Unbestimmte Integrale

17.04.2013, 12:16

hoernchen

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Unbestimmte Integrale

Meine Frage:
Hallo,

ich soll einige unbestimmte Integrale berechnen. Komme bei den meisten Aufgaben leider überhaupt nicht weiter und alle meine Versuche sie zu Lösen sind gescheitert.

1. $\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{(x^{2}-1 )^{2} } \, dx \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{(x^{2}+1 )^{2} } \, dx \end{eqnarray*}$

3. $\begin{eqnarray*} \int \! \frac{x^{2}+1 }{(x+1)^{2}(x-1) } \, dx \end{eqnarray*}$

Danke Euch!

Meine Ideen:
Vielleicht hat jemand eine Idee welche Methoden man für diese Integrale verwenden sollte?

17.04.2013, 12:54

grosserloewe

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RE: Unbestimmte Integrale
Wink

Wink

zu1.) Partialbruchzerlegung

Zu2) Substitution x=tan (z)

Zu3) Partialbruchzerlegung

Leider sind hier komplette Lösungen nicht erwünscht , sonst hätte ich es Dir
mal an einem Beispiel komplett erläutert

17.04.2013, 13:33

RavenOnJ

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@grosserloewe
Es geht an diesem Board darum, Hilfestellung zu leisten, keine Komplettlösungen anzubieten. Die Fragesteller sollen selber etwas tun, damit sie die Verfahren durch Üben lernen. Vorbeten macht da keinen Sinn.

17.04.2013, 15:55

hoernchen

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So richtig hilft mir das leider noch nicht.

Also, bei der 2. Aufgabe.

Ich setze $\begin{eqnarray*} x = tan(t) \end{eqnarray*}$

Ich erhalte $\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{(tan(t)^{2}+1 )^{2} } * sec(t)^{2} \, dt \end{eqnarray*}$

Das kann ich umformen zu $\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{sec(t)^{2} } \, dt \end{eqnarray*}$

Und wie mache ich dann weiter?

Außerdem habe ich noch eine Frage. Woran erkennt man, welche Methode angewant werden muss. Zum Beispiel bei 1 und 2 ist "nur" ein Vorzeichen anders und schon ändert sich die Methode. Woran erkenne ich das?

17.04.2013, 16:19

grosserloewe

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Wink

Hallo

Gemäß Wikipedia gilt:

$\begin{eqnarray*} sec(x) = \frac{1}{cos(x)} \end{eqnarray*}$

dann erhälst Du ein Cos Integral , das Du einfach integrieren kannst.
Vorher aber bitte noch durch die Winkelbeziehungen umformen und
dann erst Integrieren.

17.04.2013, 16:54

grosserloewe

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Wink

hallo,

noch zu Deiner anderen Frage

Außerdem habe ich noch eine Frage. Woran erkennt man, welche Methode angewant werden muss. Zum Beispiel bei 1 und 2 ist "nur" ein Vorzeichen anders und schon ändert sich die Methode. Woran erkenne ich das?

----------->Bei der Integration gibt es kein allgemeines Kochrezept, ist viel Erfahrung das Lösen. Bei dieser Aufgabe handelt es sich beim Nenner um
komplexe Nullstellen . Sicherlich kann man hier auch die Partialbruchzerlegung
anwenden , ich habe mich halt für diese Substution entschieden , deswegen.

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17.04.2013, 22:52

grosserloewe

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RE: Unbestimmte Integrale
Wink

Wink

Hallo

Zu1)

$\begin{eqnarray*} x^{2} -1 =(x-1)(x+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\int\frac{1}{(x-1)^2(x+1)^2} \, dx \end{eqnarray*}$

Hierbei handelt es sich um den Fall, das der Nenner nur reelle, aber nicht notwendig einfache Nullstellen hat.
Es hilft folgender Ansatz:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(x-1)^2(x+1)^2} \, \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{A}{x-1} +\frac{B}{(x-1)^2} +\frac{C}{x+1}+\frac{D}{(x+1)^2} \end{eqnarray*}$

Im weiteren wird ein Koeffizientenvergleich durchgeführt

Schauh bitte in den Vorlesungen , sowas wurde bestimmt behandelt

17.04.2013, 23:04

grosserloewe

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RE: Unbestimmte Integrale
Wink

Wink

Zu3)

ist ähnlich , wie Aufgabe 1

hier führt folgender Ansatz zum Ziel:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2+1}{(x-1)(x+1)^2} =\frac{A}{x-1} +\frac{B}{x+1}+\frac{C}{(x+1)^2} \end{eqnarray*}$ und anschließender Koeffizientenvergleich

Wenn Du weitere ganz spezielle Fragen hast, kannste mir auch gern eine Mail schreiben smile

smile

bis dann

Der Grosse Loewe

18.04.2013, 15:45

hoernchen

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RE: Unbestimmte Integrale
Vielen Dank dir! Ich hatte leider bis jetzt keine Zeit mehr, mir die Aufgaben nochmal anzuschauen. Werde dies aber jetzt tun. smile

smile

18.04.2013, 18:33

hoernchen

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RE: Unbestimmte Integrale
Aufgaben 1 und 3 habe ich nun gelöst. An Aufgabe 2 hänge ich noch immer.

Ich mache mal bei meiner letzten Umformung weiter:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{sec(t)^{2} } \, dt \end{eqnarray*}$

Daraus ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \int \! cos^{2}(t) \, dt \end{eqnarray*}$

was sich zu

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1+cos(2t)}{2} \, dt \end{eqnarray*}$ umformen lässt.

Es folgt

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \int \! 1 \, dt + \frac{1}{2} \int \! cos(2t) \, dt \end{eqnarray*}$

und nun

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} t + \frac{1}{4} sin(2t)+c \end{eqnarray*}$

Wir wissen, dass $\begin{eqnarray*} t=arctan(x) \end{eqnarray*}$

Also folgt

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} arctan(x) + \frac{1}{4} sin(2arctan(x))+c \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig? Da bin ich mir nämlich gar nicht sicher...

18.04.2013, 19:06

HAL 9000

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Bei 2. kann man alternativ auch über den folgenden "trigonometriefreien" (oder zumindest -armen) Weg zum Ziel kommen:

Partialbruchzerlegung

P.S.: Aus $\begin{eqnarray*} \sin(2t) = 2\sin(t)\cos(t) = 2\tan(t)\cos^2(t) = \frac{2\tan(t)}{1+\tan^2(t)} \end{eqnarray*}$ folgt übrigens

$\begin{eqnarray*} \sin(2\arctan(x)) = \frac{2x}{1+x^2} \end{eqnarray*}$ ,

damit lässt sich dein Ergebnis etwas gefälliger schreiben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.04.2013, 22:47

grosserloewe

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RE: Unbestimmte Integrale
Wink

Wink

Hallüchen

ja ich habe das gleiche Ergebnis bei Aufgabe 2 auch heraus.

Hinweis , falls Du Aufgabe 2 interessenhafterweise mit der Partialbruchzerlegung machen willst , kannst Du es ja mit folgendem Ansatz probieren:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(x^2+1)^2} =\frac{Ax +B}{(x^2+1)^2} +\frac{Cx+D}{x^2+1} \end{eqnarray*}$

:-)

Bis mal wieder Wink

Wink

18.04.2013, 23:04

HAL 9000

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Zitat:

Original von grosserloewe
Hinweis , falls Du Aufgabe 2 interessenhafterweise mit der Partialbruchzerlegung machen willst , kannst Du es ja mit folgendem Ansatz probieren:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(x^2+1)^2} =\frac{Ax +B}{(x^2+1)^2} +\frac{Cx+D}{x^2+1} \end{eqnarray*}$

Falls das eine Anspielung auf

Zitat:

Original von HAL 9000
Bei 2. kann man alternativ auch über den folgenden "trigonometriefreien" (oder zumindest -armen) Weg zum Ziel kommen:

Partialbruchzerlegung

sein soll, dann hast du nicht mitgekriegt, dass es in dem Link nicht um die Partialbruchzerlegung an sich, sondern um die nichttriviale Integration des bereits ja vorliegenden Partialbruches selbst geht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Um die Quintessenz zusammenzufassen: Für $\begin{eqnarray*} n>1 \end{eqnarray*}$ gilt die Rekursion

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{(x^2+1)^n} ~ \dd x = \frac{x}{2(n-1)(x^2+1)^{n-1}} ~ + ~ \frac{2n-3}{2n-2} \cdot \int \frac{1}{(x^2+1)^{n-1}} ~ \dd x \end{eqnarray*}$

18.04.2013, 23:21

grosserloewe

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RE: Unbestimmte Integrale
Wink

Wink

Nein , Es ist KEINE Anspielung auf Deinen Beitrag

Ich schrieb weiter oben:

Sicherlich kann man hier auch die Partialbruchzerlegung
anwenden , ich habe mich halt für diese Substution entschieden , deswegen.

Ich meinte meinen EIGENEN Beitrag

:-)

Hab das schon mitbekommen .......:-)

aber mit diesem meinen Weg wird Sie keine Freude haben, denke

20.04.2013, 10:54

hoernchen

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RE: Unbestimmte Integrale
Vielen Dank euch beiden!

Eine Frage hätte ich aber noch... und zwar zur Partialbruchzerlegung.
Wann hat man im Zähler nur z.B. ein A und wann schreibt man Ax+B?
Wonach wird das entschieden?

20.04.2013, 11:56

grosserloewe

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RE: Unbestimmte Integrale
Wink

Wink

Hallo

Bei der Partialbruchzerlegung gibt es m.E, 3 allgemeine Fälle:

1.) Nenner hat nur einfache reelle Nullstellen
2.) Nenner hat nur reelle, aber nicht notwendig einfache Nullstellen
3.) Nenner besitzt auch nicht reele Nullstellen .

Für Fall 1 und 2) : z.B. nur ein A
Für Fall 3) : Ax+B

20.04.2013, 12:16

Mathesüchtiger

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Ich denke es ist noch zu erwähnen, dass man bei rationalen Funktionen, bei dem der Grad vom Zähler größer als der Grad vom Nenner ist, zuerst Polynomdivision und erst dannach entsprechend Partialbruchzerlegung anwenden muss.

Gruß

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