Fensterln [gelöst]

26.07.2004, 12:53

gg1000

Fensterln [gelöst]

Ein Bayer stellt eine 10m lange Leiter an die Hauswand um zu Fensterln.
Dabei berührt die Leiter genau die Kante das 1m hohen und 1m tiefen Mülltonnenvorbaus am Fuße der Wand.

http://www.g100.de/leiter.gif
Die Leiter reicht genau bis zur Fensterunterkante.
Wie hoch ist das Fenster?

Gesucht ist die genaue Formel oder Lösung - Keine Annäherung.

26.07.2004, 14:07

therisen

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RE: Fensterln

Zitat:

Original von gg1000
Wie hoch ist das Fenster?

Im höchsten oder im tiefsten Punkt?

26.07.2004, 14:11

gg1000

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RE: Fensterln
Unterkante Fenster = Oberkante Leiter = Höhe?

26.07.2004, 14:53

therisen

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x=9,937993689...?

26.07.2004, 15:35

grybl

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Hätte ich auch! smile

26.07.2004, 16:38

Leopold

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \left(1+\sqrt{101}+\sqrt{98-2\sqrt{101}} \right) \end{eqnarray*}$

26.07.2004, 19:11

gg1000

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Habt Ihr schon mal überprüft, ob die Formel mit einer 8m langen Leiter auch noch passt?

26.07.2004, 19:29

Leopold

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l = Leiterlänge
f = Höhe des Fenstersimses (über der Erdoberfläche)

$\begin{eqnarray*} f \ = \ \frac{1}{2} \left( 1+\sqrt{l^2+1}+\sqrt{l^2-2-2\sqrt{l^2+1}} \right) \end{eqnarray*}$

26.07.2004, 19:29

juergen

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Zitat:

Original von gg1000
Habt Ihr schon mal überprüft, ob die Formel mit einer 8m langen Leiter auch noch passt?

Wie willst Du mit einer 8 Meter langen Leiter an ein fast 10 Meter hohes Fenster kommen? verwirrt

26.07.2004, 19:34

Leopold

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Die Fenstersimshöhe ist nicht vorgegeben, sondern aus der Leiterlänge zu ermitteln.

26.07.2004, 21:11

therisen

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Die Fensterhöhe ergibt sich (bei mir) aus:
$\begin{eqnarray*} (\sqrt{(\sqrt{(x-1)^2+1}-F)^2-1}+1)^2+x^2=F^2 \end{eqnarray*}$

wobei F die Fensterhöhe darstellt. x ist dann die gesuchte Fensterhöhe.

Für F=8 ergibt sich ~7,917701...

Was mich interessieren würde, wie ihr (=die anderen) die Aufgabe gelöst habt. Ich habe mehrfach den Pythagoras angewandt smile

EDIT: Ich hoffe, ich habe mich beim eintippen in den Formeleditor nicht vertippt Augenzwinkern

26.07.2004, 23:48

Leopold

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Es geht mit einmal Pythagoras plus Ähnlichkeit.

27.07.2004, 09:21

grybl

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Ich habe es etwas kompliziert gerechnet, weil ich einmal den Strahlensatz bzw. Ähnlichkeiten vermeiden wollte.

Ich erlaube mir, kurz Leopolds Skizze zu verwenden.

$\begin{eqnarray*} v = \frac{1}{tan\alpha} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos\alpha=\frac{1+v}{10} \end{eqnarray*}$

=>

$\begin{eqnarray*} 10cos\alpha=1+\frac{1}{tan\alpha} \end{eqnarray*}$

Das habe ich dann mit dem TI 92 lösen lassen und erhalte für $\begin{eqnarray*} \alpha=83,616^2° \end{eqnarray*}$

v = 0.111882

und dann mit dem Pythagoras

x² = 10² - (1+v)²

x = 9.93799

bei der 8 m langen Leiter x = 7,9177

Etwas umständlich und ich habe mir auch keine Gedanken dazu gemacht, wie man die goniometrische Gleichung ohne TI lösen könnte. Augenzwinkern

27.07.2004, 12:51

therisen

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Ich habe das ganze noch komplizierter gelöst :P

$\begin{eqnarray*} x = u+1 \end{eqnarray*}$

Pythagoras:

$\begin{eqnarray*} x^2+(1+v)^2=l^2 \end{eqnarray*}$

Dann habe ich noch l in h und g aufgeteilt, wobei das "längere Stück", also das von der unteren Fensterkante bis zum Berührpunkt mit der Tonne, h ist. Das andere ist g.

Es gilt: $\begin{eqnarray*} h+g=l \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} => g = l-h \end{eqnarray*}$

Ferner gilt nach Pythagoras: $\begin{eqnarray*} 1^2+v^2=g^2 => v = \sqrt{g^2-1} \end{eqnarray*}$

Nun setzen wir das $\begin{eqnarray*} g = l-h \end{eqnarray*}$ in das $\begin{eqnarray*} v = \sqrt{g^2-1} \end{eqnarray*}$ ein und erhalten:
$\begin{eqnarray*} v= \sqrt{(l-h)^2-1} \end{eqnarray*}$

Aus $\begin{eqnarray*} (x-1)^2+1^2=h^2 \end{eqnarray*}$ folgt: $\begin{eqnarray*} h = \sqrt{(x-1)^2+1} \end{eqnarray*}$

Nun setzen wir das h in unser $\begin{eqnarray*} v= \sqrt{(l-h)^2-1} \end{eqnarray*}$ ein:

$\begin{eqnarray*} v= \sqrt{(l-\sqrt{(x-1)^2+1})^2-1} \end{eqnarray*}$

Nun setzen wir das v in unsere ursprüngliche Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2+(1+v)^2=l^2 \end{eqnarray*}$ ein: $\begin{eqnarray*} x^2+(1+\sqrt{(l-\sqrt{(x-1)^2+1})^2-1})^2=l^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt {{L}^{2}+1}+\frac{1}{2} \sqrt {{\frac {-2\,\sqrt {{L}^{2}+1}+{L}^{2}\sqrt {{L}^{2}+1}-2\,{L}^{2}-2}{\sqrt {{L}^{2}+1}}}} \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

27.07.2004, 13:00

Leopold

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Es geht so, wie ich es in meinem letzten Beitrag skizzenhaft angedeutet habe. Man erhält die Formel aus meinem vorvorletzten Beitrag als Lösung.

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