Archimedes: Auftriebskraft mit Gradient oder Divergenz?

03.04.2013, 10:09

Lampe16

Archimedes: Auftriebskraft mit Gradient oder Divergenz?

Wikipedia erklärt die Auftriebskraft nach Archimedes mit Hilfe der Divergenz. Wäre hier nicht der Gradient angebrachter?

Meine Sicht:
Die Definition $\begin{eqnarray*} \mathrm{grad}\,p=\lim_{V\rightarrow 0}\frac{\oint_{\partial \mathcal{V}} p\mathrm{d}\vec A}{V} \end{eqnarray*}$ zieht den allgemein gültigen Integralsatz
$\begin{eqnarray*} \oint_{\partial \mathcal{V}} p\mathrm{d}\vec A=\int_\mathcal{V}\mathrm{grad}\,p\, \mathrm{d}V \end{eqnarray*}$
nach sich.

Jetzt bedeuten
$\begin{eqnarray*} \vec F: \end{eqnarray*}$ Auftriebskraft,
$\begin{eqnarray*} p: \end{eqnarray*}$ hydrostatischer Druck (positiv) in der Flüssigkeit,
$\begin{eqnarray*} z: \end{eqnarray*}$ nach unten gerichtete Koordinate ab Flüssigkeitsspiegel
$\begin{eqnarray*} g: \end{eqnarray*}$ Erdbeschleunigung und
$\begin{eqnarray*} \rho: \end{eqnarray*}$ Dichte der Flüssigkeit.
Mit
$\begin{eqnarray*} \vec F=-\oint_{\partial \mathcal{V}} p\mathrm{d}\vec A \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} p=g\rho z \end{eqnarray*}$ bei inkompressibler Flüssigkeit
folgt dann aus dem Integralsatz die Auftriebskraft
$\begin{eqnarray*} \vec F=-g\rho V\vec e_z. \end{eqnarray*}$
für beliebig geformte Körper.

Meine Frage s. o..

03.04.2013, 12:23

Ehos

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Auf den Körper wirkt unter Wasser beim Druck p die Kraft (=Druck mal Fläche):

$\begin{eqnarray*} \vec F=\int p\, d\vec A=\int \nabla p\,dV \end{eqnarray*}$

Mit dem Druck $\begin{eqnarray*} p=\rho g z \end{eqnarray*}$ lautet der Gradient $\begin{eqnarray*} \nabla p=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \rho g \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Einsetzen ins Integral ergibt den Satz von Archimedes

$\begin{eqnarray*} \vec F=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ g \underbrace{\cdot \int \rho \, dV}_{\text{Masse}} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \text{Gewicht} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

04.04.2013, 21:34

Lampe16

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@Ehos
mit Deiner Formel $\begin{eqnarray*} \vec F=\int p\, d\vec A=\int \nabla p\,dV \end{eqnarray*}$ meinst Du wahrscheinlich dasselbe wie ich, aber bei Dir ist die resultierende Kraft zum steigenden Druck gerichtet. Du solltest noch jeweils ein Minuszeichen vor den Integralen einfügen, sonst gehen alle Schiffe unter.

Vielleicht benutzt Du aber auch eine andere Vorzeichenkonvention -- wie Druck negativ oder Vektor-Flächenelement nach innen gerichtet.

Entscheidend für mich ist aber, dass auch Du den Gradient und nicht die Divergenz für die Auftriebskraft benutzt.

28.09.2014, 14:07

Dagmar

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archimedisches Prinzip
Archimedes hat nicht zu ende gedacht, dennoch wird seine Sichtweise weiter als Naturgesetz
gelehrt.
Der statische Auftrieb hat nichts mit Kräften zu tun, sondern lediglich mit der Dichte und der
Gravitations- Beschleunigung.
Wasser hat im allgemeinen eine Dichte von 1 Kg / cdm ( Masse pro Volumen ):
Ein Schiff mit einer Masse von 1000 t schwimmt, wenn sein Unterwasserschiff ein
Volumen von 1000 cbm aufweist.

In einen kubischen Behälter mit der inneren Kantenlänge von 10 cm, wird ein Würfel
mit der Kantenlänge von 9,8 cm platziert.
Er soll eine Masse von 0,5 Kg haben.
Durch Zugabe von 20 ccm Wasser würde der Körper schwimmen.
Nach Archimedes sollte es ein halber Liter sein.
Nicht so oft bei WIKI gurgeln !

Gruß Dagmar

28.09.2014, 16:37

RavenOnJ

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RE: Archimedes: Auftriebskraft mit Gradient oder Divergenz?

Zitat:

Original von Lampe16
Wikipedia erklärt die Auftriebskraft nach Archimedes mit Hilfe der Divergenz. Wäre hier nicht der Gradient angebrachter?

Da steht nirgendwo was von Divergenz, nur vom Gradienten. Deine "Sicht" ist exakt das, was in wikipedia schon drinsteht.

28.09.2014, 16:43

RavenOnJ

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RE: archimedisches Prinzip

Zitat:

Original von Dagmar

In einen kubischen Behälter mit der inneren Kantenlänge von 10 cm, wird ein Würfel
mit der Kantenlänge von 9,8 cm platziert.
Er soll eine Masse von 0,5 Kg haben.
Durch Zugabe von 20 ccm Wasser würde der Körper schwimmen.
Nach Archimedes sollte es ein halber Liter sein.

20 ccm Wasser haben eine Masse von 20 g. Ich möchte sehen, wie eine Masse von 500 g darin schwimmt.

28.09.2014, 16:54

RavenOnJ

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RE: archimedisches Prinzip

Zitat:

Original von Dagmar
Archimedes hat nicht zu ende gedacht, dennoch wird seine Sichtweise weiter als Naturgesetz
gelehrt.

Weil Archimedes recht hat.

Zitat:

Der statische Auftrieb hat nichts mit Kräften zu tun, sondern lediglich mit der Dichte und der
Gravitations- Beschleunigung.

Ah ja, da sind also keine Kräfte im Spiel, wenn das Schiff schwimmt anstatt auf den Grund zu sinken?

Zitat:

Wasser hat im allgemeinen eine Dichte von 1 Kg / cdm ( Masse pro Volumen ):
Ein Schiff mit einer Masse von 1000 t schwimmt, wenn sein Unterwasserschiff ein
Volumen von 1000 cbm aufweist.

Sagt Archimedes was anderes? Nicht dass ich wüsste.

28.09.2014, 17:41

Lampe16

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RE: Archimedes: Auftriebskraft mit Gradient oder Divergenz?
@RavenOnJ

Zitat:

Original von RavenOnJ

Zitat:

Original von Lampe16
Wikipedia erklärt die Auftriebskraft nach Archimedes mit Hilfe der Divergenz. Wäre hier nicht der Gradient angebrachter?

Da steht nirgendwo was von Divergenz, nur vom Gradienten. Deine "Sicht" ist exakt das, was in wikipedia schon drinsteht.

Am 03.04.2013 (Datum meines Matheboard-Beitrags, den du kommentierst) stand da "was von Divergenz".
Bitte Zeitpunkte bei deiner Beobachtung beachten.

28.09.2014, 19:59

RavenOnJ

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RE: Archimedes: Auftriebskraft mit Gradient oder Divergenz?

Zitat:

Original von Lampe16

Am 03.04.2013 (Datum meines Matheboard-Beitrags, den du kommentierst) stand da "was von Divergenz".
Bitte Zeitpunkte bei deiner Beobachtung beachten.

Hatte ich übersehen. Du willst also damit betonen, dass du was dazugelernt hast? Gut, immerhin. Aber eigentlich ging es mir um den restlichen ...(nicht druckreif).

28.09.2014, 22:34

Lampe16

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RE: Archimedes: Auftriebskraft mit Gradient oder Divergenz?

Zitat:

Original von RavenOnJ

Hatte ich übersehen. Du willst also damit betonen, dass du was dazugelernt hast? Gut, immerhin. Aber eigentlich ging es mir um den restlichen ...(nicht druckreif).

Du müsstest schon genauer sagen, welchen restlichen ... du meinst. Ich denke, die Richtigstellung des Wikipediaartikels durch meinen Edit vom 7.4.2013 sollte o.k. sein. Zum Beitrag der zu Ende denkenden Dagmar will ich weiter nichts schreiben.

28.09.2014, 23:17

RavenOnJ

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RE: Archimedes: Auftriebskraft mit Gradient oder Divergenz?
Fühlst du dich irgendwie auf den Schlips getreten? Dein Edit des wikipedia-Artikels kenne ich nicht. An der jetzigen Version des Artikels habe ich nichts zu beanstanden, egal ob er von dir ist oder nicht. Ich meinte natürlich den Mist von heute ca. 14:00.

29.09.2014, 09:28

Dopap

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RE: archimedisches Prinzip

Zitat:

Original von RavenOnJ

Zitat:

20 ccm Wasser haben eine Masse von 20 g. Ich möchte sehen, wie eine Masse von 500 g darin schwimmt.

Durch Zugabe von 20ml Wasser schwimmt der Innenwürfel noch nicht. Aber mit 30 ml Wasser müsste es dann klappen. Da hat Dagmar schon recht.

@RavenonJ: hier ist das sogenannte Hydrostatische Paradoxon zu beachten. Die Druckkraft an der Unterseite muss das Gewicht ausgleichen.

Formal werden dann schon 500 ml Wasser verdrängt, da dieses als Volumen des Unterwasseranteils des Körpers definiert wird.

Das archimedische Prinzip ist Folgerung aus der Tatsache, dass ( beim Schwimmen) die Summe der Druckkräfte das Gewicht ausgleichen muss.

Es gibt ein Beispiel, wo Archimedes nicht gilt:

Sitzt der Körper derart glatt auf dem Boden auf, dass sich kein Wasser mehr zwischen Boden und Unterseite des Körpers befindet, dann fehlt eine auftreibende Druckkraft und Archimedes gilt nicht mehr. smile

29.09.2014, 10:23

RavenOnJ

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RE: archimedisches Prinzip

Zitat:

Original von Dopap
Formal werden dann schon 500 ml Wasser verdrängt, da dieses als Volumen des Unterwasseranteils des Körpers definiert wird.

Klar

. Das hydrostatische Paradoxon ist mir bekannt. Es geht ja nur um die Masse, die virtuell in dem verdrängenden Volumen enthalten sein könnte - wenn der verdrängende Körper nicht da wäre. Und da reicht bei einem Gefäß, das nahezu die Ausmaße des Würfels hat, eine minimale Menge.

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