Gruppenhomomorphismus Beweis

09.04.2013, 10:35

Corinah

Gruppenhomomorphismus Beweis

Meine Frage:
Welche der folgenden Abbildungen sind Gruppenhomomorphismen? (Beweis oder Gegenbeispiel)

1) $\begin{eqnarray*} f_{1} : (\mathbb R ,+) -> ({x\in \mathbb R | x > 0},\cdot ), f_{1} (x) = exp(x) \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} f_{2}: (C^{*} , \cdot ) -> (GL(2,\mathbb R ),\cdot ), f_{3} (x+iy) = \begin{pmatrix} x & y \\ -y & x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
... man muss doch zeigen, dass f(ab) = f(a)f(b), oder?
Nur wie mache ich das? Und wie benutze ich da die Gleichung f(x) = e^x?
Danke, VG

09.04.2013, 10:39

watcher

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Hallo,

Zitat:

f(ab) = f(a)f(b)

Bitte aufpassen:
Bei 1) ist es z.B.
$\begin{eqnarray*} f_1(a+b)=f_1(a)\cdot f_1(b) \end{eqnarray*}$
Die Multiplikation steht immer für die Verknüpfung in der entsprechenden Gruppe.

Zitat:

Nur wie mache ich das?

In dem man die Def. einsetzt.

09.04.2013, 12:14

Corinah

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Also exp(a*b) = exp(a)exp(b) mit, a,b Element aus (R,+) ? Aber das wäre ja Schwachsinn, weil
exp(ab) ungleich exp(a)exp(b)..
Ich muss ja auch irgendwie mit reinkriegen, dass auf ({ $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R |x>0 \end{eqnarray*}$ }, $\begin{eqnarray*} \cdot ) \end{eqnarray*}$ abgebildet wird.

09.04.2013, 12:32

RavenOnJ

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Nein, es heißt $\begin{eqnarray*} a+b\mapsto f_1(a+b) = f_1(a)\cdot f_1(b) \end{eqnarray*}$ , wenn es ein Homomorphismus ist.

09.04.2013, 17:57

Corinah

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Also war das Mal falsch? Das steht bei mir im Skript aber so drinnen, mit * bei beiden Seiten...
Aber ansonsten war das richtig eingesetzt? Dann ergibt das mit dem e auch mehr Sinn...

09.04.2013, 18:03

watcher

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Ja das * war falsch.
Ich hätte bereits im Post davor auf diese Fehlerquelle hingewiesen traurig

Nicht umsonst steht bei den Gruppen in der Angabe dabei welche Operation verwendet wird.

Und ja $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ ist ein Hom. da $\begin{eqnarray*} e^{a+b}=e^a \cdot e^b \end{eqnarray*}$

09.04.2013, 20:33

Corinah

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Tut mir leid, ich dachte, dass wäre ein Versehen deinerseits gewesen. Weil ich halt auf mein Skript vertraut hatte... ich dachte, du meintest damit, dass es f1 statt f allgemein heißen muss.
Naja, danke auf jeden Fall!

09.04.2013, 21:26

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Corinah
Das steht bei mir im Skript aber so drinnen, mit * bei beiden Seiten...

Vermutlich soll * einfach die Gruppenoperation in den jeweiligen Gruppen symbolisieren. Das ist dann halt einmal die Addition und in der Zielgruppe die Multiplikation. Bei $\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ ist es beides mal die für den jeweiligen Raum übliche Multiplikation.

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