Bayes' Theorem anwenden aber wie?

01.04.2013, 18:57

ermeglio

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Bayes' Theorem anwenden aber wie?

Meine Frage:
Hallo zusammen,
habe folgende Ausganslage:
Aus insgesamt 50 studieren 10 WIW, 20 WINFO und 20 INFO. Aus den WIW Studierenden besuchen 50% die Mathematik. Aus den anderen Studierenden besuchen 40% die Mathematik.

A = studiert WIW
B = besucht die Mathematik

Aufgabe:
Anhand vom Bayes' Theorem berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine(r) aus den Studierenden WIW studiert, wenn er sie die Mathematik beuscht.

so, und nun zu den Problemen.
Mein 1. Problem:

ich verstehe schon mal nicht die Ausgangslage.
es handelt sich ja um eine bedingte Wahrscheinlichkeit. Nur was bedignt was? ist es so richtig:

$\begin{eqnarray*} P(B|A) \end{eqnarray*}$

oder doch so

$\begin{eqnarray*} P(A|B) \end{eqnarray*}$

man kann doch den Satz so oder so verstehen, oder nicht?

Mein 2. Problem:

wieso muss ich diesen Bayes' Theorem anwenden? Ich kann doch diese Formel verwenden
$\begin{eqnarray*} P(A|B)= \frac{P(A\cap B)}{ P(B)} \end{eqnarray*}$

oder nicht?

vielen DAnk im Voraus
gruss
ermeglio

Meine Ideen:
eigentlich hätte ich diese Formel verwenden wollen:
$\begin{eqnarray*} P(A|B)= \frac{P(A\cap B)}{ P(B)} \end{eqnarray*}$

01.04.2013, 19:08

Sendoh

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Nein, Bayes ist hier notwendig. Zu berechnen gilt (und die Forumulierung ist eindeutig)

$\begin{eqnarray*} P(A|B)=... \end{eqnarray*}$

01.04.2013, 20:36

ermeglio

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ok, also wäre ja schon mal das gesuchte klar, es gilt zu finden:
Wahrscheinlichkeit dass eine(r) aus den Studierenden WIW studiert und für die gilt er/sie Mathematik beuscht.

aber, wieso kann ich nicht diese Formel verwenden

$\begin{eqnarray*} P(A|B)= \frac{P(A\cap B)}{ P(B)} \end{eqnarray*}$

diese gilt doch immer wenn P(B) > 0 ist, was ja in diesem Fall gilt.

byw, wenn ich Bayes anwende, dann würde ich ja diese Formel verwenden:

$\begin{eqnarray*} P(A|B)= \frac{P(A)*P(B|A)}{ P(B)} \end{eqnarray*}$

daher würde ich ja dann auch wieder $\begin{eqnarray*} P(B|A) \end{eqnarray*}$ berechnen müssen, wie mache ich das dann? kann doch nicht wieder Bayes auf Bayes verwenden? oder?

01.04.2013, 21:29

Sendoh

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Zitat:

Wahrscheinlichkeit dass eine(r) aus den Studierenden WIW studiert und für die gilt er/sie Mathematik beuscht.

Nein und die Formel von Bayes stimmt auch nicht! Ausserdem ist $\begin{eqnarray*} P(B|A) \end{eqnarray*}$ gegeben.

01.04.2013, 21:35

ermeglio

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hmmm...

verstehe nicht ganz, hast Du mir noch ein paar Tips?

01.04.2013, 22:01

Sendoh

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Setze dich mit dem Satz von Bayes auseinander.
Falls Fragen zu diesem bestehen, helfe ich gerne weiter.

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01.04.2013, 22:55

ermeglio

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Bin verwirrt...

was stimmt a diesen Bayes Satz nicht:

$\begin{eqnarray*} P(A|B) =\frac{ P(B|A) * P(A)}{P(B)} \end{eqnarray*}$

01.04.2013, 23:04

Sendoh

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Die Antwort steht mit Sicherheit in deinen Unterlagen. Wenigstens die Formel zu kennen ist Voraussetzung für unsere Zusammenarbeit!

01.04.2013, 23:37

ermeglio

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habe die Formel aus aus Wiki:

https://de.wikipedia.org/wiki/Bayestheorem

stimmt diese nicht?

02.04.2013, 00:05

Sendoh

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Deine Formel ist aber nicht Bayestheorem. Sie ist ein Spezialfall aus diesem.
Sei $\begin{eqnarray*} A_k \end{eqnarray*}$ , k=1,...,n, eine disjunkte Zerlegung der Ergebnismenge, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} P(A_j |B)=\frac{P(B|A_j)P(A_j)}{\sum_{k=1}^n P(B|A_k)P(A_k)} \end{eqnarray*}$

Zeichne dir am besten ein Baumdiagramm.

02.04.2013, 00:14

ermeglio

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was ist denn $\begin{eqnarray*} P(A_j) \end{eqnarray*}$ ? und was $\begin{eqnarray*} P(A_k) \end{eqnarray*}$ ?

mit dem Baum kann ich es lösen, aber ich soll ja das Bayestheorem brauchen... unglücklich

unglücklich

02.04.2013, 10:57

Dopap

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hier mal eine Vierfeldtafel mit absoluten Angaben, das Ausfüllen dürfte kein Problem sein.

$\begin{eqnarray*} \begin{tabular}{r||c|c||l} X &WIW & Rest & $\sum $ \\ \hline \hline Mathe & 5 & 16 & 21 \\ \hline kein Mathe & 5 & 24 & 29 \\ \hline \hline $\sum $ & 10 & 40 & 50 \\ \hline \end{tabular} \end{eqnarray*}$

und zum Beispiel : $\begin{eqnarray*} p(\text{WIW} | \text{Mathe} )= \frac {5}{21} \end{eqnarray*}$

das ist schon der Satz von Bayes. Hier wird von Wirkung ( Mathe ) auf die Ursache ( WIW ) geschlossen.
Aber auch andere Fragen lassen sich schnell beantworten

$\begin{eqnarray*} p(\text{kein Mathe} | \text{Rest} )= \frac {24}{40} \end{eqnarray*}$

-------------------------------------------------

die Tabelle kannst du auch mit 3 Spalten ausfüllen. WIW, WINFO, INFO was aber für die Ausgangsfrage nix ändert.

Diese Spaltenköpfe wären deine $\begin{eqnarray*} A_k. \end{eqnarray*}$

Die letzte Zeile geteilt 50 wären deine $\begin{eqnarray*} p(A_k) \end{eqnarray*}$

02.04.2013, 17:41

Sendoh

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Zitat:

die Tabelle kannst du auch mit 3 Spalten ausfüllen. WIW, WINFO, INFO was aber für die Ausgangsfrage nix ändert.

Es ist auch nicht möglich, weil die Aufgabenstellung nur den gemeinsamen Prozentsatz der zusätzlich Mathestudierenden aus WINFO und INFO hergibt.

Zu den A_k. Eine disjunkte Zerlegung des Ergebnisraumes, typischerweise mit $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ bezeichnet, heißt, dass $\begin{eqnarray*} \cup_{k=1}^n A_k=\Omega \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_k\cap A_j=\emptyset \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} j\neq k \end{eqnarray*}$ gilt. Hier: Die Unterteilung in "Mathe" und "kein Mathe" ist eine solche Zerlegung. Der Satz von Bayes, wie von Dopap angesprochen, vertauscht die Knoten in deinem Baumdiagramm und gibt die neu entstehenden Wahrscheinlichkeiten an.
Jetzt sind aber ausreichend Hilfestellungen gegeben worden.
Ich will jetzt eine Rechnung sehen Teufel

Teufel

03.04.2013, 07:18

ermeglio

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ok, wenn ich alles richtig verstanden hab, ist $\begin{eqnarray*} A_j \end{eqnarray*}$ aber auch ein Teil der disjunkte Ergebnismenge und zwar genau der Teil , für den man die Bedingung "B" dann appliziert.

Stimmt diese Voraussetzung?

dann könnte nämlich $\begin{eqnarray*} A_j \end{eqnarray*}$ die gesuchte Ergebnismenge "WIW Studierende" und für diese dann Bedinung "B" appliziert.

falls diese Annahme stimmt, dann sollte das ganze so aussehen:

$\begin{eqnarray*} P(A_j |B)=\frac{P(B|A_j)P(A_j)}{\sum_{k=1}^n P(B|A_k)P(A_k)} =<br /> \frac{\frac{5}{50}*\frac{1}{5}}{(\frac{16}{5}*\frac{1}{5})+(\frac{5}{50}*\frac{1}{5})} = \frac{5}{21} \end{eqnarray*}$

stimmt nun alles?
gruss
ermeglio

03.04.2013, 08:43

Dopap

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Nun also mit geballter Formel , was aber am Ergebnis auch nichts ändert.

Wenn Sendoh das so haben will ...

03.04.2013, 09:36

ermeglio

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d.h. man hätte es also auch einfacher lösen können oder ? verwirrt

verwirrt

03.04.2013, 11:07

Dopap

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was heisst einfacher ? Alle 3 Vorgehen sind dasselbe. Nur die verwendeten Schreibfiguren unterscheiden sich deutlich.

Ich merk mir einfach: ist B eingetreten, und p(B) geht nach dem Satz der totalen Wkt, dann ist die Wkt den Pfad j "gegangen" zu sein , der Quotient aus der Wkt des Pfades j und p(B).

Damit das mit A und B memorabel ist stell ich mir den Handelsvertreter vor, der täglich eine der Städte aus der

Liste ={Augsburg, Aachen, Aalen , Affalteried...} besucht, mit $\begin{eqnarray*} \sum p(A_j)=1 \end{eqnarray*}$

in den Städten geht er mit gewissen Wahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} p(B|A_j) \end{eqnarray*}$ ins öffentliche Bad. Dass er insgesamt baden geht ist

$\begin{eqnarray*} p(B)=\sum p(A_j)\cdotp p(B|A_j) \end{eqnarray*}$ Summe der Pfade= tot. Wkt

und nun die griffige Frage: er kommt mit nasser Badehose heim. Mit welcher Wkt kann seine Frau schliessen, dass er in der Stadt $\begin{eqnarray*} A_k \end{eqnarray*}$ war ? Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.04.2013, 13:30

Sendoh

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Zitat:

Original von ermeglio

$\begin{eqnarray*} P(A_j |B)=\frac{P(B|A_j)P(A_j)}{\sum_{k=1}^n P(B|A_k)P(A_k)} =\frac{P(B|A_j)P(A_j)}{\sum_{k=1}^n P(B|A_k)P(A_k)} <br /> \frac{\frac{5}{50}*\frac{1}{5}}{(\frac{16}{5}*\frac{1}{5})+(\frac{5}{50}*\frac{1}{5})} = \frac{5}{21} \end{eqnarray*}$

? Die Rechnung ist nicht richtig. $\begin{eqnarray*} P(\text{Ma}|\text{WIW})=\frac{5}{10}\neq \frac{5}{50}=P(\text{Ma}\cap\text{WIW}) \end{eqnarray*}$

Nach deiner Rechnung wäre das Ergebnis außerdem $\begin{eqnarray*} =\frac{1}{33} \end{eqnarray*}$
Deine Überlegungen zu der Interpretation der A_k sind, soweit ich das durch deine merkwürdige Formulierung (z.B. "appliziert") nachvollziehen kann, richtig.

@Dopap: Ich bitte darum, nicht einfach nur das (richtige) Ergebnis
anzuerkennen, sondern auch die Rechnung zu kontrollieren. Des Weiteren wird meiner Meinung nach eine Lösung mittels der Formel gefordert, vorallem weil die Frage im Hochschulbereich gestellt worden ist.

07.04.2013, 14:12

Sendoh

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Auch hier möchte ich gerne auflösen:

$\begin{eqnarray*} P(\text{WIW}\vert\text{Ma})=\frac{P(\text{Ma}\vert\text{WIW})P(\text{WIW})}{P(\text{Ma}\vert\text{WIW})P(\text{WIW})+P(\text{Ma}\vert\text{sonst})P(\text{sonst})}=\frac{\frac{5}{10}\cdot\frac{1}{5}}{\frac{5}{10}\cdot\frac{1}{5}+\frac{4}{10}\cdot\frac{4}{5}}=\frac{5}{21} \end{eqnarray*}$

08.04.2013, 22:05

ermeglio

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habe es nun auch gelöst, vielen Dank an beiden für die tolle Hilfe und Zeit!

ein lieber Gruss
ermeglio

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