Beweis von Gruppen |
08.04.2013, 20:30 | MadCookieMonster | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Beweis von Gruppen kurze Aufgabe, mit der ich irgendwie nicht ganz zurecht komme: Beweisen Sie folgende Aussage: Sei eine Gruppe und seien zwei Untergruppen mit (als Mengen). Dann ist oder . (Tipp: Betrachten Sie ein Element und ein Element . Wo liegt das Produkt ?) Mein Ansatz: Wenn ich a und b entsprechend des Tipps wähle dann kann ich lediglich die Aussage treffen, dass das Produkt in G liegt (Abgeschlossenheit von Gruppen). Aber ich kann doch keine Aussage treffen, ob in H1 oder H2. Was übersehe ich? MFG MCM |
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08.04.2013, 20:34 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, liegt in , also o.B.d.A in . Und das ist der Widerspruch (Wenn man mal genauer hinsieht). |
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08.04.2013, 20:43 | MadCookieMonster | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Erstmal Danke für die schnelle Antwort! Leider komme ich damit noch nicht wirklich weiter. Wenn das Produkt in H1 liegt kann ich da trotzem keine wirkliche Information über H1 und H2 draus ziehen. Angenommen H1 = G. Dann habe ich irgendwie so wie so ein Problem a aus G/H1 zu wählen, weil das ja die leere Menge wäre... |
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08.04.2013, 20:47 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wo liegen denn und jeweils drin? |
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08.04.2013, 20:48 | MadCookieMonster | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
a liegt in H2 und b in H1 oder nicht? |
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08.04.2013, 20:51 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Genau. Also haben wir: Nach unserer Annahme aber auch: . Folgere nun einen Widerspruch. |
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08.04.2013, 20:58 | MadCookieMonster | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sorry ich kann dir irgendwie nicht mehr ganz folgen. Für mich klingt es auch irgendwie so, als willst du die Aussage wiederlegen. Aber ich soll sie ja beweisen. wenn a nicht in H1 ist und b in H1 dann kann doch das Produkt von a und b wieder in H1 liegen oder nicht? |
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08.04.2013, 21:14 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wir wollen die Annahme, dass a und b so gewählt werden können, widerlegen. Denn diese Annahme ist genau das Gegenteil der zu zeigenden Aussage.
Nein, natürlich nicht. Das solltest du aber selbst zeigen können. |
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08.04.2013, 21:23 | MadCookieMonster | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay danke ich habe den Ansatz endlich verstanden. Meiner Meinung liegt der Widerspruch nun darin, dass Untergruppen ja abgeschlossen sein müssen bezüglich ihrer Verknüpfung oder? Dann kann es natürlich nicht sein, dass a nicht in H1 liegt, wenn das Produkt von a und b in H1 liegt. Richtig? Edit: Mir ist noch aufgefallen. Wenn ich sage, H1 = G, dann folgt daraus doch schon, dass ich a und b gar nicht wie im Tipp wählen kann. weil a dann aus G\H1 = G\G ={ }... |
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