drückt man das Folgende anders und richtig aus?

$\begin{eqnarray*} D(f) = \sum_{i=1}^3 i a_i x^{i-1} \in P_2 \subset P_3 \end{eqnarray*}$

(EDIT)

01.04.2013, 14:19

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz am Ende das ... = D(h) kannst du weglassen, das steht auf der linken Seite der Gleichung schon. Eine Gleichung der Form D(h) = .... mit ... = D(h) abzuschließen ist redundant.

Sonst ist das richtig, auch wenn man die Einführung der Variablen h eigentlich nicht gebraucht hätte. Kann man so machen.

Edit:

Für ein beliebiges Polynom $\begin{eqnarray*} f = \sum_{i=0}^3 a_ix^i \end{eqnarray*}$ , also mit $\begin{eqnarray*} \deg (f) \leq 3 \end{eqnarray*}$ ist doch $\begin{eqnarray*} D(f) = \sum_{i=1}^3 ia_ix^{i-1} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \deg (D(f)) \leq 2 \end{eqnarray*}$ und fertig. Damit ist die Ableitung doch ein Polynom vom Grad kleiner 4. Kleiner 3 sogar, aber uns reicht schon Grad kleiner 4 völlig.

Wenn du $\begin{eqnarray*} P_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P_3 \end{eqnarray*}$ erst einmal definierst, also was du damit meinst, geht deine Schreibweise auch (vielleicht habt ihr euch aber ja in der VL schon auf eine derartige Notation geeinigt, das weiß ich nicht).

Neue Frage »

Antworten »

Vektorraum der Polynome

Verwandte Themen