Lineare Abbildungen, Matrizen

08.04.2013, 17:27

Pascal456

Lineare Abbildungen, Matrizen

Meine Frage:
Hallo, ich habe Probleme bei dieser Aufgabe:
Es sei $\begin{eqnarray*} \alpha : Q^{2x2} -> Q^{2x2}, A -> A + A^{t} \end{eqnarray*}$ .

Zeigen Sie:
1) dass $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ eine Q-lineare Abbildung ist.
2) ker $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ = { $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ | a = d = 0 und b = -c }
3) im $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ = {A $\begin{eqnarray*} \in Q^{2x2}|A=A^{t} \end{eqnarray*}$ }

Meine Ideen:
Ich weiß nicht, wie ich das mit der linearen Abbildung allgemein zeigen soll, wenn ich keine Abbildungsvorschrift habe.
Bei den anderen beiden Aufgaben habe ich leider auch keine Ideen... :/

08.04.2013, 17:31

watcher

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Hallo,

Zitat:

wenn ich keine Abbildungsvorschrift habe.

Und was ist das

Zitat:

$\begin{eqnarray*} A -> A + A^{t} \end{eqnarray*}$

hier deiner Meinung nach?

08.04.2013, 17:46

Pascal456

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.
... also ich meinte das so, dass ich bis jetzt immer wirklich eine Gleichung hatte, mit der man die Eigenschaften der linearen Abbildung überprüfen kann.

08.04.2013, 17:54

watcher

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Könntest du mir mal ein Beispiel für deine letzte Aussage geben.

Du hast hier sauber definierte Abbildung gegeben. Schöner kann man es eigentlich kaum haben.

Oder kommst du mit der Notation nicht klar? verwirrt

Es ist hier $\begin{eqnarray*} \alpha (A):= A +A^t \end{eqnarray*}$ , nichts anderes sagt $\begin{eqnarray*} A \mapsto A + A^{t} \end{eqnarray*}$ aus.

08.04.2013, 18:06

Pascal456

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Beispiel
Also ich hatte zu Beispiel sowas:
f: R² -> R mit f((x,y)) = x+y
Zu zeigen war dann laut der Definition der linearen Abbildung, dass $\begin{eqnarray*} f( \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} ) = f(\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}) + \lambda f(\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$
und da hat man dann nachher für die 2. Seite der Gleichung wegen f((x,y))=x+y schreiben können x1+lambda y2 + y1 + lambda y2 oder sowas.

Ich glaube, das, mit dem ich nicht klarkomme, ist, dass ich nicht weiß, wie und wann ich die Vorschrift benutzen soll... :/

08.04.2013, 18:11

watcher

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Überall wo f steht solltest du die Definition von f einsetzen.

08.04.2013, 23:13

Pascal456

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.
Ja...
Aber was mache ich jetzt mit der Aufgabe?
Ich muss doch erst mal zeigen, dass f(x+y) = f(x)+f(y).
Nur was ist hier jetzt mein f? x und y sollen ja einfach Elemente aus Q2x2 sein, oder?
Und wie benutze ich die Vorschrift? :/

08.04.2013, 23:35

Pascal456

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...
Also, ich habe mir nun Folgendes überlegt:

zu zeigen: $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ (v+w) = $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ (v) + $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ (w)
v,w $\begin{eqnarray*} \in Q \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} v= \begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2\end{pmatrix} w=\begin{pmatrix} c_1 & c_2 \\ d_1 & d_2 \end{pmatrix} \alpha (v+w) = \begin{pmatrix} a_1+c_1 & a_2 +c_2 \\ b_1+d_1 & b_2 +d_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_1+c_1 & b_1+d_1 \\ a_2+c_2 & b_2+d_2 \end{pmatrix} , \alpha (v) = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_1 & b_1\\ a_2 & b_2 \end{pmatrix} , \alpha (w) ... \end{eqnarray*}$

(keine Lust, jetzt alles auszuschreiben).
Damit kann ich dann rechnen und so weiter und komme dirgendwann darauf, dass beide Seiten gleich sind.
Ist das so richtig..?

08.04.2013, 23:53

Pascal456

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Re: ...
Und ich hoffe, dass ich nicht zu viele Fragen stelle, aber ich bin gerade so gut in Schwung... Big Laugh

zu 2) :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{t} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aus a=d=0 und b=-c folgt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & b \\ c & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & c \\ b & 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \begin{pmatrix} 0 & b+c \\ c+b & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , da b=-c $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ b+c =0

Wäre der Beweis bis dahin okay oder ist das mathematisch gesehen ungenügend?
Ich weiß nur noch nicht, wie ich beweisen kann, dass es nur für diesen Kern gilt.

09.04.2013, 10:03

RavenOnJ

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Du sollst nicht voraussetzen, dass a=d=0 und b=-c, sondern das muss eine Folgerung sein aus der Forderung, dass A zum Kern gehört. Also

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix},A\in \operatorname{Ker}( \alpha)\Rightarrow a=d=0, b=-c \end{eqnarray*}$

Da gilt

$\begin{eqnarray*} A\in \operatorname{Ker}( \alpha)\Leftrightarrow \alpha(A)=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

kannst du daraus die möglichen a,b,c und d bestimmen.

Du hast in deiner Lösung praktisch den umgekehrten Weg beschritten, womit du aber noch nicht gezeigt hast, dass diese Beziehungen für alle Matrizen aus dem Kern gelten, nur dass alle Matrizen mit a=d=0 und b=-c zum Kern gehören.

09.04.2013, 12:00

Pascal456

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Okay, vielen Dank!

Darf ich dann so vorgehen, dass ich sage
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ c&d \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a&c \\b&d \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0&0 \\ 0&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2a&bc\\ bc&2d\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0&0 \\ 0&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und aus 2a=0 bzw 2d=0 folgt a=d=0 und aus bc=0 b=-c?
Oder fehlt da dann wieder was?

09.04.2013, 12:03

RavenOnJ

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Ja, so geht's. Es muss allerdings b+c heißen.

09.04.2013, 12:15

Pascal456

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Ach ja, genau!
Danke!

09.04.2013, 21:32

Pascal456

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3)
Was mache ich bei Aufgabe 3) ..?
"Übersetzt" heißt die Aussage doch, dass das Bild von Alpha gleich A ist und dass gelten muss, das A=A^t.
Das heißt, ddass das Element rechts oben gleich demjenigen links unten sein muss, weil dann A=A^t, oder?
Und jetzt muss ich irgendwas rechnen, aus dem dann hervorgeht, dass das so sein muss und damit habe ich die Aussage bewiesen?

Das Bild einer Matrix bestimmt man doch, indem man den Gauß auf die Spalten anwendet, bzw erst transformiert und dann die Zeilen nimmt, oder?

Ich weiß nicht, wie ich weiter im Beweis vorgehen soll... :/

09.04.2013, 22:05

RavenOnJ

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Nein, es geht hier um die gesamte Bildmenge von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ , nicht um das Bild einer bestimmten Matrix. Die 3) übersetzt heißt, dass das Bild von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ aus allen Matrizen in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q^{2\times 2} \end{eqnarray*}$ besteht, die gleich ihrer Transponierten sind. Dies ist zu zeigen.

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