Beweise zu Gruppen/Strukturtafeln |
| 15.04.2013, 13:41 | michael_123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Beweise zu Gruppen/Strukturtafeln Hey, Soll für die Uni 5 Beweise machen, jedoch haben wir sowas noch nie gemacht und ich weiß auch nicht wie man so etwas angeht. Habe mir natürlich aber schon einige Sachen dazu überlegt. Wir sollen beweisen: -(Q,+) ist eine abelsche Gruppe - (Q-{0}, *) ist eine abelsche Gruppe - (Sn, o) ist eine Gruppe, jedoch nicht abelsch - Wortgruppe(A*, o) ist eine nicht-abelsche Gruppe Meine Ideen: Generell ist ja zu sagen, dass für eine Gruppe das Assoziativgesetz, neutrales Element, inverses Element gelten muss. Abelsch wird das ganze mit dem Kommutativgesetz. //in der Vorlesung haben wir Brüche dieser Schreibweise geschrieben [Zähler,Nenner] (Damit keine Verwirrung aufkommt, keine Ahnung ob das Konvention ist) -(Q,+) ist eine abelsche Gruppe: Ass: [m,n] + ([a,b] + [c,d]) = ([m,n] + [a,b]) + [c,d] --> [m,n] + ([ad+bc, bd]) = [mb+na, nb] + [c,d] --> [mbd + nad+nbc, nbd] = [mbd+nad+nbc, nbd] Neutrales Element: [e1,e2] + [m,n] = [m,n] --> [e1n + e2m, e2n] = [m,n] --> [e2* (e1/e2) *n +m, e2n] = [m,n] --> [(e1/e2)n + m, n] = [m,n] --> (e1/e2) muss 0 sein Inverse: [m,n] + [i1,i2] = 0 --> [mi2 + ni1, ni2] = 0 --> i2 = -n && i2 = m also im Endeffekt -[m,n] Kommutativgesetz: [m,n] + [i,j] = [i,j] + [m,n] --> [mj+ni, nj] = [in+jm, jn] - (Q-{0}, *) ist eine abelsche Gruppe hab ich analog dazu gemacht zu (Sn,o) hab ich überhaupt keine Idee (kA wie man mit Permutationen allg. was beweisen soll) - Wortgruppe(A*,o) ist eine nicht-abelsche Gruppe: Assoziativgesetz ist kein Problem, nur frage ich mich wie ich hier auf ein neutrales bzw inverses Element kommen soll? Muss ich mir das selbst definieren? Also z.b e = ' ' o.Ä? Ich weiß ist recht viel, aber ich hoffe ich bekomme die ein oder andere Hilfe 
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| 15.04.2013, 14:10 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Beweis zu (Q,+) ist richtig, (Q\{0},*) geht analog. Schau dir mal an, wie man in der symmetrischen Gruppe rechnet,d.h. wie die Verknüpfung definiert ist. |
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| 15.04.2013, 18:57 | michael_123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hey, also wie man mit der Verknüpfung rechnet ist mir eigentlich klar (wenn du von den Permutationen sprichst). An Beispielen wird mir auch klar, dass das Assoziativgesetz gilt. Aber wie soll ich das verallgemeinern? also z.b (1 2 3) o ((2 3 1) o (3 1 2)) = ((123)o(231))o(312) --> (123)o(123) = (123) = (231)o(312) = (123) Nicht kommutativ seh ich auch ein, aber eben auch nur an einem Beispiel, was bei nicht gelten ja denke ich reichen sollte. Zu der Aufgabe mit der Wortgruppe (A*,o) ist das neutrale Element anscheinend ' ', hätte ich auch getippt. Aber wie ich dann auf das Inverse kommen soll ist mir auch schleierhaft, sollte man das selber definieren? Also ne "Subtraktion" für Strings o.Ä.? |
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| 15.04.2013, 18:58 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ihr habt die doch sicher formal definiert. Wie denn? |
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| 15.04.2013, 19:17 | michael_123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja nicht viel Bijektionen einer Menge M auf sich selbst: z.b M = {1,...n} Sn = S[M] = bijektive Selbstabbildung der Zahlen 1 - n ; #Sn = n! Komposition / Verkettung: ( |
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| 15.04.2013, 19:27 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, also. Elemente aus der sind insbesondere Abbildungen. Und die Verkettung von Abbildungen ist IMMER assoziativ. |
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| 15.04.2013, 19:36 | michael_123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
eieiei. Das ist mir jetzt gar nicht aufgefallen, das reicht schon als Beweis? Neutrales Element wäre dann (1,...n)? und das Inverse einfach die selbe Permutation? |
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| 15.04.2013, 19:52 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du solltest dich an Einstein halten, der bekanntlich empfahl, die Dinge so einfach wie möglich zu machen, aber eben nicht einfacher. 
Wenn wirklich alle Permutationen der selbstinvers wären, wäre dies das Ende von großen Teilen der klasischen Algebra. Zum Glück ist dem nicht so, sondern dies gilt nur für n<3....
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| 15.04.2013, 20:09 | michael_123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
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da hast du wohl recht. Haben in den Laboren bisher nur mit n=3 und mit Strukturtafeln "gerechnet". Weiß trotzdem noch nicht so wirklich wie ich das für den Beweis dann verallgemeinern soll. :/ |
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| 15.04.2013, 20:14 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du solltest hier aufhören mit den Permutationen zu rechnen. Das ist zwar ein Handwerk, dass man auch beherrschen sollte, aber hier bei dieser Aufgabe, solltest du dich streng an die formale Definition halten. Dass bijektive Abbildungen stets inverse Abbildungen induzieren, sollte dir z.b. auch eine bekannte Tatsache sein... @Mystic: Inbesondere wäre jede Gruppe nach dem Satz von Cayley dann abelsch und ein -Vektorraum.
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| 15.04.2013, 20:43 | michael_123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ah okey 
. Also reicht es einfach aus zu sagen, dass es sich hier um eine bijektive Abbildung handelt? Dachte es hier sowas wie bei (Q,*) gesucht, also was konkretes. |
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| 15.04.2013, 21:20 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Solch eine Frage ist immer schwer zu beantworten. Natürlich reicht dies aus. Wenn es dir aber eben noch nicht ausreicht, dann hast du es wohl noch nicht komplett verstanden und solltest es dir klarmachen, warum es ausreicht. Und zu deinem Wunsch nach etwas konkretem: Eigentlich solltest du auch wissen, wie man die Umkehrabbildung konkret konstruiert. |
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