Aufgabe zu Zufallsvariablen und Erwartungswert

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Duude Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe zu Zufallsvariablen und Erwartungswert
Hallo,
ich möchte gerne folgende Aufgabe lösen:
Seien unabhängige identisch verteilte Zufallsvariablen mit und . Weiterhin sei N eine Zufallsvarialbe mit Werten in 0,1,2,... unabhängig von allen . Dann ist

.

Ist N poisson-verteilt mit Parameter lambda, so gilt

Der zweite Teil ist klar, denn für eine Poissonverteilte Zufallsvariable gilt, dass der Erwartungswert gleich lambda ist.

Beim ersten Teil habe ich aber noch Schwierigkeiten.

Man könnte vielleicht die Gleichung so umformen:
.

Probleme habe ich vor allem mit dem N, das kann ich noch nicht so wirklich in Verbindung mit den anderen Zufallsvariablen bringen..

Außerdem wundere ich mich, dass dort genau Y_1 steht, warum gerade diese Zufallsvariable? Und gilt das dann nicht auch für alle anderen Y_i (wenn sie denn kleiner als unendlich sind)?

Überlegt habe ich mir noch, dass die Verteilungen alle den gleichen Erwartungswert haben, da sie ja identisch verteilt sind.. (da bin ich mir aber nicht sicher, ob das so stimmt)


Würde mich über Hilfe sehr freuen.
lg Duude
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Duude
Man könnte vielleicht die Gleichung so umformen:
.

Der Schlüssel zur Lösung ist, dass man diese Summe mit einer zufälligen Anzahl von Summanden zu einer Summe mit einer festen Anzahl von Summanden macht - mit den Mitteln der bedingten Wahrscheinlichkeit: Nach der Formel der totalen Wahrscheinlichkeit gilt



das gilt auch für die Zufallsgröße . Es folgt für diesen Teil des Summanden

.

Das erste Gleichheitszeichen gilt, weil die Summandenanzahl unter der genannten Bedingung konstant gleich ist, während das zweite Gleichheitsszeichen aus der Unabhängigkeit der Zufallsgrößen von resultiert. Wie die weitere Rechnung geht, ist nun hoffentlich klar.



Zitat:
Original von Duude
Außerdem wundere ich mich, dass dort genau Y_1 steht, warum gerade diese Zufallsvariable?

Das hat keinen besonderen Grund: Da alle identisch verteilt sind, könnte da auch oder ein anderes stehen. Da es egal ist, nimmt man als Repräsentant eben naheliegenderweise die erste Größe in der Reihe.


EDIT: Ich sehe gerade einen Fehler in deinen (und von mir auch per Copy+Paste übertragenen) Formeln: Die Summe über die beginnt nicht bei , sondern erst bei .

EDIT2 (17.04.13):

Zitat:
Original von Duude
Würde mich über Hilfe sehr freuen.

Sieht irgendwie nicht so aus. Aber vielleicht hast du den Thread auch einfach vergessen.
Duude Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal vielen Dank für deine ausführliche Antwort und sorry, dass ich nicht direkt geantwortet habe. Ich habe den Thread nicht vergessen, nur aus zeittechnischen Gründen noch nicht geantwortet.

Die Summe sollte bei i=1 beginnen. Das stand schon falsch in der Aufgabenstellung, sollte aber natürlich geändert werden.

Zitat:
Wie die weitere Rechnung geht, ist nun hoffentlich klar.


Ich würde hier so weiter verfahren:


Dabei gilt das erste Gleichheitszeichen, da die unabhängig identisch verteilt sind. Das steht dabei nur für einen Repräsantanten, wie du erklärt hast. Es könnte hier genauso gut jede der Größen bis stehen.

Ich hoffe du bist damit einverstanden
lg
dinzeoo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ich hoffe du bist damit einverstanden


ich bin zwar nicht hal aber sehr wahrscheinlich wird er damit nicht einverstanden sein.


Zitat:

hier so weiter verfahren:



selbst wenn diese gleichungen stimmen würden, wäre

.

noch nicht gezeigt. in deiner letzten gleichung verwendest du übrigens E(N)=n, aus deiner aufgabenstellung ist das aber nicht gegeben. schau dir am besten nochmal hal's beitrag an, speziell
dieser teil:

Zitat:
Original von HAL 9000


das gilt auch für die Zufallsgröße


sollte in deiner rechnung auch auftauchen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Den Anmerkungen von dinzeoo gibt es nichts hinzuzufügen.
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