Gruppen mit 3 Konjugiertenklassen

13.04.2013, 14:28	giq	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppen mit 3 Konjugiertenklassen Meine Frage: Hallo liebe Leute, ich würde gerne alle vorerst endlichen Gruppen $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ bestimmen, die genau 3 Konjugiertenklassen besitzen. Meine Ideen: Für ein $\begin{eqnarray} x \in G \end{eqnarray}$ bezeichne $\begin{eqnarray} x^G \end{eqnarray}$ die Konjugiertenklasse von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ . Daher gilt wegen $\begin{eqnarray} 1^G=\{1\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|G\|=1+\|x^G\|+\|y^G\| \quad mit \quad y^G \cap x^G = \emptyset \end{eqnarray}$ . Des Weiteren weiß ich, dass $\begin{eqnarray} \|x^G\|=\|G:G_x\| \, \, \Big\vert \, \, \|G\| \quad und \quad \|y^G\|=\|G:G_y\| \, \, \Big\vert \, \, \|G\| \end{eqnarray}$ Ich weiß außerdem, dass $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_3 \end{eqnarray}$ eine solche Gruppe ist. Aber es gibt doch bestimmt noch mehr dieser Gruppen. Vielen Dank schon einmal
13.04.2013, 15:13	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist jetzt eigentlich nur noch elementare Teilertheorie. Wir haben einerseits $\begin{eqnarray} n = 1+a+b \end{eqnarray}$ und andererseits $\begin{eqnarray} a \| n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \| n \end{eqnarray}$ . Schau nun, welche ganzzahligen Tripel positiver Zahlen $\begin{eqnarray} n,a,b \end{eqnarray}$ diese Bedingungen erfüllen. Danach musst du natürlich noch schauen, welche Gruppen mit $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Elementen wirklich in Frage kommen.
13.04.2013, 23:30	giq	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey tmo, dank dir. Ich hab jetzt mal mit nem kleinen Programm mir die möglichen Lösungen bis maximal 1000 ausgeben lassen. $\begin{eqnarray} (n,a,b) \in \{ (3,1,1),(4,2,1),(6,3,2)\} \qquad () \end{eqnarray}$ Krieg das irgendwie nicht auf die Reihe zu zeigen, dass das alle sind^^. Okay, aber trotzdem weiß ich nun, dass die abelschen Gruppen mit Ordnung 4 bzw. 6 wegfallen, da die ja 4 bzw. 6 Konjugiertenklassen besitzen. Die $\begin{eqnarray} S_3 \end{eqnarray}$ besitzt aber 3 Konjugiertenklassen (Per Hand nachgeprüft). Kann man das auch schöner zeigen? Und wie kann man zeigen, dass $\begin{eqnarray} () \end{eqnarray}$ wirklich gilt? Eine andere Frage ergibt sich mir dabei noch. Gibt es auch unendliche Gruppen die nur 3 Konjugiertenklassen besitzen? Dank dir für deine Bemühungen.
15.04.2013, 13:27	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu $\begin{eqnarray} n=1+a+b \end{eqnarray}$ : Wenn Du den Fall $\begin{eqnarray} a=b \end{eqnarray}$ separat betrachtest, kannst danach o.B.d.A. annehmen, dass $\begin{eqnarray} a< b \end{eqnarray}$ ist. Dann folgt $\begin{eqnarray} n\leq 2b \end{eqnarray}$ . Gruß Reksilat

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