Vektor - Lage der Geraden

13.04.2013, 12:47

Tipso

Vektor - Lage der Geraden

Hallo,

Zitat:

Beurteilen Sie die Lage der beiden Geraden g1 (durch A und B) und g2 (durch C und D) rechnerisch und (zur Kontrolle) graphisch:
A (0 | 1), B (1 | 3); C (1 | 1), D (3 | 3)
Gibt es einen Schnittpunkt? Wenn ja, wo befindet er sich?

Wie gehe ich vor?

Wie können Geraden im R^2 zueinander liegen?

identisch, parallel oder schneidend.

Vorgang:

Sind die Richtungsvektoren ein vielfaches voneinander, dann sind diese parallel oder identisch, ansonsten schneiden sie sich.
edit: wenn sie linear abhg. sind, dann muss ich noch prüfen ob ein Punkt der einen Geraden auf der Geraden der anderen liegt.
Wenn ja, identisch; wenn nein, parallel.
Wenn es linear nicht abhängig ist, müssen sie sich schneiden oder sie sind windschief(R3).

Wie erhalte ich einen Schnittpunkt?

Ich muss die beiden Geraden gleichsetzen.

lg

13.04.2013, 13:06

Tipso

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1.
Aufstellen der Geraden.

$\begin{eqnarray*} g_1: X = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix} + a\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g_2: X = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix} + b\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Was ist hier "X"?

2.
Lineare Abhängigkeit

Ist der Richtungsv. der einen Geraden ein vielfaches des anderen?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ \end{pmatrix} = x\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ \end{pmatrix} = \frac{1}{2}2 =1 ; 1*2 = 2 \end{eqnarray*}$
Ich habe hier 2 verschiedene x-Werte, also sind sie nicht linear abhäng.

Daraus schließe ich, dass sie sich schneiden müssen, da es sich um R^2 handelt und windschf. Geraden nicht möglich sind.

3.
Schneiden von Geraden

a = 1 + b2
1 + a2 = 1 + b2 /-1:2
------------------------
a = b ???

Hier komme ich nicht mehr weiter.

weiterhin offen und nicht gelöst:

Zitat:

(zur Kontrolle) graphisch:

13.04.2013, 14:49

Dopap

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Zitat:

Original von Tipso
1.
Aufstellen der Geraden.

$\begin{eqnarray*} g_1: X = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix} + a\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g_2: X = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix} + b\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Was ist hier "X"?

Wie im R³ auch: $\begin{eqnarray*} \vec x = \binom x y =... \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ \end{pmatrix} = x\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ \end{pmatrix} = \frac{1}{2}2 =1 ; 1*2 = 2 \end{eqnarray*}$
Ich habe hier 2 verschiedene x-Werte, also sind sie nicht linear abhäng.

bitte kein x verwenden ( warum wohl ? ) besser die Buchstaben k oder p oder r ....

Zitat:

(I) a = 1 + b2
(II) 1 + a2 = 1 + b2 /-1:2
------------------------
a = b ???

bitte nicht b2 sondern 2b schreiben, man könnte einen Index vermuten.
Hier hätte man aus (I) a=1+2b einsetzen können aber egal.

(II) a=b warum Fragezeichen ? das jetzt in (I) einsetzen --->b

Ein LGS mit 2 Variablen musst du einfach "drauf" haben.

13.04.2013, 15:31

Tipso

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$\begin{eqnarray*} \vec x = \binom x y =... \end{eqnarray*}$

X steht also für $\begin{eqnarray*} \vec x = \binom x y =... \end{eqnarray*}$

Zitat:

bitte kein x verwenden ( warum wohl ? )

Weil einer meiner Variablen auch x ist.
----------------------------------------------------------------------
(I) a = 1 + 2b
(II) 1 + 2a = 1 + 2b
-----------------------------------

(II) a=b warum Fragezeichen ?

Würde bedeutet, dass a gleichgroß wie b ist.
Ich habe aber einen anderen Fehler gefunden, habe die Gleichung falsch aufgeschrieben.

(I) b = 1 + 2b

b = - 1

(II)
1 + 2a = 1 + 2*(-1)

a = -1

jetzt zur Probe beide Werte in Gleichung a oder b, da ich beide male ein richtiges Ergebnis erhalte, stimmt dieser. Ich habe einen Schnittp.. Um den genauen Schnittp.(ort) zu finden, setze ich einen Parameter in die jeweilige Geradengleichung ein.

Nächster Schritt, wenn alles bis hierher passt:
Schnittwinkel berechnen.

Ich bilde das Skalarprodukt ihrer Richtungsv.?

lg

13.04.2013, 15:41

Dopap

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Zitat:

Original von Tipso
$\begin{eqnarray*} \vec x = \binom x y =... \end{eqnarray*}$

X steht also für $\begin{eqnarray*} \vec x = \binom x y =... \end{eqnarray*}$

warum ein neuer Buchstabe ?

Schnittwinkel berechnen.
Ich bilde das Skalarprodukt ihrer Richtungsv.?

ja, richtig, vorrechnen !

13.04.2013, 16:08

Tipso

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Ich wundere mich einfach nur, dass im X sehr viel mehr drinnen steckt als ich dachte.

Notation ist mir hier nicht bekannt.

$\begin{eqnarray*} g_1 \times g_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ \end{pmatrix} *\begin{pmatrix}2 \\ 2 \\ \end{pmatrix} <br /> = 5 \end{eqnarray*}$

durch Beträge der beiden Richtungsv.

$\begin{eqnarray*} \frac{5}{5*8} = \frac{5}{40} = 0,125 \end{eqnarray*}$

invers cos(0,125) = 82,81°

Da kleiner als 90°, stimmt dieser und ist auch richtig.

13.04.2013, 16:42

Dopap

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Zitat:

durch Beträge der beiden Richtungsv.

$\begin{eqnarray*} \frac{5}{5*8} = \frac{5}{40} = 0,125 \end{eqnarray*}$

die Beträge sind aber $\begin{eqnarray*} \sqrt 5 \quad \text{und} \quad \sqrt 8 \end{eqnarray*}$

eventuell auch an anderer Stelle korrigieren !

13.04.2013, 16:56

Tipso

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Zitat:

eventuell auch an anderer Stelle korrigieren !

ansonsten sollte es passen.

$\begin{eqnarray*} \frac{6}{\sqrt{5} \sqrt{8} } = \frac{5}{40} = 1,59 \end{eqnarray*}$

Error.

13.04.2013, 18:02

mYthos

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Zitat:

Original von Tipso
...
$\begin{eqnarray*} \frac{6}{\sqrt{5} \sqrt{8} } = \frac{5}{40} = 1,59 \end{eqnarray*}$
...

Was soll DAS denn?
Abgesehen davon, dass im Zähler 6 zu stehen hat, stimmt da überhaupt nichts, in keiner Weise!
Da warst du wohl sehr schläfrig, oder?

Also nochmals und bitte, diesmal krame deine Algebrakenntnisse zusammen .. Big Laugh

13.04.2013, 18:13

Tipso

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Nochmal.

Der erste Fehler liegt hier:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ \end{pmatrix} *\begin{pmatrix}2 \\ 2 \\ \end{pmatrix} <br /> = 5 \end{eqnarray*}$

1 * 2 + 2*2 = 6

Richtige Notation fehlt mir hier:

$\begin{eqnarray*} \frac{6}{\sqrt{5} \sqrt{8} } = \frac{6}{6,32} = 0,948 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos(0,948)^{-1} = 18,43° \end{eqnarray*}$

13.04.2013, 18:20

Dopap

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Zitat:

Original von Tipso

$\begin{eqnarray*} cos(0,948)^{-1} = 18,43° \end{eqnarray*}$

stimmt. Nochmal : das hoch -1 an den Kosinus schreiben, sonst wäre tatsächlich

$\begin{eqnarray*} cos(0,948)^{-1} = \frac {1} {cos(0,948)} \end{eqnarray*}$

gemeint.

13.04.2013, 18:21

Tipso

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