Determinante berechnen 9x9

Neue Frage »

03.04.2013, 19:51	helpsolve	Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante berechnen 9x9 Hallo, ich ich soll aus der folgenden Matrix die Determinante bestimmen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}2&-1&0&0&0&0&0&0&0\\ -1&2&-1&0&0&0&0&0&0\\ 0&-1&2&-1&0&0&0&0&0\\ 0&0&-1&2&-1&0&0&0&0\\0&0&0&-1&2&-1&0&0&0\\ 0&0&0&0&-1&2&-1&0&0\\ 0&0&0&0&0&-1&2&-1&0\\ 0&0&0&0&0&0&-1&2&-1\\ 0&0&0&0&0&0&0&-1&1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Also was mir auffällt ist, dass das eine symmetrische Matrix ist. Ich habe versucht mit diesem Wissen die Determinate zu berechnen, aber das konnte ich nicht. Kann mir bitte jemand helfen?
03.04.2013, 20:54	helpsolve	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante berechnen 9x9 es muss ja einen einfachen Weg geben das zu berechnen. Kann mir jemand sagen mit was ich mich beschäftigen soll? Also einige Hinweise, die ich nachgucken kann.
03.04.2013, 22:00	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Forme erst mal um: Addiere die letzte Zeile zur vorletzten, die dann vorletzte zur drittletzten usw. bis du die zweite zur ersten Zeile addierst. Es ergibt sich eine untere Dreiecksmatrix, deren Determinante sehr einfach zu berechnen ist.
04.04.2013, 11:32	helpsolve	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo nochmal, ich habe folgenden Lösungsweg (Wäre nett, wenn ihr euch die Zeit nehmen würdet, um zu überprüfen, ob ich das richtig gelöst habe.) Wenn ich die erste Spalte und die erste Zeile streiche (Laplace), dann ergibt sich ja vom Aufbau her (fast) die selbe Matrix wie vorher, nur das der Rang 8x8 ist und nicht mehr 9x9. Ich nenne mal die 9x9 Matrix: A Wenn jetzt nach der ersten Spalte entwickelt wird, dann dann steht da: det(A)= 2det(A´) + (-1)det(A´) A´ist die 8x8 Matrix die sich durch den Laplaceschen Entwicklungssatz ergibt. dann steht da: det(A) = (2+ (-1)) det(A´) det(A) = det(A´) und das geht ja immer so weiter, bis man auf die 2x2 Matrix trifft: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , die ja = det(A) = det(A´) ist. Also muss man bloß die Determinante der 2x2 Matrix berechnen und man erhält als Determinante 1. Ist diese Erklärung so richtig?
04.04.2013, 12:05	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann musst du aber mal erklären, warum in der Laplace-Entwicklung die beiden Untermatrizen dieselbe Determinante haben. Außerdem fehlt bei einem Summanden der Vorfaktor -1, denn es heißt $\begin{eqnarray} \det A = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot \det A_{ij} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A_{11} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A_{12} \end{eqnarray}$ sind aber unterschiedlich.
04.04.2013, 12:26	helpsolve	Auf diesen Beitrag antworten »
ja stimmt die sind nicht gleich. Aber dein Vorschlag ist zu aufwändig. Für sowas hat man in der Klausur keine Zeit. Geht das nicht irgendwie so ähnlich? Kannst du mir noch einen anderen Vorschlag nennen oder mir helfen meinen Lösungsvorschlag irgendwie zu verbessern (wenn das geht)?
Anzeige

04.04.2013, 13:08	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich finde meinen Vorschlag nicht aufwendig, auch nicht in einer Klausur. Du musst doch nicht jeden Zwischenschritt aufschreiben, es reicht doch, den Algorithmus bzw. das Verfahren anzugeben und die Matrix bzw. Determinante, die am Schluss rauskommt. Eine andere Möglichkeit wäre in diesem speziellen Fall mit vollständiger Induktion zu arbeiten, indem man zeigt, dass $\begin{eqnarray} n\times n \end{eqnarray}$ -Matrizen der Form $\begin{eqnarray} a_{ik} = \begin{cases}2\text{ für $i=k, i<n$}<br /> 1\text{ für $i=k=n$}<br /> -1\text{ für die 1. untere und obere Nebendiagonale}\end{cases} \end{eqnarray}$ für alle n die Determinante 1 haben. Dies wäre ein relativ schneller Weg, setzt aber voraus, dass man schon das Ergebnis kennt, wie immer bei vollständiger Induktion. Ob man darauf so schnell in einer Klausur kommt, ist die Frage.
04.04.2013, 13:09	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe hier einen Artikel (Link) von tigerbine gefunden. Richtig nachvollzogen und verstanden habe ich ihn nicht. Er könnte aber unter Umständen helfen. Nachfragen bitte nicht an mich. Und verabschiede mich schon.
04.04.2013, 13:13	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
@Kasen75 Das ist als Algorithmus wohl gut, aber ist das für eine Klausur praktikabel? Ich denke nicht. Edit: Das erfordert die rekursive Berechnung aller $\begin{eqnarray} l_{jj}, r_{j,j+1},1<j\le n \end{eqnarray}$ . Abgesehen davon, dass man das Verfahren im Kopf haben muss. Hier wäre das beispielsweise für $\begin{eqnarray} j <n \end{eqnarray}$ $\begin{align} r_{12}&=\frac{a_{12}}{l_{11}}=-\frac 1 2<br /> l_{22}&= a_{22}-a_{21}r_{12}= 2-\frac 1 2 = \frac 3 2<br /> r_{23}&=\frac{a_{23}}{l_{22}}=-\frac 2 3<br /> l_{33}&= a_{33}-a_{32}r_{23}= 2-\frac 2 3 = \frac 4 3<br /> r_{j,j+1}&=\frac{a_{j,j+1}}{l_{j,j}}=-\frac j {j+1}<br /> l_{j,j}&= a_{j,j}-a_{j,j-1}r_{j-1,j}= 2-\frac {j-1} j = \frac {j+1} j<br /> l_{n,n} &=\frac 1{n+1}<br /> \end{align}$ usw. Die Determinante wäre dann ein Teleskopprodukt $\begin{eqnarray} \lvert A\rvert = \lvert L\rvert\cdot\lvert R\rvert = \lvert L\rvert= \prod\limits_{k=1}^n l_{kk} = 2\cdot \frac 3 2 \cdot \frac 4 3\cdots\frac{n+1}n\cdot\frac 1{n+1} = 1 \end{eqnarray}$

Neue Frage »

Antworten »

Determinante berechnen 9x9

Verwandte Themen