Lösung eines Gleichungssystems

21.02.2007, 17:11

Basti79

Lösung eines Gleichungssystems

Hi,
ich bräuchte mal wieder Hilfen, und zwar bei dieser Aufgabe:
(a) Für welches $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist das Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} \lambda x+y+z=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x+\lambda y+z=\lambda \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x+y+\lambda z=\lambda^2 \end{eqnarray*}$

lösbar oder eindeutig lösbar? Berechnen Sie gegebenenfalls in allen Fällen die Lösungen mit Elemination.

(b) Ist die Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems von (a) für $\begin{eqnarray*} \lambda =2 \end{eqnarray*}$ invertierbar? Berechnen Sie gegebenenfalls die Inverse.

So, leider bin ich mir nicht so ganz sicher wie ich die Sache angehen soll. Wenn ich mich recht entsinne, dann ist das System ja eindeutug lösbar, wenn $\begin{eqnarray*} det \mid A \mid \neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Also muß $\begin{eqnarray*} \lambda ^3 -3\lambda +2 \neq 0 \end{eqnarray*}$ sein, und daß ist ja genau bei $\begin{eqnarray*} \lambda \neq -2 \end{eqnarray*}$ der Fall.
Bedeutet daß, das das System für $\begin{eqnarray*} \lambda = \mathbb R \ außer \{ -2\} \end{eqnarray*}$ lösbar ist?

21.02.2007, 17:22

kiste

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Die Bedingung des eindeutig lösens mit der Determinante gilt nur für homogene Gleichungssystem.
Für inhomogene muss gelten:
$\begin{eqnarray*} Rg A = Rg (A+b) \end{eqnarray*}$
Also der Rang der Matrix ist gleich dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix.

Bei b) kannst du mit der Determinante argumentieren da eine Matrix genau dann invertierbar ist wenn die Determinante /= 0 ist.

21.02.2007, 17:33

Basti79

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Zitat:

Original von kiste
Die Bedingung des eindeutig lösens mit der Determinante gilt nur für homogene Gleichungssystem.
Für inhomogene muss gelten:
$\begin{eqnarray*} Rg A = Rg (A+b) \end{eqnarray*}$
Also der Rang der Matrix ist gleich dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix.

Bei b) kannst du mit der Determinante argumentieren da eine Matrix genau dann invertierbar ist wenn die Determinante /= 0 ist.

Ah, ok. Ich dachte, das $\begin{eqnarray*} Rg A = Rg (A+b) \end{eqnarray*}$ würde nur für die Lösung von $\begin{eqnarray*} x, y und z \end{eqnarray*}$ benötigt.
Hier ist $\begin{eqnarray*} Rg A = Rg (A+b) \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} 3=3 \end{eqnarray*}$ , somit gibt es für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ also genau eine Lösung, richtig?
Leider renne ich beim Eleminieren immer in eine Sackgasse, ich kann kein eindeutiges $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ bestimmen verwirrt

.

Gruß

Basti

EDIT: Bei (b) komme ich nun auch nicht weiter, da ich ja durch die Determinante teilen muß. Das ist mit einer Determinante von 0 doch nicht möglich??

21.02.2007, 17:41

kiste

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Ist der Rang unabhängig von Lamda?
Ein eindeutiges Lamda wirst du auch nicht bestimmen können da die Lösung von Lamda abhängt.

21.02.2007, 17:48

Basti79

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Zitat:

Original von kiste
Ist der Rang unabhängig von Lamda?
Ein eindeutiges Lamda wirst du auch nicht bestimmen können da die Lösung von Lamda abhängt.

Bei $\begin{eqnarray*} \lambda = 1 \end{eqnarray*}$ sind die Ränge $\begin{eqnarray*} 0=0 \end{eqnarray*}$ , bei allen anderen $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ sind sie $\begin{eqnarray*} 3=3 \end{eqnarray*}$ .
Aber machr das einen Unterschied?

21.02.2007, 17:58

kiste

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Nein ich habs bloß nicht selbst gerechnet Big Laugh

Zu b)
Welche Formel/Verfahren benutzt du den zum Invertieren.
Und was ist das Problem durch die Determinante zu teilen? Du hast du bereits bestimmt das sie für Lamda = 2 ungleich 0 ist.
Wenn die Determinante 0 ist kann man Matrizen doch gar nicht invertieren

21.02.2007, 18:58

Basti79

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Oops,
schreibfehler im ersten Posting! Bei (b) muß $\begin{eqnarray*} \lambda = -2 \end{eqnarray*}$ sein, deshalb meinte ich ja, die Determinante wäre gleich 0. Also ist die Matrix nicht invertierbar, richtig?

Also wären die richtigen Antworten für diese Aufgabe:
(a) Lösbar für alle $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb R außer -2 \end{eqnarray*}$ ;
(b) Nicht invertierbar, da det = 0.

Aber was mache ich denn nun mit dem Teil in der Aufgabe (a) 'Berechnen Sie gegebenenfalls in allen Fällen die Lösungen Elimination? Ich bin verwirrt....

21.02.2007, 19:26

kiste

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Ok in dem Fall ist es nicht invertierbar.

bei a) musst du die Lösung in abhängigkeit von Lamda berechnen wobei Lamda nicht -2 ist wie du bereits angemerkt hast

21.02.2007, 19:38

Basti79

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Das Problem ist aber, daß ich mir nicht sicher bin, wie ich das machen soll. Für jedes $\begin{eqnarray*} \lambda außer 0 \end{eqnarray*}$ lautet $\begin{eqnarray*} Rg A= Rg (A+b)= 3:3 \end{eqnarray*}$ . somit gibt es für jedes $\begin{eqnarray*} \lambda außer 0 \end{eqnarray*}$ exakt eine Lösung. Aber die kann ich doch nicht alle angeben verwirrt

Gruß

Basti

21.02.2007, 19:43

kiste

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Doch klar kannst du die alle angeben.
Nehmen wir mal folgendes System:
$\begin{eqnarray*} 2a + b = \lambda \\ a+2b = 3\lambda \end{eqnarray*}$
Die Lösung davon ist:
$\begin{eqnarray*} a = -\frac{\lambda}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b = \frac{5\lambda}{3} \end{eqnarray*}$

21.02.2007, 20:44

Basti79

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Hmmm,
ich komm da auf sehr komische Werte:

$\begin{eqnarray*} y=\frac{1-\lambda }{\lambda -\lambda ^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z=1- \frac{1-2\lambda^2 +\lambda^4}{\lambda -\lambda^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x= \frac{-2\lambda +\lambda^2 +2\lambda^3-\lambda^5}{\lambda - \lambda^2} \end{eqnarray*}$

Irgendwie kann ich mich damit nicht wirklich anfreunden...

21.02.2007, 20:57

kiste

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Ich mich auch nicht.
Da ich nicht mehr weiter weiß geb ich dir mal die Lösung. Ich denke du hast genug gerechnet und kannst damit mehr anfangen.
$\begin{eqnarray*} x = -\frac{\lambda+1}{\lambda+2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = \frac{1}{\lambda+2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z = \frac{\lambda^2+2\lambda+1}{\lambda+2} \end{eqnarray*}$

21.02.2007, 21:46

Basti79

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Danke!
Mit Deinen Werten kommt die Probe auch hin! Keine Ahnung, was ich da wieder verzapft habe, ich leg leiber mal ne Pause ein und werde morgen weiterüben.
Gruß
Basti

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