dickste stelle einer funktion

21.02.2007, 17:24

jojo19

dickste stelle einer funktion

der grapf der funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = x² - \frac{1}{6}x³ \end{eqnarray*}$ und die x-achse begrenzen im 1. quadranten eine fläche.
ein zur y-achse paralleler streifen mit der breite 1 soll so gelegt werden, dass er aus der fläche ein flächenteil größten inhalts ausschneidet.

ok .. ich glaube, ich habe einen ansatz, den ich aber nicht so ganz die tat umsetzen kann.

und zwar hab ich mir gedacht, dass ja a * b möglichst groß sein soll. b = 1 also: a möglochst groß. um a möglichst groß werden zu lassen, brauche ich die breiteste stelle in der funktion. doch wie bekomm ich diese raus?
oder ist der ansatz falsch?

21.02.2007, 17:58

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: dickste stelle einer funktion
funktion kontrollieren, Plotter benutzen

21.02.2007, 18:57

jojo19

Auf diesen Beitrag antworten »

plotter? was zum henker ist ein plotter?

kann ich das nich irgendwie ausrechnen? oder ist mein ansatz falsch und ich muss es ganz anders machen?

21.02.2007, 19:03

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Wer auch mal nach rechts schaut...

21.02.2007, 19:17

jojo19

Auf diesen Beitrag antworten »

das hat mich jetzt ehrlich gesagt in keinster weise weitergebracht .. dass das ca. so aussehen muss, weiß ich auch, kann man ja der aufgabenstellung entnehmen. aber die frage ist ja, wo genau dieser streifen ist .. also in welche höhe. und das kann ich ja nciht so pi mal daumen nach lust und laune einzeichnen, sondern muss die optimale stelle ausrechnen..
oder liege ich total falsch?!?

21.02.2007, 19:21

Rare676

Auf diesen Beitrag antworten »

ja, aber was ist denn daran so schwer.

Du rechnste einfach den Hochpunkt der Funktion f aus, guckst ob der im 1. Quadranten liegt ( sieht man ja beim bild) und zack....da hast deinen punkt

21.02.2007, 19:27

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Lieber jojo,

die Helfer hier im Board haben nicht von vorneherein diese skizze voraugen. Wenn man Hilfe möchte, sollte man sich nicht zu Schade sein, seine Aufgabe angemessen zu stellen.

Des weiteren erkennt man, dass ide verdeckte Fläche als Ganzes wohl kein Rechteck bildet.

die verdeckte Fläche lässt dich durch die Differenz zweier Flächen berechnen. Diese wiederum kann man durch integrieren der Funktion f (mit entsprechender Verschiebung) zwischen ihren Nullstellen berechnen.

21.02.2007, 19:58

jojo19

Auf diesen Beitrag antworten »

tschuldigung .. dachte, das sollte ein lösungsversuch sein *rotwerd* war nicht so gemeint ..

trotzdem, nochmal eine frage. es ist doch nicht sicher, dass der balken dort ist, wo er eingezeichnet ist, oder? es ist ja nur die rede davon, dass er 1 FE dick ist und nicht, dass er beim y-wert 1 ist, oder?

und das mit dem verschieben der funktion nach unten versteh ich auch nicht .. naja, vielleicht sollte ich mir das doch morgen vom lehrer erklären lassen, obwohls natürlich besser wäre, wenn ich s aus eigener kraft schaffen würde und morgen damit rumstrebern könnte ^^

21.02.2007, 21:39

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Sagt einmal alle, sollte der Streifen nicht parallle zur y-Achse sein? verwirrt

mY+

21.02.2007, 21:40

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt wo Du es so in die Runde wirfst... Kann der Plotter eigentlich solche Parallelen einzeichnen? Hammer

Dann stellt sich also die Frage, welches Integral

$\begin{eqnarray*} \int_a^{a+1}~ f(x)~dx, ~a \in[x_0,x_1-1] \end{eqnarray*}$

Den größten Wert hat. Dabei sind $\begin{eqnarray*} x_0, x_1 \end{eqnarray*}$ die Nullstellen von f.

$\begin{eqnarray*} 0= x² - \frac{1}{6}x³ \Rightarrow x_0 = 0, x_1=6 \end{eqnarray*}$

21.02.2007, 21:54

jojo19

Auf diesen Beitrag antworten »

oha ... das hatt ich auch ganz überlesen (obwohl ich s selber geschrieben hab) hm, dann ergibt das alles wieder n bisschen mehr sinn als vorher.
aber trotzdem .. wie bekomm ich denn den flächenmäßig grösten wert raus? hat das noch was mit extremwertaufgaben zu tun oder ist das in der integralrechnung ganz anders? sind noch nich lange bei dem thema ...

21.02.2007, 21:58

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Plotter kann exakte Parallelen zur y-Achse mW nicht zeichnen, weil diese ja explizit keine Funktion darstellen. Ich behelfe mich mit einem Trick, indem ich die Steigung möglichst groß setze:

x = 2

21.02.2007, 22:01

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \int_a^{a+1}~ f(x)~dx, ~a \in[0,5] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_a^{a+1}~ x² - \frac{1}{6}x³~dx = [\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{14}x^4]_{a}^{a+1} \end{eqnarray*}$

Das jetzt mal auflösen und in Abhängigkeit von a maximieren.

@mYthos: Ok, hätte ja ein "versteckes Feature" geben können

21.02.2007, 22:04

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Nullstellen spielen keine Rolle, berechne einfach

$\begin{eqnarray*} \int_a^{a+1}~ (x^2 - \frac{1}{6}x^3) ~dx \end{eqnarray*}$

für a und maximiere dann für a!

mY+

[EDIT:] Sorry, zeitgleich!

mY+

21.02.2007, 22:07

jojo19

Auf diesen Beitrag antworten »

ich fühl mich echt doof .. aber wie maximiere ich a? nach lust und laune ausprobieren?!

21.02.2007, 22:08

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Macht doch nix. Man muss die Nulstellen nicht berechnen, sollte es hier aber (sind ja auch leicht). Denn sie legen den durch die Aufgabenstellung möglichen Bereich von a fest.

Zitat:

Der Graph der Funktion f und die x-Achse begrenzen im 1. Quadranten eine Fläche.

21.02.2007, 22:42

jojo19

Auf diesen Beitrag antworten »

ja, das ist mir ja klar .. aber es geht ja nun im nächsten schritt darum, a zu maximieren, um die größte fläche/das größte integral herauszubekommen. und da harkts bei mir. dass dies im beireich 0-5 sein muss, scheint mir plaubsibel. aber der rest halt. wir haben das noch nicht gemacht, und es wäre unheimlich toll, wenn ich das verstehen würde, damit ich morgen gut im unterricht mitmachen kann.

21.02.2007, 22:44

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Das war eher ein Gespräch zwischen mYthos und mir. Dir hatte ich das Integral doch schon Mundfertig hingeschrieben. Nurnoch die Grenzen einsetzen. Hast aber noch nix gemacht.

$\begin{eqnarray*} \int_a^{a+1}~ f(x)~dx, ~a \in[0,5] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_a^{a+1}~ x² - \frac{1}{6}x³~dx = [\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{14}x^4]_{a}^{a+1} \end{eqnarray*}$

21.02.2007, 22:47

jojo19

Auf diesen Beitrag antworten »

ich find s echt wahnsinnig nett, wie du versuchst (die betonung liegt auf versuchst, scheinbar pick ich s nich), mir zu helfen .....

aber dzu sagst, ich muss a maximieren .. wie maximiere ich das denn? a hat ja schließlich nur einen maximalen wert, den es heißt rauszufinden. und wie ich dies mache, genau das weiß ich nicht. noch hab ich kein a. ich weiß lediglich, dass a irgendwo zwischen 0 und 5 haust .. aber mehr auch nicht.
vielleicht bin ich einfach nur zu dumm ..
__________________________________

kann leider nicht editieren, aber ich glaube, du verstehst mein problem nicht. setze ich deine grenzen ein, habe ich lediglich das integral von 0 BIS 5 ... das mussten wir in der voraufgabe schon lösen, und das war auch kein problem. aber das ist ja hier nicht das problem

21.02.2007, 23:01

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Hier hast Du das Integral von a bis a+1. Wir suchen das a, für das das Integral maximal wird.

$\begin{eqnarray*} \int_a^{a+1}~ x² - \frac{1}{6}x³~dx = [\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{14}x^4]_{a}^{a+1} = [\frac{1}{3}(a+1)^3-\frac{1}{14}(a+1)^4]-[\frac{1}{3}(a)^3-\frac{1}{14}(a)^4] \end{eqnarray*}$

Zusammenfassen, nach Potenzen von a soertiern.

22.02.2007, 00:22

Zellerli

Auf diesen Beitrag antworten »

-scheiße gebaut-
seite 2 total übersehen
<-- b00n

22.09.2007, 23:34

Lich

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich den Term vereinfache kommt raus:

-5/6a^3-9/4a^2-9/2a-27/8

Wie gehe ich jetzt weiter vor?

Ich dachte ich muss jetzt nach dem Hochpunkt der Funktion suchen, aber die Funktion hat keinen...

22.09.2007, 23:37

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo? Wovon sprichst Du bitte? geschockt

22.09.2007, 23:38

Lich2

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von tigerbine
Hier hast Du das Integral von a bis a+1. Wir suchen das a, für das das Integral maximal wird.

$\begin{eqnarray*} \int_a^{a+1}~ x² - \frac{1}{6}x³~dx = [\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{14}x^4]_{a}^{a+1} = [\frac{1}{3}(a+1)^3-\frac{1}{14}(a+1)^4]-[\frac{1}{3}(a)^3-\frac{1}{14}(a)^4] \end{eqnarray*}$

Zusammenfassen, nach Potenzen von a soertiern.

Ich habe versucht das zusammenzufassen und zu sortieren.

22.09.2007, 23:42

Lich

Auf diesen Beitrag antworten »

I $\begin{eqnarray*} \int_a^{a+3}~ x² - \frac{1}{6}x³~dx = [\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{24}x^4]_{a}^{a+3} = [\frac{1}{3}(a+3)^3-\frac{1}{24}(a+3)^4]-[\frac{1}{3}(a)^3-\frac{1}{24}(a)^4] \end{eqnarray*}$

Zusammenfassen, nach Potenzen von a soertiern.
Entschuldigung, ich bin von einer etwas abweichenden Fragestellung ausgegangen, nämlich die gleiche Aufgabe, nur dass statt einer Breite von 1 eine Breite von 3 gewählt wird.

Beim Zusammenfassen und sortieren von Potenzen kommt bei mir raus:
$\begin{eqnarray*} =[-\frac{5}{6}a^3-\frac{9}{4}a^2-\frac{9}{2}a-\frac{9}{2}] \end{eqnarray*}$

ch habe eine neues Thema aufgemacht, da die Fragestellung doch etwas abweicht.

18.01.2012, 19:33

dora87

Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Tag,

ich habe mir die Aufgabe die hier gestellt ist angeschaut und mal berechnet.

Ich würde gerne wissen, ob ihr dasselbe Ergebnis wie ich habt.

Also ich erhalte hiermit einmal 4.1354 für a und für b =5,1354.

Danke euch schonmal für eure Rückmeldung.

LG Dora

19.01.2012, 00:58

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Das kann ich NICHT bestätigen. Das korrekte Ergebnis ist a = rd. 3,479.
Es resultiert aus der quadratischen Gleichung

$\begin{eqnarray*} a^2 -3a - \frac 5 3 = 0 \end{eqnarray*}$

Da für den Extremwert die Flächenfunktion A(a) = F(a+1) - F(a) wieder abzuleiten ist, muss das Integral von f(x) (zu F(x)) nicht direkt ausgeführt werden. Es genügt dann, die Gleichung

$\begin{eqnarray*} f(a+1) - f(a) = 0 \end{eqnarray*}$

zu lösen.

Damit ist auch ersichtlich, dass die Stelle des Extremwertes (x = 4, Maximum) innerhalb des Streifens (nicht notwendigerweise symmetrisch) liegen muss.

Die maximale Fläche dieses Streifens der Breite 1 LE ist übrigens rd. 5,25 FE.

mY+

Neue Frage »

Antworten »

dickste stelle einer funktion

Verwandte Themen