Lineare Abbildungen - Beweis

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01.04.2013, 16:55	Kris_	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildungen - Beweis Hallo, liebe Mathematiker! Ich soll bei meiner Übung zeigen, ob Abbildungen lineare Abbildungen sind. Ich habe gerade begonnen und möchte mich anhand des ersten Bsp vergewissern, ob ich richtig vorgehe. Also: $\begin{eqnarray} \mathbb R \rightarrow \mathbb R , x \mapsto ax + b \end{eqnarray}$ , für $\begin{eqnarray} a, b \in \mathbb R \end{eqnarray}$ fest Ich habe bei folgender Eigenschaft angesetzt: $\begin{eqnarray} l: U \rightarrow V \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} l(u + v)= l(u) + l(v) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} u, v \in U \end{eqnarray}$ Nun probiere ich einfach aus: ich setze für x zwei verschiedene Werte ein und schau, ob die Definition hier stimmt. $\begin{eqnarray} l(x_{1}+x_{2}) = (x_{1}+x_{2})a+b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} l(x_{1})+l(x_{2}) = x_{1}a+b + x_{2}a+b = (x_{1}+x_{2})a + 2b \end{eqnarray}$ Es ist also nicht das gleiche und meine Abbildung folglich nicht linear. Stimmt mein Gedankengang oder mache ich das komplett falsch? Danke für die Hilfe!!
01.04.2013, 17:00	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildungen - Beweis Naja, das zeigt, dass die Abbildung genau dann linear ist, wenn $\begin{eqnarray} b=0 \end{eqnarray}$ .
01.04.2013, 17:05	Kris_	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, aber sonst passt es? Ich sehe, gerade, wir müssen, wenn die Abbildung eine lineare ist, die Darstellung als Matrix bezüglich der Standardbasis angeben. Wie macht man das bei solchen Abbildungen? Ich wüsste nicht, wie ich mein erstes Bsp hier als Matrix angeben könnte.
01.04.2013, 17:09	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, sonst passt die Rechnung, danach musst du noch die Schlussfolgerung einbauen. Und für $\begin{eqnarray} b=0 \end{eqnarray}$ hat die Abbildung $\begin{eqnarray} x\mapsto ax \end{eqnarray}$ eine ziemlich einfache Matrixdarstellung Welche Dimension müsste die denn haben? Und wie sieht die Standardbasis in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ aus?
01.04.2013, 17:20	Kris_	Auf diesen Beitrag antworten »
Dimension 1? Die Basis ist doch dann auch nur 1, oder?
01.04.2013, 17:26	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, wir suchen also eine $\begin{eqnarray} 1\times1 \end{eqnarray}$ -Matrix. Und deren einziger Eintrag ist was?
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01.04.2013, 17:45	Kris_	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, es müsste eigentlich 1 sein, weil die Abbildung x -> ax ja eine Streckung ist.l
01.04.2013, 17:47	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, dieser eine Eintrag ist das Bild des Einheitsvektors $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ als Koordinatenvektor bezüglich der Standardbasis. Stelle also das Bild von $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ als Linearkombination von $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ dar und schreibe den dabei entstehenden Koeffizienten als alleinigen Eintrag in die Matrix.
01.04.2013, 17:51	Kris_	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, also ist dieser eine Eintrag einfach ein Koeffizient?
01.04.2013, 17:54	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, es ist nur eine reelle Zahl.
01.04.2013, 18:26	Kris_	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, danke sehr!!
01.04.2013, 18:28	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann hast du jetzt also ein Ergebnis herausbekommen?
01.04.2013, 18:56	Kris_	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, ich bin jetzt davon ausgegangen, dass ich die Matrix jetzt habe. Oder war das nicht alles?` mir raucht schon der Kopf, in den Ferien lernen zu müssen und auch noch vier verschiedene Fächer ist einfach anstrengend. Also entschuldige, wenn ich jetzt im Finsteren tappe.
01.04.2013, 19:53	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Es fehlt zwar nur noch die Matrix, aber ich weiß ja nicht, ob du die richtige hast.
04.04.2013, 16:10	Kris_	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, ja.. Naja, es müsste a sein. Ich hoffe, das stimmt jetzt, diese lin. Abbildungen machen mich fertig.
04.04.2013, 16:18	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, die Matrix ist nur $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ .
04.04.2013, 16:34	Kris_	Auf diesen Beitrag antworten »
Phantastisch, merci =)

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