Quotientengruppen

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lagrange92 Auf diesen Beitrag antworten »
Quotientengruppen
Meine Frage:
G sei eine Gruppe , wenn das gilt und , dann bezeichnet dies eine Äquivalenrelation auf G.
Wie kann ich mir jetzt G/N als die Quotientengruppe von G modulo N vorstellen?

Meine Ideen:
-
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quotientengruppen
fürs erste verständnis wären sicher die ganzen zahlen oder polynome gute beispiele.
z.b. kennst du ja sicher Z/2Z - das sind einfach die restklassen ganzer zahlen mod 2.
lg
 
 
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quotientengruppen
hallo,
das sind dann die äquivalenzklassen, die dann entstehen, wenn man jedes element aus der gruppe mit den zu ihm äquivalenten elementen zusammenfasst.
gruss ollie3
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Vorsicht ! Die Äquivalenzrelation ist für eine beliebige Untergruppe N von G definiert.
G/N wird genau dann durch aNbN:=abN zu einer Gruppe, wenn N ein Normalteiler von G ist.
Eine Untergruppe N von G heißt Normalteiler von G, wenn für jedes g in G gilt gN=Ng.
lagrange92 Auf diesen Beitrag antworten »

Was genau versteht man unter einem Normalteiler?
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »

eine untergruppe, die abgeschlossen unter konjugation von obergruppenelementen ist. nachlesen
lg
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Definition habe ich schon mitgeliefert: N ist Normalteiler wenn für alle g in G gN=Ng.
lagrange92 Auf diesen Beitrag antworten »

kann man diese Menge jetzt als Untergruppe in G auffassen?
Dummy_cool Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, denn jeder Normalteiler einer Gruppe ist eine Untergruppe
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Die Menge ist genau dann Untergruppe von G, wenn ist.
In dem Fall ist
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

gN ist im allgemeinen keine Untergruppe von G sondern eine Nebenklasse. Zum Beispiel in Vektorräumen V (additive abelsche Gruppe) definiert man Quotientenräume nach Unterräumen U durch . Diese sind vermöge und geeignet definierter Skalarmultiplikation wieder Vektorräume.
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