Untervektorraum Nullvektor

17.04.2013, 20:42	Roy Black	Auf diesen Beitrag antworten »
Untervektorraum Nullvektor Meine Frage: Folgende Fragestellung: Zeigen Sie, dass jeder Untervektorraum den Nullvektor des Vektorraumes enthalten muss. Meine Ideen: Anhand des Unterraumkriterium von Vektorräumen wissen wir, dass folgende Bedingungen erfüllt werden müssen um einen Unterraum zu generieren: V ist ein K-Vektorraum und $\begin{eqnarray} U\subset V \end{eqnarray}$ eine nicht leere Teilmenge. 1.) $\begin{eqnarray} u+v \in U \forall u, v\in U \end{eqnarray}$ 2.) $\begin{eqnarray} \alpha \cdot u \in U \forall u\in U, \forall \alpha \in K \end{eqnarray}$ 3.) (Nullvektor vorhanden) reicht es nun, wenn ich denn Nullvektor nehme und diese Bedingungen durchgehe? d.h. $\begin{eqnarray} 0+ 0= 0<br /> \alpha \cdot 0= 0 \end{eqnarray}$
17.04.2013, 21:06	Algebrafan	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus einer der ersten beiden Bedingungen folgt sofort, dass die 0 immer enthalten sein muss
17.04.2013, 21:19	Roy Black	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann folgt es aus der 2ten Bedingung, da ein Skalar mit 0 multipliziert ja immer 0 ist. Korrekt?
17.04.2013, 21:59	Algebrafan	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber du gehst ja bereits davon aus, dass die 0 im Untervektorraum enthalten ist...das willst du doch zeigen.
18.04.2013, 17:17	Nubler	Auf diesen Beitrag antworten »
du betrachtest einen vektorraum über einen kommutativen ring mit 1 du weisst, das $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ in den ring ist was liegt deshalb auch im ring? mit deiner zweiten bedingung, welcher vektor muss damit auch im vektorraum liegen? was bedeutet dies nun im zusammenhang mit der ersten bedingung?
20.01.2016, 21:39	Fenixe	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorraum => Nullelement? > du betrachtest einen vektorraum über einen kommutativen ring mit 1 Woher weiß man das mit dem Ring? Ach ja, ein Vektorraum braucht ja immer ein Körper über dem er definiert wird. Ist jetzt jeder Körper auch ein Ring der zusätzlich die 1 enthält? Ja macht Sinn, wenn man die eins als Neutrales Element bzgl. Multiplikatrion auffasst. > du weisst, das $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ in den ring ist Ja, muss ja wegen der Definition $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ liegt in K so sein > was liegt deshalb auch im ring? Naja im Ring immer ein inverses Element zur Addition liegen $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ + X = $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ oder? > mit deiner zweiten bedingung, welcher vektor muss damit auch im vektorraum liegen? Damit die Addition Abgeschlossen ist muss ja die addition von zwei Elementen wieder im Körper liegen. Also (- X + X ) element K > was bedeutet dies nun im zusammenhang mit der ersten bedingung? Wenn es ein inverses Element gibt, dann muss es ja auch ein Neutrales Element geben. Im "normalen" Fall ist das ja Null. !!! Und jetzt wirds heikel für mich: wenn wir sagen Null muss immer in einem Untervektorraum sein, meinen wir damit einfach das Neutrale zur Addition (das ja je nach Def. nicht unbedingt die normale Null sein muss) Und ist nach dieser Art der Begründung nicht auch für JEDEN Vektorraum (nicht nur für die Untervektorräume) gefordert, dass er diese Null enthält??
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