Lagebestimmung - Gerade, Ebene

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Tipso Auf diesen Beitrag antworten »
Lagebestimmung - Gerade, Ebene
Hallo,

Zitat:

Erläutern Sie die relative Lage der Geraden g (durch P und Q) und der Ebenen Epsilon.
Berechnen Sie Abstand bzw. Schnittpunkte und Schnittwinkel.






Vorgehenweise:

Wie können Geraden und Ebenen liegen?

Parallel, identisch, schneiden, windschiefverwirrt letzteres geht nicht).

ident

Alle Punkte der Geraden liegen auf der Ebene.
lässt sich am leichtesten dadurch beweisen, dass der Richtungsv. der Geraden mit dem Normalv. der Ebenen orthogonal ist.

a.
Berechnung des Normalvec.
b.
Skalares Produkt



Notation weiß ich hier nicht genau:



Wenn dies orthogonal ist, wissen wir, dass entweder die Gerade unendlich viele Schnittp. oder nur einen hat.

Soweit richtig?

Nächster Schritt:

Wie überprüfe ich, ob ein Punkt in der Ebene liegt?
Ich setze den Stützvektor in die Ebene hinein?
Was wenn ich die Parameterform der Ebene gegeben habe bzw. die Normalenform und eben nicht die koordinatenform?

Hessesche Abstandformel für Ebenen?
Dann gibt es diese auch noch für Geraden, soweit ich weiß. verwirrt
lg
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagebestimmung - Gerade, Ebene
Zitat:
Original von Tipso
...
ident

Alle Punkte der Geraden liegen auf der Ebene.
lässt sich am leichtesten dadurch beweisen, dass der Richtungsv. der Geraden mit dem Normalv. der Ebenen orthogonal ist.
...

Nein, das ist KEIN Beweis. Denn genau dies gilt auch, wenn die Gerade parallel zu der Ebene verläuft.
____________________

Sag' einmal, gibt's nicht ohnehin schon einen Thread mit dem gleichen Sachverhalt von dir?
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist nicht die gleiche Aufgabe, hat Ähnlichkeiten, zugegebenermaßen.

Ich versuche es mich in diesem Thread möglichst auf das Rechnen und übersichtlich halten zu beschränken.

Vektoren - Aufgabe 2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Zitat:
Alle Punkte der Geraden liegen auf der Ebene.
lässt sich am leichtesten dadurch beweisen, dass der Richtungsv. der Geraden mit dem Normalv. der Ebenen orthogonal ist.


Dazu muss ein Punkt der Geraden in der Ebene liegen.
Es gilt, liegt ein Punkt der Geraden in der Ebenen, liegen alle Punkte der Geraden in der Ebene. Lässt sich dadurch erklären, dass die Gerade orthogonal + einen Punkt auf der Ebene hat, damit muss die Gerade in der Ebenen liegen.

Ansonsten schneiden sie sich (ausnahme r^3 - option von windschiefe)

Berechnung.

Vektorprodukt um orthogonalität zu überprüfen.
Wenn orthogonal, dann Punkt von Geraden in die Ebene setzen.

Je nach Ergebnis - weiterer Verlauf.

lg
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin mir hier schon wegen meines weiteren Rechenweges sehr unsicher.

Vektorprodukt, right?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Also zunächst: Eine Ebene und eine Gerade können zueinander NIE windschief liegen, wenn die Gerade nicht parallel zu der Ebene ist. Denn jede zu der Ebene nicht parallele Gerade schneidet diese Ebene irgenwann einmal.
_____________

Zur Aufgabe:

Wovon willst du das Vektorprodukt bilden?
Der Normalvektor der Ebene ist aus deren Gleichung abzulesen. Der Richtungsvektor der Geraden wird aus den beiden gegebenen Punkten bestimmt.
Von den beiden könnte man zwar das Vektorprodukt bilden, aber dann solltest du wissen, welche Konsequenz daraus gezogen werden kann ...
Leichter ist es, nachzusehen, ob diese beiden Vektoren linear abhängig (parallel) sind, d.h. ob sie proportionale Komponenten haben.

Zum Schluß verfahre so, wie du es beschrieben hast, setze einen Punkt der Geraden in die Ebenengleichung ein, damit ersichtlich ist, ob die Gerade IN der Ebene liegen kann.

mY+
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
[quote]Original von mYthosAlso zunächst: Eine Ebene und eine Gerade können zueinander NIE windschief liegen, wenn die Gerade nicht parallel zu der Ebene ist. Denn jede zu der Ebene nicht parallele Gerade schneidet diese Ebene irgenwann einmal.


Wo ist dann der Unterschied zwischen parallelität und windschiefe? verwirrt
beides sind parallel aber windschief ..? verwirrt
Für mich unlogisch.
_____________

Zur Aufgabe:

Zitat:
Wovon willst du das Vektorprodukt bilden?Der Normalvektor der Ebene ist aus deren Gleichung abzulesen. Der Richtungsvektor der Geraden wird aus den beiden gegebenen Punkten bestimmt.Von den beiden könnte man zwar das Vektorprodukt bilden, aber dann solltest du wissen, welche Konsequenz daraus gezogen werden kann ...


Winkel zwischen Ebene und Gerade.


Zitat:
Leichter ist es, nachzusehen, ob diese beiden Vektoren linear abhängig (parallel) sind, d.h. ob sie proportionale Komponenten haben.


Damit beweist man, ob diese parallel sind.
Zitat:
Zum Schluß verfahre so, wie du es beschrieben hast, setze einen Punkt der Geraden in die Ebenengleichung ein, damit ersichtlich ist, ob die Gerade IN der Ebene liegen kann.


Wird dann auch gemacht.

lg

Ps.
Ich werde morgen Früh versuchen die Aufgabe zu machen.
Mir geht es gesundheitlich (Bronchitis) nicht so gut. Ich hoffe, dass es ab Morgen etwas besser geht.

Gute Nacht und (thx) bis bald.
 
 
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Rechnung bzw. Rechenweg:





richtige Notation verwirrt



-2 - 2 = -4

-(0 - 3 )= 3

0 - 3 = - 3

Mein Ergebnis in der Vektor schreibweise:



Dieser Vektor steht Normal auf die Gerade und auf meine Ebene.
---------------------------------------------------------------------------------

Konsequenz daraus verwirrt


Lineare Abhängigkeit - Richtungsv. ist ein Vielfaches vom Normalv. der Ebenen.














daraus folgt, Ebene und Gerade ist linear nicht abhängig, daraus folgt, es muss sich schneiden.
Zitat:
Zum Schluß verfahre so, wie du es beschrieben hast, setze einen Punkt der Geraden in die Ebenengleichung ein, damit ersichtlich ist, ob die Gerade IN der Ebene liegen kann.


benötige ich hier ja nicht glaube ich, würde ich benötigen wenn sie parallel sind um herauszufinden ob sie parallel oder ident sind. verwirrt

---------------------------------------------------------------------------------

Schnittp. berechnen
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Windschief (andere Bezeichnung: Kreuzend) können nur Geraden verlaufen, bei Ebenen oder Ebene mit Gerade ist das nicht der Fall.
Die Parallelität ist ein besonderer Fall und dabei wird NICHT von windschief gesprochen.

Im Betrag des Vektorproduktes ist - zusammen mit den Beträgen der Vektoren - auch der Sinus des Winkels enthalten. Ich glaube aber nicht, dass du das wirklich gemeint hast.

In deiner Rechnung hättest du also nur den Betrag des Vektorproduktes untersuchen müssen (ob dieser Null ist oder nicht). Die Proportionalität zu dem Geradenvektor gibt da KEINEN Aufschluß!
Also, vergiß das einmal, weil es die Aufgabe nur unnötig verkompliziert.
__________________

Gehe nochmals vom Normalvektor der Ebene (0; 1; 1) und dem Geradenvektor (3; 2; -2) aus. Diese beiden kannst du bereits auf [EDIT:] Orthogonalität untersuchen*, also ist hier das Vektorprodukt gar nicht zu bilden!
Und weil die beiden offensichtlich nicht proportional sind, gibt es einen Schnittpunkt.
Diesen kannst/sollst du nun ausrechnen ...

(*) Wenn nämlich die Gerade auf der Ebene senkrecht steht, IST bereits deren Richtungsvektor proportional zu dem Normalvektor der Ebene! Mache dir das mittels einer Skizze klar!
EDIT: Das ist zwar nicht falsch, ist aber für dieses Problem hier nicht relevant.
-----------
Vielmehr ist das Skalarprodukt zu untersuchen, dieses ist bei Orthogonalität gleich Null.


mY+

EDIT: Nicht zutreffende Passagen redigiert. Korrektur eingefügt. Durchgestrichenes ist falsch.
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
In deiner Rechnung hättest du also nur den Betrag des Vektorproduktes untersuchen müssen (ob dieser Null ist oder nicht). Die Proportionalität zu dem Geradenvektor gibt da KEINEN Aufschluß!Also, vergiß das einmal, weil es die Aufgabe nur unnötig verkompliziert.


Eine andere Methode um parallelität zu berechnen. Freude


Zitat:
Richtungsvektor proportional zu dem Normalvektor der Ebene


Verstehe nicht ganz was du mit "proportional" meinst.

Der Normalv. der Ebene steht normal zur Ebene, wenn dieser auch normal zum Richtungsv. der Geraden und damit zur Geraden steht, ist die Gerade und die Ebene parallel oder ident.

*
ebenen und geraden und ident - da bin ich mir jetzt nicht ganz sich ob "ident" überhaupt möglich - es heißt - Gerade liegt in der Ebene.
smile

Schnittp. berechnen



Notation: P_0 ist unser Stützvec.

p geschnitten mit epsilon =



Edit:
Hier wird nicht der Schnittp. sondern beantwortet ob meine Geraden in der Ebene liegt oder nicht. verwirrt

*
Was mache ich mit dem x-Wert des Vec. - meine Ebene hat keinen x-Wert. verwirrt

*
Was wenn ich die Parameterform der Ebene gegeben habe bzw. die Normalenform und eben nicht die koordinatenform?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn zwei Vektoren parallel sind, dann sind die Komponenten des einen ein Vielfaches jener des anderen. Das ist mit Proportionalität gemeint.
Z.B. (3; -6; 9) und (-2; 4; -6)

Wenn kein x-Wert der Ebene zu sehen ist, brauchst du auch kein x dort einsetzen.
Genauer: Es steht dort 0*x und was auch immer dort eingesetzt wird, es bleibt Null.

Und wie stellt man fest, ob zwei Vektoren orthogonal sind?

mY+
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
(3; -6; 9) und (-2; 4; -6)


Die sind aber nicht parallel zueinander. verwirrt

Zitat:
Und wie stellt man fest, ob zwei Vektoren orthogonal sind?


Wenn das Skalare Produkt 0 ist.

Rechnen von Schnittp.

Dafür setze ich die Gerade in die Ebene ein.

Wenn ich eine Variable als Ergebnis erhalte, habe ich den Parameter für den Schnittp. der Geraden mit der Ebene oder der Ebene mit der Gerade.

Bei 1 = 1 oder dergleichen = identisch und bei falscher Gleichung = parallel.

Wichtig:
Richtige Notation!!!.







verwirrt
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tipso
Zitat:
(3; -6; 9) und (-2; 4; -6)


Die sind aber nicht parallel zueinander. verwirrt
...


Sind sie doch Big Laugh . Aber lassen wir das mal.

Zum anderen:

Es ergibt sich tatsächlich eine falsche Aussage, was sagt uns das?
Dass es keinen Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene gibt.

Leider hast du es geschafft, mich - vor lauter Normalität und Parallelität - doch noch aus dem Konzept zu bringen, sodass ich vorhin etwas nicht Zielführendes geschrieben habe:
Die Proportionalität der beiden Vektoren: Normalvektor der Ebene und Geradenvektor ist hier nicht zu untersuchen, ausser man will zeigen, dass die Gerade senkrecht zu der Ebene steht, dann kann man das so machen.

Entschuldige bitte das Versehen, ich möchte das korrigieren:

Also, wenn Gerade und Ebene parallel sind, gibt es keine Lösung (für den Parameter und damit gibt es keinen Schnittpunkt), wenn du versuchst, in die Ebenengleichung die Parameterform der Geraden einzusetzen, das hast du eben gesehen.

Alternative mittels Vektoren gerechnet: Es muss das skalare Produkt der beiden Vektoren: Normalvektor der Ebene und Geradenvektor berechnet werden. Wenn dieses Null ist, stehen diese beiden Vektoren aufeinander normal und die Gerade ist daher parallel zur Ebene, andernfalls gibt es einen Schnittpunkt.

Also testen wir das mal mit den Vektoren (0; 1; 1) und (3; 2; -2), deren skalares Produkt ist 0*3 + 1*2 - 1*2 = 0, somit stehen diese beiden aufeinander senkrecht! Die Gerade ist sohin parallel zu der Ebene oder liegt sogar in ihr. Wie der Fall tatsächlich liegt, das hast du nun mittels der Punktprobe noch zu überprüfen.

mY+
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Sind sie doch Big Big Laugh . Aber lassen wir das mal.


haste natürlich Recht. Big Laugh (1/3) ist der Parameter.

-------------------------------------------------------------------------------------

Punktprobe

Ich nehme irgendeinen Punkt der Geraden und setze diese in die Ebenengleichung.

Das Ergebnis muss ein wahre Gleichung ergeben, wenn mein P in der Ebene liegt, ansonsten liegt diese nicht in der Ebene.













Ungleichung, daraus folgt, die Gerade liegt nicht in der Ebene und daraus folgt, sie ist parallel zu der Ebene.

lg
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es smile
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Gute Nacht. Freude
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