kleiner Beweis zu invertierbaren Matrizen

01.04.2013, 13:39

LinA1

kleiner Beweis zu invertierbaren Matrizen

Gegeben die Menge aller invertierbaren $\begin{eqnarray*} n \times n \end{eqnarray*}$ Matrizen über $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , genannt M. Gezeigt werden soll:

$\begin{eqnarray*} A \in M \Rightarrow nA \in M \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N}^+ \end{eqnarray*}$

Das schreit ja nach vollst. Induktion, meine ich. Der Induktionsanfang ist klar. Für n = 1 stimmt die Aussage natürlich trivialerweise. Beim Induktionsschritt hapert es aber etwas. Der Induktionsschritt:

$\begin{eqnarray*} A \in M \end{eqnarray*}$

Induktionsvoraussetzung: Gelte $\begin{eqnarray*} nA \in M \end{eqnarray*}$

Induktionsbehauptung (zu zeigen): $\begin{eqnarray*} (n+1)A \in M \end{eqnarray*}$ bzw: $\begin{eqnarray*} (nA + A) \in M \end{eqnarray*}$

Darf ich das jetzt einfach folgendermaßen umformen? $\begin{eqnarray*} (nA + A) \in M \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} nA \in M + A \in M \end{eqnarray*}$

Dann wäre ich doch fertig?

01.04.2013, 14:41

Elvis

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Ist $\begin{eqnarray*} mA*m^{-1}A^{-1}=E \end{eqnarray*}$ ? Wenn ja, warum, wenn nein, warum nicht ?

01.04.2013, 17:01

LinA1

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Zitat:

Original von Elvis
Ist $\begin{eqnarray*} mA*m^{-1}A^{-1}=E \end{eqnarray*}$ ? Wenn ja, warum, wenn nein, warum nicht ?

Ja, das ist richtig. Weil ich Skalare beliebig kommutieren kann bzgl. Matrixmultiplikation. Also $\begin{eqnarray*} mA * m^{-1}A^{-1} = mm^{-1}AA^{-1} = AA^{-1} = E \end{eqnarray*}$

Wenn ich das richtig sehe, möchtest du auf Folgendes hinaus:

A invertierbar bedeutet: $\begin{eqnarray*} AA^{-1} = E \end{eqnarray*}$

nA invertierbar bedeutet dann:

$\begin{eqnarray*} (nA)A^{-1} = E \end{eqnarray*}$

Wobei $\begin{eqnarray*} (nA)A^{-1} = n(AA^{-1}) = nE \end{eqnarray*}$

nE ist hier aber gleich E, weil ich durch elementare Zeilenumformung aus einer Einheitsmatrix mit Diagonalelementen (n) mit 1/n wieder auf die Einheitsmatrix komme.

Richtig?

01.04.2013, 17:38

Elvis

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Viel einfacher. Wenn das richtig ist, und A invertierbar ist, habe ich die Inverse von nA berechnet, also ist nA in M.

02.04.2013, 00:05

nixchecker1234

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RE: kleiner Beweis zu invertierbaren Matrizen

Zitat:

Original von LinA1
Darf ich das jetzt einfach folgendermaßen umformen? $\begin{eqnarray*} (nA + A) \in M \end{eqnarray*}$
Dann wäre ich doch fertig?

Die Menge aller nxn Matrizen über dem Körper R ist doch eine Gruppe.

Da gilt ja dann, dass die Summe zweier Elemente aus der Gruppe wieder in der Gruppe ist. Ich würd sagen, dass du genau das hier verwenden kannst. nA und A sind jeweils Elemente der Gruppe. Daraus folgt nA+A ist wieder Element der Gruppe. Fertig smile

02.04.2013, 00:35

Che Netzer

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RE: kleiner Beweis zu invertierbaren Matrizen
Zunächst einmal wäre festzustellen, ob $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ nun weiterhin fest für die Größe der Matrix zu verstehen ist oder ob man lieber $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ gewählt hätte.

Und dass die $\begin{eqnarray*} n\times n \end{eqnarray*}$ -Matrizen eine Gruppe bilden, spielt keine Rolle.
Die invertierbaren Matrizen bilden zwar eine Gruppe, aber eine multiplikative.
Die Summe zweier invertierbarer Matrizen muss im allgemeinen nicht invertierbar sein.

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