Dreiecksungl. Norm

16.04.2013, 00:04

Normse

Dreiecksungl. Norm

Hey Leute,

ich hab folgende Aufgabe zu lösem:

Sei V ein normierter Vektorraum. Zeigen Sie, dass für alle x,y in V gilt:

Betrag( $\begin{eqnarray*} ||x|| - ||y|| \end{eqnarray*}$ ) $\begin{eqnarray*} \leq ||x-y|| \end{eqnarray*}$

also um die linke seite noch Betragsstriche. Ich habe nun versucht die rechte Seite umzustellen.. aber irgendwie komme ich nicht weiter ..

$\begin{eqnarray*} ||x-y|| = ||-x + y|| \leq ||-x|| + ||y|| = ||x|| + ||y|| \end{eqnarray*}$

Da stellt sich mir jetzt die Frage, wie schaffe ich den Übergang zum Betrag (x-y) zumal, mein kleiner gleich dann auch falschrum wäre traurig

Kann mir da evtl. mal jemand nen kleinen Tipp oder anderen Ansatz geben?

Ich sag schonmal vielen Dank! smile

16.04.2013, 01:36

RavenOnJ

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RE: Dreiecksungl. Norm
Nur ein kleiner Trick:

$\begin{eqnarray*} \left\Vert x\right\Vert - \left\Vert y\right\Vert \le \left\Vert x-y\right\Vert \end{eqnarray*}$

umstellen durch Addition von $\begin{eqnarray*} \left\Vert y\right\Vert \end{eqnarray*}$ , ergänzen einer Null in $\begin{eqnarray*} \left\Vert x\right\Vert \end{eqnarray*}$ und die Dreiecksungleichung anwenden.

16.04.2013, 09:09

Explo

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RE: Dreiecksungl. Norm

Zitat:

Original von RavenOnJ

umstellen durch Addition von $\begin{eqnarray*} \left\Vert y\right\Vert \end{eqnarray*}$ ,

Um $\begin{eqnarray*} \left\Vert x\right\Vert - \left\Vert y\right\Vert \end{eqnarray*}$ sind ja nochmal Betragsstriche. Darf ich da $\begin{eqnarray*} \left\Vert y\right\Vert \end{eqnarray*}$ dann trotzdem "einfach" addieren ?!

16.04.2013, 09:15

RavenOnJ

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Dieses "Betrag(...)" hatte ich übersehen. Das ändert aber nicht viel. Du musst halt zwei Fallunterscheidungen treffen und in einem Fall $\begin{eqnarray*} \left\Vert y\right\Vert \end{eqnarray*}$ addieren, im anderen Fall $\begin{eqnarray*} \left\Vert x\right\Vert \end{eqnarray*}$ und beachten, dass $\begin{eqnarray*} \left\Vert x-y\right\Vert = \left\Vert y-x\right\Vert \end{eqnarray*}$ .

16.04.2013, 09:17

Explo

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Alles klar, danke schonmal^^ ich schau mir das heute Nachmittag mal an und melde mich dann smile

Danke!

16.04.2013, 15:55

Explo

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Ich habe grad mal etwas "durchgerechnet".

Fall 1: Sei $\begin{eqnarray*} ||x|| \geq ||y|| \end{eqnarray*}$

Dann kann man die Betragsstriche ja weglassen.

$\begin{eqnarray*} ||x|| - ||y|| \leq ||x-y|| \leq ||x|| + ||y|| \end{eqnarray*}$ Dann auf beiden seiten $\begin{eqnarray*} ||y|| \end{eqnarray*}$ addieren und man hat:

$\begin{eqnarray*} ||x|| \leq ||x|| + 2||y|| \end{eqnarray*}$

Aus positiver definitheit folgt: q.e.d.

Fall 2.. $\begin{eqnarray*} ||y|| > ||x|| \Rightarrow ||x|| - ||y|| < ||y|| - ||x|| \leq ||x-y|| = ||y-x|| \leq ||y|| + ||x|| \end{eqnarray*}$

Dann auf "beiden Seiten" $\begin{eqnarray*} ||x|| \end{eqnarray*}$ addieren und man hat:

$\begin{eqnarray*} ||y|| \leq ||y|| + 2||x|| \end{eqnarray*}$ und wieder dank positiv: q.e.d

Sollte dann passen oder?! Hammer

16.04.2013, 18:43

RavenOnJ

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Nee, das passt nicht. Die Folgerung $\begin{eqnarray*} a-b < a+b, a,b >0 \end{eqnarray*}$ ist leider trivial.

Es geht doch darum zu zeigen, dass gilt

$\begin{eqnarray*} |\left\Vert x\right\Vert - \left\Vert y\right\Vert | \le \left\Vert x-y\right\Vert \end{eqnarray*}$

1. Fall: $\begin{eqnarray*} \left\Vert x\right\Vert > \left\Vert y\right\Vert \end{eqnarray*}$ also zu zeigen: $\begin{eqnarray*} \left\Vert x\right\Vert - \left\Vert y\right\Vert \le \left\Vert x-y\right\Vert \end{eqnarray*}$

Der Trick ist das Ergänzen einer Null in $\begin{eqnarray*} \left\Vert x\right\Vert \end{eqnarray*}$ , d.h.

$\begin{eqnarray*} \left\Vert x\right\Vert = \left\Vert x -y +y\right\Vert \end{eqnarray*}$

und dann weitermachen. Den anderen Fall analog behandeln.

16.04.2013, 19:05

Explo

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Zitat:

Original von RavenOnJ
Die Folgerung $\begin{eqnarray*} a-b < a+b, a,b >0 \end{eqnarray*}$ ist leider trivial.

Was meinst du damit? Bzw wüsst ich grad nicht, warum das meinen Beweis stört verwirrt

16.04.2013, 19:14

Explo

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Zitat:

Original von Explo
$\begin{eqnarray*} ||x-y|| \leq ||x|| + ||y|| \end{eqnarray*}$

Falls sich das darauf bezog: das war von mir nur sehr verkürzt geschrieben. Ausgeschrieben wäre es:

$\begin{eqnarray*} ||x-y|| = |-| \cdot ||-x+y|| = ||-x+y|| \leq ||-x|| + ||y|| = |-| \cdot ||x|| + ||y|| = ||x|| + ||y|| \end{eqnarray*}$

16.04.2013, 20:34

RavenOnJ

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Ich bezog das auf deine Ungleichungskette

$\begin{eqnarray*} \left\Vert x\right\Vert - \left\Vert y\right\Vert \le ||x-y|| \leq \left\Vert x\right\Vert + \left\Vert y\right\Vert \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} a=\left\Vert x\right\Vert > 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=\left\Vert y\right\Vert >0 \end{eqnarray*}$ wird das zu

$\begin{eqnarray*} a-b\le a+b \end{eqnarray*}$

was nicht zielführend ist. Die rechte Ungleichung ist klar wegen der Dreiecksungleichung, aber die linke? Die hast du damit nicht bewiesen.

Zitat:

Original von Explo

Zitat:

Original von Explo
$\begin{eqnarray*} ||x-y|| \leq ||x|| + ||y|| \end{eqnarray*}$

Es ist unklar, was du damit zeigen willst. Inwiefern folgt jetzt die zu beweisende Ungleichung?

16.04.2013, 21:03

Explo

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Aaaah, jetzt seh ich meinen Fehler.. Ich hab angenommen, dass die Ungleichung (die zu beweisen ist) stimmt.

Und dann gezeigt, dass die Annahme zu einer wahren Ungleichung führt.

Und wie du schon gesagt hattest .. das reicht natürlich nicht.

Auf ein Neues! Ich meld mich Tanzen

16.04.2013, 21:37

Explo

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zz:

$\begin{eqnarray*} |\left\Vert x\right\Vert - \left\Vert y\right\Vert | \le \left\Vert x-y\right\Vert \end{eqnarray*}$

Fall 1 nun $\begin{eqnarray*} ||x|| \geq ||y|| \end{eqnarray*}$

Dann kann man die Betragsstriche weglassen also:

$\begin{eqnarray*} ||x|| - ||y|| = ||x-y+y|| - ||y|| \leq ||x-y|| + ||y|| - ||y|| = ||x-y|| \end{eqnarray*}$

Fall 2: $\begin{eqnarray*} ||y|| < ||x|| \end{eqnarray*}$

Dann: $\begin{eqnarray*} | \left\Vert x\right\Vert - \left\Vert y\right\Vert | = ||y|| - ||x|| \end{eqnarray*}$

und da dann analog mit $\begin{eqnarray*} ||y|| = ||y-x+x|| \end{eqnarray*}$ (sodass sich x dann wieder kürzt)

Nachtrag: und am Ende setzte bzw zeigt man dann, dass $\begin{eqnarray*} ||y-x|| = ||x-y|| \end{eqnarray*}$

16.04.2013, 21:44

RavenOnJ

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