Orthogonale Abbildung

11.04.2013, 08:53

Hermoine

Orthogonale Abbildung

Sei V ein n-dimensionaler euklidischer Vektorraum. Für $\begin{eqnarray*} a\in V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} S_{a}: V -> V \end{eqnarray*}$ mit:
$\begin{eqnarray*} S_{a}(v) = v-2 \cdot \frac{<v,a>}{<a,a>} \cdot a \end{eqnarray*}$ .

Dazu haben wir dann einige Aufgaben bekommen. Ich hab schon alle durch, nur bei der letzten komme ich nicht weiter:

Sei $\begin{eqnarray*} T: V -> V \end{eqnarray*}$ eine beliebige orthogonale Abbildung. Zeigen Sie:
$\begin{eqnarray*} T^{-1}\cdot S_{a}\cdot T = S_{b} \end{eqnarray*}$ mit einem beliebigen $\begin{eqnarray*} b\in V \end{eqnarray*}$ , mit welchem?

Mein Ansatz bisher: ich hab ein Korollar im Skript gefunden. Für n>2 und $\begin{eqnarray*} A \in O(n) \end{eqnarray*}$ gibt es eine Matrix $\begin{eqnarray*} S \in SO(n) \end{eqnarray*}$ und Drehmatrizen $\begin{eqnarray*} A_{i}\in SO(2) \end{eqnarray*}$ für i = 1, 2, ...., k und eine Zerlegung n = r+s+2k, so dass:

$\begin{eqnarray*} S^{-1}\cdot A\cdot S = \begin{pmatrix} E_{r} & 0 & ...&... & 0 \\ 0 & -E_{s} & ... & ...&... \\ ... & ... & A_{1} & ...&...\\ ...& ... & ...& ...&...\\ 0 & ...& ...&...& A_{k} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also hierauf übertragen:

$\begin{eqnarray*} T^{-1}\cdot S_{a}\cdot T = S_{b}= \begin{pmatrix} E_{r} & 0 & ...&... & 0 \\ 0 & -E_{s} & ... & ...&... \\ ... & ... & A_{1} & ...&...\\ ...& ... & ...& ...&...\\ 0 & ...& ...&...& A_{k} \end{pmatrix} = S_{b}(v) = v-2 \cdot \frac{<v,b>}{<b,b>} \cdot b \end{eqnarray*}$

ich weiß aber nicht, welche b da passen könnten. Ich vermute, irgendwelche b's, die zu a Drehungen oder Spiegelungen darstellen. verwirrt

11.04.2013, 09:37

RavenOnJ

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RE: Orthogonale Abbildung
Ich möchte jetzt hier nicht übernehmen, mir fiel nur was auf:

Zitat:

Original von Hermoine

$\begin{eqnarray*} T^{-1}\cdot S_{a}\cdot T = S_{b}= \begin{pmatrix} E_{r} & 0 & ...&... & 0 \\ 0 & -E_{s} & ... & ...&... \\ ... & ... & A_{1} & ...&...\\ ...& ... & ...& ...&...\\ 0 & ...& ...&...& A_{k} \end{pmatrix} = S_{b}(v) = v-2 \cdot \frac{<v,b>}{<b,b>} \cdot b \end{eqnarray*}$

Wie kommst du drauf? T ist die orthogonale Matrix, nicht $\begin{eqnarray*} S_b \end{eqnarray*}$ . Die zweite Identität ist also nicht OK.

Außerdem verstehe ich die Aufgabe so, dass es zu jedem b eine dazu passende orthogonale Transformation gibt. Vielleicht überlegst du dir erst mal, wie der Vektor $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} S_a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S_b \end{eqnarray*}$ abgebildet wird.

Edit: Nur am Rande: Wenn n gerade, dann können r und s auch beide Null sein.

11.04.2013, 18:26

Hermoine

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RE: Orthogonale Abbildung
Welche Identität ist falsch? Ich vermute, dass ab da das Falsche anfängt. Davor hab ich doch nur die Aufgabe auf den Satz aus der Vorlesung übertragen?

$\begin{eqnarray*} .... = S_{b}(v) = v-2 \cdot \frac{<v,b>}{<b,b>} \cdot b \end{eqnarray*}$
[/quote]

Mann, ich bin total verwirrt.
Zu jedem beliebigen b gibt's ja keine passende Trasformation. da steht ja, geeignetem,

Oh, Sorry sorry!! In der Aufgabe steht: mit einem geeignetem b, mit welchem.

Ändert das den Sachverhalt?

11.04.2013, 21:18

RavenOnJ

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RE: Orthogonale Abbildung
Ich meinte dies:

Zitat:

Original von Hermoine

$\begin{eqnarray*} T^{-1}S_a T = S_{b}{\color{red}=} \begin{pmatrix} E_{r} & 0 & ...&... & 0 \\ 0 & -E_{s} & ... & ...&... \\ ... & ... & A_{1} & ...&...\\ ...& ... & ...& ...&...\\ 0 & ...& ...&...& A_{k} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S_b \end{eqnarray*}$ ist doch nicht orthogonal.

Edit: falsch, s.u.

11.04.2013, 21:37

RavenOnJ

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RE: Orthogonale Abbildung
$\begin{eqnarray*} \frac{<v,b>}{<b,b>} \cdot b \end{eqnarray*}$

ist doch die Projektion von $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ . Alle $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \langle v,b\rangle=0 \end{eqnarray*}$ werden durch $\begin{eqnarray*} S_b \end{eqnarray*}$ auf sich selber abgebildet. Also kann $\begin{eqnarray*} S_b \end{eqnarray*}$ nicht orthogonal sein.

Edit: Diese Schlussfolgerung ist falsch, s.u.

11.04.2013, 22:23

Hermoine

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RE: Orthogonale Abbildung
OK, das stimmt. Nochmal zum klarwerden die Aufgabenstellung jetzt richtig:

Sei $\begin{eqnarray*} T: V -> V \end{eqnarray*}$ eine beliebige orthogonale Abbildung. Zeigen Sie:
$\begin{eqnarray*} T^{-1}\cdot S_{a}\cdot T = S_{b} \end{eqnarray*}$ mit einem geeignetem $\begin{eqnarray*} b\in V \end{eqnarray*}$ , mit welchem?

Laut Vorselungsunterlagen gilt ja auf jedenfall:

$\begin{eqnarray*} T^{-1}\cdot S_{a}\cdot T = \begin{pmatrix} E_{r} & 0 & ...&... & 0 \\ 0 & -E_{s} & ... & ...&... \\ ... & ... & A_{1} & ...&...\\ ...& ... & ...& ...&...\\ 0 & ...& ...&...& A_{k} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =S_{b} \end{eqnarray*}$ gilt also nur, wenn $\begin{eqnarray*} S_{b} \end{eqnarray*}$ orthogonal ist.

Ist die Lösung dann, dass das b so gewählt wird, dass eben nicht v auf sich selbst abgebildet ist? Muss ich dann wieder schauen, ob
$\begin{eqnarray*} <S_{b}(v), S_{b}(w)> = <v,w> \end{eqnarray*}$ erfüllt ist?

mein Ziel bzw meine Hoffnung war eigentlich mit der Matrix oben zu schauen, ob ich das b vllt so wählen kann, dass das ganze = Sb ist.

11.04.2013, 23:17

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RE: Orthogonale Abbildung
Ich denke, du brauchst dieses Korollar gar nicht. Es reicht, in den Ausdruck $\begin{eqnarray*} T^{-1}S_aT(v) \end{eqnarray*}$ die Definition von $\begin{eqnarray*} S_a \end{eqnarray*}$ einzusetzen.

@RavenOnJ: $\begin{eqnarray*} S_a \end{eqnarray*}$ ist doch eine Spiegelung und damit orthogonal und damit wäre doch auch $\begin{eqnarray*} T^{-1}S_aT \end{eqnarray*}$ orthogonal verwirrt

11.04.2013, 23:24

RavenOnJ

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Sorry, ich habe Quatsch geschrieben. Ich habe gerade bemerkt, dass die Abbildung $\begin{eqnarray*} S_b \end{eqnarray*}$ doch othogonal ist, nämlich einfach eine Spiegelung. Die Komponente von $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ -Richtung wird ins Negative gespiegelt. Wenn also die Komponente von $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ -Richtung mit $\begin{eqnarray*} v_{||} \end{eqnarray*}$ bezeichnet wird und die Komponente orthogonal zu $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v_{\bot} \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} v=v_{\bot}+v_{||} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S_b(v) = S_b(v_{\bot}+v_{||}) =v_{\bot}-v_{||} \end{eqnarray*}$

12.04.2013, 16:32

Hermoine

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Wie soll ich denn die Definition von $\begin{eqnarray*} S_{a} \end{eqnarray*}$ da einsetzen?
Ich hab ja nur die Gleichung...

wie sieht $\begin{eqnarray*} T^{-1}S_{a}T(v) \end{eqnarray*}$ denn aus?

RavenOnJ:
deine Ausführung verstehe ich irgendwie nicht. Muss man gar nicht $\begin{eqnarray*} S_{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S_{b} \end{eqnarray*}$ miteinander in Verbindung bringen?

12.04.2013, 21:56

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Es geht doch darum zu zeigen, dass man die Abbildung $\begin{eqnarray*} T^{-1}S_aT \end{eqnarray*}$ auch als Abbildung $\begin{eqnarray*} S_b \end{eqnarray*}$ schreiben kann, wenn man nur das b geeignet wählt.
Schreib doch zuerst $\begin{eqnarray*} S_aT(v)=S_a(Tv) \end{eqnarray*}$ auf. Dazu ersetzt du in der Definition von $\begin{eqnarray*} S_a(v) \end{eqnarray*}$ das v überall durch Tv. Darauf wendest du dann die Abbildung $\begin{eqnarray*} T^{-1} \end{eqnarray*}$ an.

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