Faktorraum, Isomorphie

12.04.2013, 19:39

Sendoh

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Faktorraum, Isomorphie

Meine Frage:
Hi. Seien U_1 und U_2 zwei Unterräume von V. Definieren wir ihre Summe wie folgt: $\begin{eqnarray*} U_1+U_2=\left\{x+y:x\in U_1,y\in U_2\right\} \end{eqnarray*}$
Beweisen Sie, dass falls U_1+U_2=V und $\begin{eqnarray*} U_1 \cap U_2=\left\{0\right\} \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} V/U_1\cong U_2 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Es würde ja genügen, eine bijektive und lineare Abbildung f konkret anzugeben.
Äquivalenzklassen sind der Definitionsbereich von f. Und zwar sind x und y genau dann äquivalent, wenn sie sich nur um ein z aus U_1 unterscheiden. hier ist deshalb [0]={U_1}. Da U_1 und U_2 disjunkt, kann kein u_2 aus U_2 Element der Nullklasse sein.
Zunächst hatte ich die naive Überlegung einfach f so zu wählen: f([x])=x. Das funktioniert aber nicht, da, je nachdem welchen Repräsentanten ich aus einer festen Äquivalenzklasse wähle, für das selbe Argument verschiedene Werte angenommen werden. Weiter habe ich mir überlegt, dass man vllt eine Korrektur mittels Elementen aus U_1 vornehmen könnte, aber auch hier will mir nichts einfallen.
Über einen kleinen Denkanstoss würde ich daher sehr begrüßen.

12.04.2013, 19:58

Elvis

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Für $\begin{eqnarray*} [x]=x+U_1=[y]=y+U_1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} x-y \in U_1 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} f(x)-f(y)=f(x-y)=0 \end{eqnarray*}$ , d.h. deine Abbildung ist wohldefiniert.
Jetzt musst du nur noch linear und bijektiv zeigen (und aufpassen, wo die Voraussetzungen gebraucht werden).

12.04.2013, 20:34

Che Netzer

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Dass eine lineare, bijektive Abbildung ein Isomorphismus ist, stimmt aber nur im Endlichdimensionalen.
Wenn man aber $\begin{eqnarray*} \dim V<\infty \end{eqnarray*}$ (allgemeiner $\begin{eqnarray*} \dim U_2<\infty \end{eqnarray*}$ ) voraussetzt, würde es allerdings auch genügen, folgendes zu zeigen:
Ist $\begin{eqnarray*} \{v_1,\dotsc,v_n\}\subset U_2 \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} \{[v_1],\dotsc,[v_n]\}\subset V/U_1 \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} V/U_1 \end{eqnarray*}$ .

12.04.2013, 20:49

Sendoh

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Achso, okay. Aber bei deiner Begründung setzt du schon Linearität voraus.
Zur Linearität)
i) Seien [x],[y] aus V/U_1. f([x]+[y])=f([x+y])=x+y=f([x])+f([y])
ii) Sei zusätzlich a aus dem Körper. f(a[x])=f([ax])=ax=af([x])
Zur Bijektivität)
i) Injektivität: Ich will zeigen, das ker f=[0]. Dazu kann man wieder deine obige Rechnung verwenden, oder nicht?
ii) Zur Surjektivität: Sei y aus U_2. Dann finde ich doch als Urbild f^-1(y)=[y].
Ich denke, dass meine Argumentation nicht einwandfrei ist, vorallem weil ich die direkte Summe noch nicht verwendet habe.

Edit: @Che Netzer: Darüber habe ich mir eig keine Gedanken gemacht. In der Aufgabenstellung ist über die Dimension nichts bekannt, aber da dies eine Aufgabe aus FunkAna ist, nehme ich an, dass der unendlichdimensionale Fall auch noch gezeigt werden muss (obwohl wir erst zwei VL hatten und noch nicht näher damit gearbeitet haben)=?

12.04.2013, 21:07

Che Netzer

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Wenn in der Aufgabe tatsächlich nichts weiter steht, dann ist wohl keine Endlichdimensionalität vorausgesetzt, noch nicht einmal Normiertheit.
Dann genügen Linearität und Bijektivität natürlich – ich hielt das für eine dieser LinA-Aufgaben, in denen ohne Bemerkung Endlichdimensionalität und Normiertheit vorausgesetzt werden...

12.04.2013, 22:22

Sendoh

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Zitat:

Dass eine lineare, bijektive Abbildung ein Isomorphismus ist, stimmt aber nur im Endlichdimensionalen.

Zitat:

Wenn in der Aufgabe tatsächlich nichts weiter steht, dann ist wohl keine Endlichdimensionalität vorausgesetzt, noch nicht einmal Normiertheit.
Dann genügen Linearität und Bijektivität natürlich

Ist da nicht ein Widerspruch?

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12.04.2013, 22:29

Che Netzer

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Nein, ich bin da wie gesagt von einer anderen Situation ausgegangen.
Halte dich einfach an die Definition eines Isomorphismus aus eurer Vorlesung Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.04.2013, 10:43

tmo

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Du kannst doch nicht einfach $\begin{eqnarray*} f([x]) = x \end{eqnarray*}$ definieren geschockt

geschockt

Warum sollte denn $\begin{eqnarray*} x \in U_2 \end{eqnarray*}$ sein?

Generell würde ich hier nicht empfehlen die Abbildung aus der Faktorstruktur heraus zu definieren. Das ist bekanntlich immer etwas lästig.

Ich würde die Exaktheit der Sequenz (Die Abbildungen darfst du angeben, die sind kanonisch)

$\begin{eqnarray*} 0 \to U_1 \cap U_2 \to U_2 \to (U_1+U_2) /U_1 \to 0 \end{eqnarray*}$

nachweisen, was die allgemeinere Aussage

$\begin{eqnarray*} (U_1+U_2) /U_1 \cong U_2/U_1 \cap U_2 \end{eqnarray*}$

zeigt, die sich in deinem Fall zu $\begin{eqnarray*} V/U_1 \cong U_2 \end{eqnarray*}$ spezialisiert.

Ich halte es übrigens vom algebraischen Standpunkt nicht für sinnvoll eine solche allgemeingültige Aussage (gilt in jeder abelschen Kategorie) mit Hilfe von Basen zu beweisen.

13.04.2013, 12:06

Sendoh

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@tmo:

Ich habe folgendermaßen gedacht: Sei y aus V/U_1, dann ist $\begin{eqnarray*} y\in [0] \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn y aus U_1. In meiner Abbildung werden dann alle Elemente aus U_1 auf die 0 abgebildet, welches natürlich ein Element aus U_2 ist. Für den Fall, dass meine Argumente nicht aus U_1 sind, folgt, dass sie aus U_2 sind, und dann würde ich Elemente aus U_2 nach U_2 in einer Art "identischen Abbildung" abbilden. Ausserdem schien Huggy damit einverstanden zu sein verwirrt

verwirrt

Zu deinem Lösungsvorschlag. Ich habe mich jetzt ein wenig eingelesen. Hier liegt eine kurze exakte Sequenz vor, da die Bilder und Kerne der Pfeile immer {0} sind.
Bei dieser kurzen exakten Sequenz gilt dann folgender Zusammenhang:

$\begin{eqnarray*} U_2\cong (U_1\cap U_2)+(U_1+U_2)/U_1=\left\{v+w, v\in (U_1\cap U_2), w\in (U_1+U_2)/U_1\right\}=\left\{0+w, w\in (U_1+U_2)/U_1\right\}=(U_1+U_2)/U_1=V/U_1 \end{eqnarray*}$

13.04.2013, 12:24

tmo

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Zitat:

Original von Sendoh
Für den Fall, dass meine Argumente nicht aus U_1 sind, folgt, dass sie aus U_2 sind

Dies ist ein Irrglaube.

Man kann das natürlich retten, indem man zeigt, dass jedes Element aus $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ eindeutig durch $\begin{eqnarray*} u_1+u_2 \end{eqnarray*}$ geschrieben werden kann, und dann bildet man $\begin{eqnarray*} [u_1+u_2] \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} u_2 \end{eqnarray*}$ ab.

Das ist aber viel zu viel Aufwand für die Aufgabe, weil man letztendlich jedes Argument mehrere Male benutzt.

Zitat:

Original von Sendoh
Zu deinem Lösungsvorschlag. Ich habe mich jetzt ein wenig eingelesen. Hier liegt eine kurze exakte Sequenz vor, da die Bilder und Kerne der Pfeile immer {0} sind.

Das stimmt so nicht. Wenn du den Formalismus der exakten Sequenz noch nicht kennst, dann ist es hier auch nicht nötig.

Auf jeden Fall ist es sinnvoll, die Abbildung andersrum zu definieren.

Betrachte also $\begin{eqnarray*} U_2 \to V/U_1, u \mapsto [u] \end{eqnarray*}$ .

Hier sind Wohldefiniertheit und Linearität (als Verkettung von Inklusion und Projektion klar) nicht zu zeigen, sondern nur die Injektivität und Surjektivität. Du sparst dir eine Menge Aufwand.

13.04.2013, 13:09

Sendoh

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Das scheint tatsächlich der elegantere Weg zu sein. Die Linearität ist klar. Die Wohldefiniertheit könnte man aber notfalls auch über die Injektivität nachweisen, oder? (Damit tue ich mich immer sehr schwer)

Injektiv: Seien $\begin{eqnarray*} x,y\in U_2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\neq y \end{eqnarray*}$ . Dann gilt: $\begin{eqnarray*} f(x)=x+U_1\neq y+U_1=f(y) \end{eqnarray*}$

Surjektiv: Sei $\begin{eqnarray*} y\in V/U_1 \end{eqnarray*}$ . y lässt sich dann eindeutig als Summe $\begin{eqnarray*} y=u_2+U_1 \end{eqnarray*}$ darstellen mit $\begin{eqnarray*} u_2 \in U_2 \end{eqnarray*}$ , wie du angemerkt hast. Man findet nach Funktionsvorschrift also $\begin{eqnarray*} u_2+U_1=f(u_2) \end{eqnarray*}$

13.04.2013, 15:05

tmo

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Zitat:

Original von Sendoh
Injektiv: Seien $\begin{eqnarray*} x,y\in U_2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\neq y \end{eqnarray*}$ . Dann gilt: $\begin{eqnarray*} f(x)=x+U_1\neq y+U_1=f(y) \end{eqnarray*}$

Das ist doch kein Beweis.

13.04.2013, 15:10

Sendoh

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Ich zeige doch, dass zwei unterschiedliche Argumente nicht denselben Funktionswert haben können. Dazu nutze ich die Funktionsvorschrift und die Voraussetzung.
Bist du denn jedenfalls mit dem Rest einverstanden?

13.04.2013, 18:02

tmo

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Zitat:

Original von Sendoh
Ich zeige doch, dass zwei unterschiedliche Argumente nicht denselben Funktionswert haben können. Dazu nutze ich die Funktionsvorschrift und die Voraussetzung.

Du zeigst es nicht, du schreibst es einfach hin und behauptest es ohne jegliche Argumentation.

Und übrigens zeigt man die Injektivität eines Homomorphismus meist über den Kern. Das geht schneller. (Auch wenn es meist die selbe Argumentation ist, ist es auf jeden Fall weniger Schreibarbeit)

Zitat:

Original von Sendoh
Bist du denn jedenfalls mit dem Rest einverstanden?

Zur Wohldefiniertheit: Die ist hier ja gar nicht zu zeigen. Ich weiß nicht, warum du dir darüber den Kopf zerbrichst.

Zur Surjektivität: Das stimmt zwar, aber streng genommen postulierst du hier auch wieder einfach nur das, was du brauchst und nennst es Beweis. Ob man damit einverstanden ist, hängt im Allgemeinen davon ab, wie der Korrektor gelaunt ist und wie er dich einschätzt Big Laugh

Big Laugh

13.04.2013, 19:54

Sendoh

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Zitat:

Original von tmo
Du zeigst es nicht, du schreibst es einfach hin und behauptest es ohne jegliche Argumentation.

Wahrscheinlich ist mein "Beweis" eh ein Trugschluss. Also das Argument sollte so aussehen: $\begin{eqnarray*} f(x)=x+U_1\stackrel{x\neq y}{\neq} y+U_1=f(y) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Und übrigens zeigt man die Injektivität eines Homomorphismus meist über den Kern. Das geht schneller.

Das mag trivial sein, aber Beweise sind mein Erzfeind. Es ist klar, dass f(0)=[0]. Jedes andere Argument ungleich null kann nicht auf die Nullklasse abgebildet werden, aber ich kann das mathematisch nicht ausdrücken.

Zitat:

Zur Wohldefiniertheit: Die ist hier ja gar nicht zu zeigen. Ich weiß nicht, warum du dir darüber den Kopf zerbrichst.

Die ist nur zu zeigen, falls mein Definitionsbereich Äquivalenzklassen sind, wenn ich das jetzt richtig verstehe.

Zitat:

Zur Surjektivität: Das stimmt zwar, aber streng genommen postulierst du hier auch wieder einfach nur das, was du brauchst und nennst es Beweis. Ob man damit einverstanden ist, hängt im Allgemeinen davon ab, wie der Korrektor gelaunt ist und wie er dich einschätzt Big Laugh

Big Laugh

Oh man. Wenn das schwammig ist, dann will ich das so nicht stehen lassen. Aber ne andere Vorgehensweise fällt mir leider auch nicht ein.

Auf jeden Fall vielen Dank, dass du dir Zeit nimmst und geduldig bist Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.04.2013, 21:52

Che Netzer

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Zitat:

Original von Sendoh
Das mag trivial sein, aber Beweise sind mein Erzfeind.

Moment... Wenn du eine Funktionalanalysis-Vorlesung hörst, gehe ich mal davon aus, dass du Mathematik studierst (oder ist die fürs Nebenfach?).
Wenn Beweise dann dein Erzfeind sind, solltest du vielleicht überlegen, in einen weniger abstrakten Studiengang zu wechseln.

13.04.2013, 22:09

Sendoh

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Das war vllt zu scharf formuliert. Also ich bin jetzt im 4. Semester Wirtschaftsmathe und habe bisher alle Klausuren mehr oder weniger gut bestanden und es macht mir eig auch Spaß. Das Problem mit Beweisen ist, dass ich sie meist nachvollziehen, aber mir nur selbst schwer überlegen kann.

14.04.2013, 09:49

Sendoh

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Neuer Ansatz:

$\begin{eqnarray*} f:U_2\rightarrow V/U_1, f(u_2)=[u_2] \end{eqnarray*}$

Nach Defintion des Faktorraumes ohne Beachtung der Defintionsmege gilt immer: $\begin{eqnarray*} ker f=U_1 \end{eqnarray*}$
Hier: $\begin{eqnarray*} ker f=U_1\cap U_2\stackrel{\text{Vor.}}{=}\left\{0\right\} \Rightarrow \text{ $f$ injektiv} \end{eqnarray*}$

Ich habe inzwischen eingesehen, dass mein erster Versuch Unsinn ist.

14.04.2013, 10:16

tmo

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Ja, das macht schon mehr Sinn.

14.04.2013, 11:04

Sendoh

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Zur Surjektivität:
Es gilt: $\begin{eqnarray*} \text{$f$ surjektiv} \Leftrightarrow \text{Im $f$}=V/U_1 \end{eqnarray*}$

Also: $\begin{eqnarray*} \text{Im $f$}=f(U_2)=U_2+U_1=[U_2]=(U_2+U_1)/U_1\stackrel{\text{Vor.}}{=}V/U_1 \Rightarrow \text{$f$ surjektiv} \end{eqnarray*}$

15.04.2013, 19:13

Sendoh

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"push", da schon auf zweite Seite gerückt

15.04.2013, 19:16

tmo

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Ehrlich gesagt macht die Zeile, die da steht, ziemlich wenig Sinn.

Versuch es doch auf die klassische Art:

Sie $\begin{eqnarray*} [x] \in V/U_1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in V = U_1 + U_2 \end{eqnarray*}$ . Wie sieht $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ also aus?

15.04.2013, 19:24

Sendoh

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x lässt sich darstellen als x=u_1+u_2 für $\begin{eqnarray*} u_1\in U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_2 \in U_2 \end{eqnarray*}$ . Könnte man jetzt nicht auch über eine Projektionsabbildung g von $\begin{eqnarray*} V/U_1 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ argumentieren, sodass $\begin{eqnarray*} g(x)=g(u_1+u_2)=u_2 \end{eqnarray*}$ ?

15.04.2013, 19:26

tmo

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Wir haben $\begin{eqnarray*} x = u_1 + u_2 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} [x] = [u_1+u_2] = [u_1] + [u_2] \end{eqnarray*}$ .

Wie kannst du jetzt weitermachen? Denke dran, dass wir in $\begin{eqnarray*} V/U_1 \end{eqnarray*}$ rechnen.

15.04.2013, 19:32

Sendoh

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u_1~0 in V/U_1, also [u_1]+[u_2]=[0]+[u_2]=[0+u_2]=[u_2]

15.04.2013, 20:03

tmo

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Also $\begin{eqnarray*} [x] = [u_2] = f(u_2) \end{eqnarray*}$ .

Damit sind wir doch fertig.

15.04.2013, 20:47

Sendoh

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Ah, okay. Eigentlich ganz einfach Big Laugh

Big Laugh

Danke sehr

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