Wahrscheinlichkeit beim Elferschießen

07.04.2013, 14:32

owadue

Wahrscheinlichkeit beim Elferschießen

Edit (mY+): Hilferufe nerven und bewirken genau das Gegenteil deiner Absicht! Sie sind daher bitte zu unterlassen! Entfernt. Auch der Titel "Aufgabe Stochastik .." ist allles andere als aussagekräftig! Warum kannst du nicht einfach kurz (!) schreiben, worum es in diesem Thema geht?

Hallo Leute, wie berechnet man so eine aufgabe?

Aufgabe:
Wenn bei Fussballspiel jeder Elfmeterschütze mit wahrscheinlichkeit 80% trifft und einzelne Schüsse voneinande unabhängig sind, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach 5 Schützen pro Mannschaft das Spiel entschieden ist?

Wie geht man hier vor?

07.04.2013, 17:00

Sendoh

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Ich bezeichne die beiden Teams mit A und B und in diesem Zusammenhang sei A_i bzw. B_i das Ereignis, dass A bzw. B i Treffer erzielt. Sei zunächst angenommen, dass A gewinnt. Nun gewinnt A genau dann, wenn A mehr Treffer als B erzielt. Es gilt:

$\begin{eqnarray*} P(\text{A gewinnt})=P(A_1|B_0)+P(A_2|B_0)+...+P(A_5|B_0)+P(A_2|B_1)+...+P(A_5|B_1)+...+P(A_5|B_4) \end{eqnarray*}$

Nun kann die Unabhängigkeit ausgenutzt werden.

08.04.2013, 10:35

HAL 9000

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Der senkrechte Strich $\begin{eqnarray*} | \end{eqnarray*}$ in Wahrscheinlichkeitsangaben steht gemeinhin für bedingte Wahrscheinlichkeit. Was du hier meinst sind aber Durchschnitte, d.h., die Symbolik

$\begin{eqnarray*} P(\text{A gewinnt}) = P(A_1 \cap B_0)+ \ldots \end{eqnarray*}$

wäre hier angemessener.

Hinsichtlich der gestellten Frage kann man den Berechnungsaufwand etwas reduzieren, indem man über das Gegenereignis (Komplement) geht:

$\begin{eqnarray*} P(\mbox{$A$ oder $B$ gewinnt}) = 1-P(\mbox{unentschieden}) = 1-\sum_{k=0}^5 P(A_k\cap B_k) = 1-\sum_{k=0}^5 P(A_k)P(B_k) \end{eqnarray*}$ ,

bei letzterem Gleichheitszeichen ist die bereits erwähnte Unabhängigkeit verarbeitet. $\begin{eqnarray*} P(A_k),P(B_k) \end{eqnarray*}$ sind nun aber einfache Binomialverteilungswahrscheinlichkeiten.

08.04.2013, 17:48

Sendoh

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@Hal Danke für die Korrektur. Aber meine Lösung würde funktionieren, wenn Team B zunächst alle seine Elfmeter schießt Teufel

08.04.2013, 18:10

HAL 9000

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Zitat:

Original von Sendoh
@Hal Danke für die Korrektur. Aber meine Lösung würde funktionieren, wenn Team B zunächst alle seine Elfmeter schießt

Deine Lösung funktioniert auch so, ich fand nur die Symbolik leicht befremdlich. Wenn du aber tatsächlich bedingte Wahrscheinlichkeiten meinst, dann ist sie ganz sicher falsch.

08.04.2013, 22:55

thx1139

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Ich hab mal spaßhalber ausgerechnet mit welcher Wahrscheinlichkeit
das Elfmeterschießen vorzeitig entschieden wird Augenzwinkern

p=0.4055

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