Extremwertaufgabe Rechteck |
| 10.04.2013, 12:07 | MarinaP | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Extremwertaufgabe Rechteck Welches von allen Rechtecken mit dem Flächeninhalt A (100 cm²) hat den kleinsten Umfang die kürzeste Diagonale? Meine Ideen: Bei a habe ich die Bedingung 2x*2y=100 Aufestellt. Als Nebenbedingung habe ich y=50/2x genommen. Stimmt das soweit? Leider komme ich immer auf die falsche Lösung. Die richtige wäre u=40cm und bei b kenne ich mich leider garnicht mehr aus wie ich weiterkommen soll Ich danke Euch für Eure Hilfe! |
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| 10.04.2013, 12:13 | adiutor62 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Differenzialrechnung Die Fläche ist: x*y=100 Der Umfang ist: 2(x+y) |
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| 10.04.2013, 12:14 | Bürgi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Differenzialrechnung Hallo, 1. Ich gehe davon aus, dass Du die Länge x und die Breite y nennst(?). 2. Wie wird - mit diesen Variablenbezeichnungen -
bestimmt? 3. Wie wird die Länge einer Rechteckdiagonalen berechnet? (Tipp: Pythagoras) Benutze die von Dir gewählten Variablenbezeichnungen. |
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| 13.04.2013, 14:50 | MarinaP | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Differenzialrechnung der Umfang ist natürlich 2(x+y) und die Fläche ist x*y=100 die diagonale kann ich mir durch a²+b²=c² ausrechnen. Leider weiß ich nicht wie ich auf die 2 Lösungen meiner beiden Fragen komme=( |
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| 13.04.2013, 17:30 | Bürgi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Differenzialrechnung Hallo, 1. Du hast den Term für den Umfang richtig. Vollständig müsste es heißen: Der Umfang soll extremal werden. Diese Gleichung stellt also Deine Hauptbedingung dar. 2. Du musst nun noch eine Variable in dieser Gleichung mit Hilfe der 2. Gleichung (das ist Deine Nebenbedingung) ersetzen. 3. Du erhältst eine Funktionsgleichung, die Du mit den Mitteln der Analysis weiter bearbeiten sollst. |
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| 13.04.2013, 17:40 | MarinaP | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Differenzialrechnung genau das habe ich getan die NB habe ich mit x*y=100 somit ist y=100/x. Das habe ich in die HB eingesetzt und somit ergibt sich 2x+200/x. Dieses muss ich ableiten, leider kommt bei mir nur blösinn raus. soll ich dass nach der quotientenregel ableiten?? Kenn mich garnicht mehr aus =( |
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| 13.04.2013, 17:49 | Bürgi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Differenzialrechnung Das sieht doch gut aus: Wenn Du jetzt noch als Potenz von x schreibst, ist das Ableiten sehr einfach. EDIT: Muss erst einmal weg. Bin gegen 20.00 Uhr wieder online 
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| 13.04.2013, 19:05 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dein Doppelpost ist nicht nett. Hier geht's weiter. ________________________ 1/x kann auch mit der Quotientenregel abgeleitet werden, wenn dir nichts andere einfällt. Allerdings ist hier die Potenzregel eine Option. mY+ |
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| 13.04.2013, 20:17 | MarinaP | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
tut mirleid falls das nicht nett war, aber war noch nie in einem Forum und deswegen kenne ich mich nicht aus was sich gehört und was nicht 
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| 13.04.2013, 20:32 | MarinaP | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
so wenn ich die potenzfunktion anwende sieht es doch so aus : 2x+200*x^-1 stimmt das so ?? Wenn ja kommt bei mir für x=20 raus, obwohl es 10 sein sollte 
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| 13.04.2013, 21:14 | Bürgi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
1. Die Umfangsfunktion ist Das stimmt. 2. Du schreibst, dass x = 20 rauskommt. Poste doch bitte genau, was Du gerechnet hast. (Anmerkung: Ich will Dich hier nicht vorführen und Du sollst Dich hier nicht blamieren, sondern ich muss wissen, was Du schon weißt, damit ich Dir über die nächsten Hürden helfen kann) |
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| 14.04.2013, 14:06 | MarinaP | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich habe es abgeleitet und zwar so: 2-200*x^-2 ist das richtig?? |
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| 14.04.2013, 15:40 | Bürgi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Term ist korrekt. Ich hatte allerdings in meinen vorherigen Antworten versucht, Dich durch Vormachen dazu zu bewegen, vollständige Gleichungen zu schreiben. Wenn Du einen etwas peniblen Mathe-Lehrer hast, zieht er Dir wegen der äußeren Form richtig Punkte ab. Wie kannst Du nun mit Hilfe dieser Ableitung das Extremum der Funktion u bestimmen? |
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| 14.04.2013, 17:41 | MarinaP | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich weiß grad nicht was du meinst
jetzt sollte ich doch nach x auflösen oder?? Ich setzte diese Gleichung gleich null. dann sieht es doch so aus oder? 2-200/x²=0 -200/x²=-2 -200=-2*x² x²=100 x=10 stimmts? |
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| 14.04.2013, 17:48 | Bürgi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Alles richtig! 
Und nun den 2. Teil der Aufgabe. |
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| 14.04.2013, 17:55 | MarinaP | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wie komme ich aber auf y=10? bei mir kommt y=2,5 raus
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| 14.04.2013, 17:59 | Bürgi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zeig mal bitte, was Du gerechnet hast. |
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| 14.04.2013, 18:01 | MarinaP | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
habe das x in die Zielfunktion eingesetzt. also 2*10+2y=100 und da kommt doch 2,5 raus...oder muss ich das X wo anders einsetzen?? |
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| 14.04.2013, 18:06 | Bürgi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Diese Gleichung ist nicht die Zielfunktion. Du hast hier Extremwertaufgabe Rechteck geschrieben: x * y = 100 und da musst Du den errechneten x-Wert einsetzen. |
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| 14.04.2013, 18:08 | MarinaP | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok dann würde 10 rauskommen. und als Umfang dann 40. Aber warum ist das die Zielfunktion? Als Frage steht doch welches Rechteck den kleinsten Umfang hat?!? |
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| 14.04.2013, 18:12 | MarinaP | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
du hst vorhin aber geschrieben dass u=2x+2y meine Hauptbedingung ist....
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| 14.04.2013, 18:12 | Bürgi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das hast Du einmal geschrieben:
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| 14.04.2013, 18:14 | MarinaP | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
genau ddas ist die nebenbedingung aber nicht die hauptbedingung |
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| 14.04.2013, 18:18 | Bürgi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja genau, und die benutzt man dazu, den Wert der zweiten Variablen zu berechnen, damit nämlich im Anschluß der genaue Wert des kürzesten Umfangs ermittelt werden kann. Wenn Du schreibst, dass 2x + 2y = 100 ist, dann kann der Umfang nicht mehr 40 werden. Diese 40 kommen erst heraus, wenn Du x- und y-Wert kennst. |
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| 14.04.2013, 18:19 | MarinaP | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok mein Fehler. das x muss ich natürlich in die NB einsetzten und somit ist y=10 und der Umfang 40... Dann fehtl nur doch die Diagonale...die wird aber mit x²+y²=d² gerechnet...und somit also nur einsetzten und es kommt d=14,14 ca |
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| 14.04.2013, 18:21 | Bürgi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es kommt zwar zum Schluss dieses Ergebnis heraus, aber woher weißt Du, dass das Rechteck mit dem kleinsten Umfang auch die kürzeste Diagonale hat? Dieses Ergebnis sollen Deine Überlegungen und Rechnungen zeigen. |
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| 14.04.2013, 18:22 | MarinaP | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich muss x in die 2.Ableitung einsetzten oder? und woran erkenne ich dass es minimum oder maximum ist?? |
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| 14.04.2013, 18:27 | Bürgi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bist Du schon bei der Diagonalen oder noch beim Umfang? Grundsätzlich gilt: ... aber das steht in jeder Formelsammlung. Hinweis: Ich bin jetzt erst einmal 2 Stunden weg, komme aber nochmal vorbei. |
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| 14.04.2013, 19:45 | MarinaP | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
bin beim umfang! also das x in die 2. ableitung einsetzen und dann sehen ob es max oer min ist 
und die diagonale hab ich oben ja schon ausgerechnet... |
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| 14.04.2013, 21:05 | Bürgi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das erste ist OK. Du solltest ein Minimum herausbekommen haben. Zum zweiten: Du hast zwar die Länge einer Diagonalen ausgerechnet, aber woher weißt Du eigentlich, das es sich dabei um die kürzeste handelt? |
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| 14.04.2013, 21:13 | MarinaPöltl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Extremwertaufgabe rechteck Ok, dann wäre das erste mal geklärt, und beim zweiten weiss ich es leider nicht. muss ich da auch wieder Ziel und nebenbedingung aufstellen? |
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| 14.04.2013, 21:18 | Bürgi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Extremwertaufgabe rechteck Aber ja! Nur: Die Nebenbedingung kennst Du, das ist immer noch die konstante Fläche, und die Hauptbedingung hast Du mir ja schon geschrieben:
Und nun das bekannte Verfahren anwenden. Noch ein Tipp: Die Ableitung erfordert a) die Kettenregel und b) erhöhte Sorgfalt. |
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| 15.04.2013, 14:40 | MarinaP | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Extremwertaufgabe rechteck Somit habe ich als Zielfunktion: x²+y² > Minimum NB:x*y=100 y=100/x Das in die Zielfunktion einsetzen: x²+100/x²=u(x) stimmt das soweit? |
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| 15.04.2013, 14:41 | MarinaP | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Extremwertaufgabe rechteck Leider weiß ich nicht wie ich das weiter Ableiten soll
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| 16.04.2013, 23:55 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Extremwertaufgabe rechteck
Der Beginn ja, die letzte Zeile nicht! Bei der Zielfunktion handelt es sich um die Diagonale, daher solltest du nicht u(x) schreiben und zweitens hast du falsch quadriert : Bei einem Bruch muss man das mit Zähler UND Nenner machen. Es geht zwar um die Länge der Diagonale, die ein Minimum werden soll, und dabei handelt es sich ja um eine Wurzel, aber zur Vereinfachung kann statt dessen auch deren Quadrat betrachtet werden, denn dieses hat an derselben Stelle ein Extremum. Es ist also die Zielfunktion das Quadrat der Diagonale, bezeiche es mit D(x) Somit kommst du mit der Potenzregel alleine aus. Forme den Bruch um zu mY+ |
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| 16.05.2013, 11:13 | MarinaP | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Extremwertaufgabe rechteck Dann hab ich also als HB: 2x+2y=Minimum NB: x*y=100 y=100/x einsetzen: u(x)=2x+200*x^(-1) u´(x)= 2-200/x²=0 ausgerechnet ergibt das x=10 in die NB einsetzen ergibt y=10 Also ist der Umfang 40! Dann die zweite Ableitung ist: u´´(x)=-400x/x^4 X=10 einsetzen ergibt aber bei mir ein Minimum mit 0,4 zu b) Diagonale: HB: x²+y² = Minimum NB: x*y=100 y=100/x einsetzen: D(x)= x²+10000/x² D´(x)= 2x-20000x/x^4 D´´(x)=2-(20000*x^4-20000x*4x^3/x^8) oder einfacher: D(x)=x²+10000x^(-2) D´(x)= 2x-20000x^(-3) D´´(x)=2+60000x^(-4) ergibt für x=10 und für y=10 in D´´(x) einsetzen ergibt 8>0 also Minumum =) und fertig =) |
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| 16.05.2013, 23:48 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Extremwertaufgabe rechteck
Die 2. Ableitung ist falsch. Aus folgt nämlich ________ b) ist in Ordnung! mY+ |
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| 17.05.2013, 18:11 | MarinaP | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Extremwertaufgabe rechteck Und warum +200/xhoch 3? |
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| 18.05.2013, 00:33 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist eine ganz normale Ableitung nach der Potenzregel. Schreibe als |
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| 19.05.2013, 10:41 | MarinaP | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok, dankeschön, dann wäre dieses Beispiel ja fertig 
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