Duale Basis bestimmen

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Specialagent Auf diesen Beitrag antworten »
Duale Basis bestimmen
Hallo,

ich bereite mich gerade für die LA Klausur vor und es geht um die Bestimmung einer dualen Basis zu einer bereits gegebenen. Ich habe mich schon etwas schlau gemacht und habe herausgefunden, dass ich einfach meine gegebenen Vektoren als Matrix aufschreiben kann, diese dann invertiere und aus der invertierten Matrix die duale Basis ablesen kann (Zeilenvektoren).

In der folgenden Aufgabe wird jedoch etwas anderes gefordert. Ich soll nämlich die Elemente als Linearkombination der kanonischen Projektion angeben (Siehe Bild) und das macht mir momentan leider Probleme bzw. ich bin da gerade etwas verwirrt.

Ich habe hier zwar die Musterlösung (welche aber leider sehr knapp geraten ist), doch weiß ich nicht, ob ich das nun richtig gerechnet habe oder nicht. Ich hoffe, mir kann da jemand kurz helfen.

Folgende Aufgabe:
[attach]29361[/attach]

Gesucht werden also , sodass

Rechnung für :









Also folgt

Was auch mit meiner Lösung übereinstimmt.

Analog dann jeweils und

Also insgesamt die 4 Vektoren:

Nun steht noch in meiner Lösung, dass ist, weobei die Projektion ist. Also für diesen Fall dann und , denn allg. gilt ja für die Projektion u.s.w.

Außerdem für den Rest:

Wenn ich das alles so ausrechne komme ich auf:



Nun stellt sich mir die Frage, was ist nun die duale Basis? Der Vektor ? Oder die 4 zuvor berechneten?

Wenn ich mir meine vorher berechneten 4 Vektoren oben anschaue, erkenne ich, dass die 1. Zeile eben dieser entspricht, die durch das Rechnen mit den Projektionen folgt. Also ist das nun meine Lösung? Bitte um Hilfe!


EDIT Math1986: Bild im Forum hochgeladen, Latex korrigiert
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RE: Duale Basis bestimmen
Der Ansatz ist gut, allerdings ist das m.E. etwas wirr aufgeschrieben.
Fangen wir mal unten an:
Zitat:
Original von Specialagent
Nun stellt sich mir die Frage, was ist nun die duale Basis? Der Vektor ? Oder die 4 zuvor berechneten?

Deine Basis hat vier Elemente, wie soll da ein einziger Vektor die duale Basis sein?

Du sollst die Elemente der dualen Basis als Linearkombination von darstellen. Der Ansatz ist richtig.
Danach wird dein Aufschrieb für mich etwas wirr.
Einfach einsetzen:
Genauso bekommst du dann
und damit und das war's schon für

Zitat:
Original von Specialagent
Also insgesamt die 4 Vektoren [...]

Die drei anderen sind falsch. Wie du auf das
Zitat:
Original von Specialagent


kommst, verstehe ich überhaupt nicht.
Specialagent Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort. Wieso sind denn die 3 anderen falsch, denn ich habe analog gerechnet wie für . Genau nach deiner Rechnung. Hier nochmal beispielsweise für das 2.






Also eigentlich ist hier die einzige Änderung doch nur, dass ich am Anfang der 4 Gleichungen dann halt den nächsten Vektor "einsetze" für den ich die duale Basis bestimme. In dem fall eben jeweils links neben dem Gleichheitszeichen eingesetzt. Analog dann den Rest. Wie sollte es man denn sonst rechnen?

/edit

ich sehe grade, oben ist ein Fehler bei der Rechnung für . Die Rechnungen für
, und werden immer gleich 0 gesetzt, denn der Vektor, den ich dort ja "einsetze" jeweils links neben dem Gleichheizszeichen ist ja eben .

Ich hoffe, es ist verständlich, was ich meine
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Genau, du hast die Beziehung nicht berücksichtigt.

Die duale Basis ist Teilmenge von , also sind das Linearformen, sprich Abbildungen . Insofern ist einsetzen von
in schon der richtige Begriff.
Specialagent Auf diesen Beitrag antworten »

Inwiefern berücksichtige ich denn die Beziehung? Soll ich einfach für die weiteren dann jeweils links neben dem Gleichheitszeichen "einsetzen"? Wenn ja, wieso? Ist das immer so? Dann erhalte ich doch jeweils immer dasselbe Ergebnis?

Tut mir Leid, aber so richtig verstehe ich noch nicht was ich nun genau zu tun habe. Danke für deine Mühe.
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Woher hast du die Werte auf der linken Seite deiner Gleichungen
Zitat:
Original von Specialagent





wenn nicht aus der Beziehung verwirrt

Wenn du die Beziehung verwendest, siehst du auch sofort, dass der erste dieser Werte falsch ist. Es ist
 
 
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Du möchtest anscheinend so etwas wie

für verwenden.
Das entspricht aber nicht .
Damit wäre z.B.

Sieh dir ggf. nochmal an, wofür steht (per Google auch unter "Kronecker-Delta" zu finden).
Specialagent Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, ich hoffe, ich habe es jetzt verstanden.

Ich schreibe das jetzt mal so auf die Schnelle hin und hoffe, ihr versteht was ich meine.

Für folgt dann also für die 4 Gleichungen oben jeweils links

0 =...
1 =...
0 =...
0 =...

Also: a1= 0, a2=1, a3=-1, a4=0

Für

0 =...
0 =...
1 =...
0 =...

Also: a1=0,a2=0,a3=1,a4=-1

Für

0 =...
0 =...
0 =...
1 =...

Also: a1=0,a2=0,a3=0,a4=1

Ich hoffe, das stimmt nun?

Was mir nun noch nicht so ganz klar ist bzw. wie man darauf kommt (ich sehe das nocht nicht), wieso dann folgendes gilt:

=-
=-
=-
=
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast ja z.B. als dargestellt.
Jetzt hast du die mit , , und berechnet.
Das brauchst du jetzt nur noch in die oben genannte Darstellung einzusetzen.
Specialagent Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, ja klar, Danke. Und so rechne ich das dann immer? Also zumindest, wenn ich die Elemente als Linearkombination (wie es in meiner Aufgabe war) darstellen soll.

Danke nochmals für eure Hilfe! Freude
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, diese Darstellung als Linearkombination dieser Projektionen ist auch eine sinnvolle Wahl.
Specialagent Auf diesen Beitrag antworten »

Super, vielen Dank nochmal!
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RE: Duale Basis bestimmen
Noch eine Ergänzung:
Zitat:
Original von Specialagent
ich bereite mich gerade für die LA Klausur vor und es geht um die Bestimmung einer dualen Basis zu einer bereits gegebenen. Ich habe mich schon etwas schlau gemacht und habe herausgefunden, dass ich einfach meine gegebenen Vektoren als Matrix aufschreiben kann, diese dann invertiere und aus der invertierten Matrix die duale Basis ablesen kann (Zeilenvektoren).

Mach das mal und vergleiche mit den Koeffizienten die vorhin berechnet hast Wink
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