Gerade ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten im R^n

08.04.2013, 21:34

Sway

Gerade ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten im R^n

Hallo,

ich soll zeigen, dass eine Gerade die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten p und q im R^n ist. Ich habe eine glatte Kurve c von einem kompakten Intervall [a,b] in den R^n, wobei c(a) = p und c(b)=q ist.

Konkret: für jeden Einheitsvektor v des R^n gilt:

$\begin{eqnarray*} <q - p,v> = \int_a^b \! <c'(t),v> \, dt \leq l \end{eqnarray*}$

Wobei l die Länge von c bezügl. dem Intervall [a,b] ist und als Hinweis gibt es die Cauchy-Schwarze Ungleichung.

Also ich habe das Gefühl ich bin nicht soweit von der Lösung entfernt:

Nach dem Hauptsatz der Differential- u. Integralrechnung gilt:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! c'(t) \, dt = q - p \end{eqnarray*}$

Ich verstehe nur nicht ganz wie man darauf kommt. Und es gilt ja auch nur zwischen 0 und 1 oder? Vielleicht kann mir hier jemand das Licht anklipsen...

Vielen Dank!

09.04.2013, 12:52

magic_hero

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RE: Gerade ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten im R^n

Zitat:

Original von Sway
Konkret: für jeden Einheitsvektor v des R^n gilt:

$\begin{eqnarray*} <q - p,v> = \int_a^b \! <c'(t),v> \, dt \leq l \end{eqnarray*}$

Was muss gezeigt werden? Sowohl das "=" als auch das kleiner gleich oder nur eines?

Zitat:

Original von Sway
Wobei l die Länge von c bezügl. dem Intervall [a,b] ist und als Hinweis gibt es die Cauchy-Schwarze Ungleichung.

Ist dir letztere bekannt? Die löst nämlich die Ungleichung beinahe sofort, noch Eigenschaften des Integrals bzw. einer Norm ausgenutzt.... sofern diese Eigenschaften bekannst sind, muss nicht viel gezeigt werden.

Zitat:

Original von Sway
Nach dem Hauptsatz der Differential- u. Integralrechnung gilt:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! c'(t) \, dt = q - p \end{eqnarray*}$

Ich verstehe nur nicht ganz wie man darauf kommt. Und es gilt ja auch nur zwischen 0 und 1 oder?

Wieso zwischen 0 und 1? Laut deiner Voraussetzung ist c eine Kurve auf einem kompakten Intervall [a,b] (!). Ansonsten löst das sicherlich fast direkt die Gleichung, dieses Mal eben mit entsprechender Eigenschaft eines Skalarproduktes.

09.04.2013, 14:26

Sway

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Also erstmal danke für deine Antwort!

Ja es muss beides gezeigt werden.

Also die Cauchy-Schwarze-Ungleichung besagt:

$\begin{eqnarray*} <x,y> \leq ||x||*||y|| \end{eqnarray*}$

Die Länge von c ist: $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! |c'(t)| \, dt \end{eqnarray*}$

was ja gleichbedeutend ist mit: $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! ||c'(t)|| \, dt \end{eqnarray*}$

Ich weiß, dass ||v|| = 1, weil v ja der Einheitsvektor ist, aber in der Cauchy-Schwarzen-Ungl. kommt ja kein Integral vor??

Zu letzterem:

Das habe ich wo gefunden und so eben auch nicht verstanden, aber wieso ergibt dann

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! c'(t) \, dt = q - p \end{eqnarray*}$

Ich kenne mein c doch gar nicht oder?

09.04.2013, 16:39

magic_hero

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Zitat:

Original von Sway
Also die Cauchy-Schwarze-Ungleichung besagt:

$\begin{eqnarray*} <x,y> \leq ||x||*||y|| \end{eqnarray*}$

Passt.

Zitat:

Original von Sway
Die Länge von c ist: $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! |c'(t)| \, dt \end{eqnarray*}$

was ja gleichbedeutend ist mit: $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! ||c'(t)|| \, dt \end{eqnarray*}$

Schreib besser gleich das zweite. Die Betragsstriche benutzt man i.d.R. nur in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , die beiden Normstriche (also der Doppelstrich) dann im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Sway
Ich weiß, dass ||v|| = 1, weil v ja der Einheitsvektor ist

Korrekt.

Zitat:

Original von Sway
aber in der Cauchy-Schwarzen-Ungl. kommt ja kein Integral vor??

Muss es auch nicht. Unter dem Integral steht ja ein Skalarprodukt. Darauf kannst du die C-S-Ungleichung anwenden (dann steht immer noch ein Integral da, aber ein anderer Integrand!) und dann all das, was du bisher weißt, anwenden.

Zitat:

Original von Sway
Das habe ich wo gefunden und so eben auch nicht verstanden, aber wieso ergibt dann

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! c'(t) \, dt = q - p \end{eqnarray*}$

Ich kenne mein c doch gar nicht oder?

Hm, du weißt schon etwas über c, im ersten Beitrag hast du da ein paar Dinge erwähnt. Die genügen auch schon. Wenn du dir mal diesen Integralausdruck genauer ansiehst, sollte es klingeln. Als Hinweis: Erinnere dich mal an die Einführung der Integrale. Im Zusmamenhang damit sollten ganz zentrale Sätze eingeführt worden sein, die das, was da steht, ganz einfach erklären...

09.04.2013, 18:44

Sway

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Ah ok, dann hab ich

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! <c'(t),v>\, dt \leq \int_a^b \! ||c'(t)||*||v|| \, dt \leq \int_a^b \! ||c'(t)|| \, dt \end{eqnarray*}$

und damit wäre das Ungleichheitszeichen gezeigt oder?

Ich glaub ich habs:

Nach dem Hauptsatz der Diff. u. Integralrechnung gilt:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f(x)\, dx = F(b) - F(a) \end{eqnarray*}$ für ein Intervall

Aus der Angabe weiß ich ja, dass c(a) = p und c(b) = q und daraus folgt dann das q - p!

dh. $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! c'(t)\, dt = q - p \end{eqnarray*}$

Also ist

$\begin{eqnarray*} <q - p, v> = <\int_a^b \! c'(t)\, dt , v> = \int_a^b \! <c'(t),v>\, dt \end{eqnarray*}$ weil <.,.> linear ist oder?

Passt das so?

10.04.2013, 08:42

magic_hero

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Zitat:

Original von Sway
Passt das so?

Fast alles. Eine Stelle ist vielleicht noch etwas zu grob:

Zitat:

Original von Sway
Also ist

$\begin{eqnarray*} <q - p, v> = <\int_a^b \! c'(t)\, dt , v> = \int_a^b \! <c'(t),v>\, dt \end{eqnarray*}$ weil <.,.> linear ist oder?

Wenn man das nicht schon irgendwo gezeigt hat, dass man das Integral herausziehen darf, dann ist das nicht direkt aus der Linearität klar. Hier sollte man vielleicht noch mal etwas genauer werden, z.b. über die Definition des Integrals.

10.04.2013, 14:58

Sway

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Hm, also z.b. wäre

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! c f(x) \, dx = c \int_a^b \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Kann ich das auf das Skalarprodukt anwenden?

10.04.2013, 17:49

magic_hero

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Zitat:

Original von Sway
Hm, also z.b. wäre

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! c f(x) \, dx = c \int_a^b \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Kann ich das auf das Skalarprodukt anwenden?

So etwas kannst du anwenden, aber inwiefern hat das mit der Aufgabe zu tun? Da willst du ja das Integral aus dem Skalarprodukt ziehen und nicht eine Konstante aus dem Integral...

10.04.2013, 19:25

Sway

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Das hätte mich auch gewundert Augenzwinkern

Also jetzt hab ich noch gefunden, dass man das Integral so definiert:

$\begin{eqnarray*} <f,g> = \int_a^b \! f(x)g(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Ist das die richtige Begründung?

10.04.2013, 22:55

magic_hero

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Zitat:

Original von Sway
Also jetzt hab ich noch gefunden, dass man das Integral so definiert:

$\begin{eqnarray*} <f,g> = \int_a^b \! f(x)g(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Ist das die richtige Begründung?

Nein, so definiert mn ein Skalarprodukt in gewissen Funktionenräumen....

Wie gesagt, du musst zurückgehen auf die Einführung des Riemann-Integrals. Was stellt das Integral denn eigentlich dar (was ist die Bedeutung) und wie würde man rangehen, wenn man von der ganzen Integrationstheorie noch keine Ahnung hat? So beginnt man ja bei der Einführung des Integralbegriffs (vielleicht als Tipp noch das Stichwort Riemann-Summe).

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