Bijektivität beweisen

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Sanguinius Auf diesen Beitrag antworten »
Bijektivität beweisen
Hi,

habe hier folgende Aufgabe:

mit

beweisen Sie, dass f bijektiv ist.

Also es ist zu zeigen: 1. f ist injektiv, 2. f ist surjektiv.

Meine Ideen:

1.

Kann ich nicht einfach die Gleichung "aufsplitten"? Für hätte man dann:

Für hätte man: . Also ist f injektiv.

2.

Könnte ich hier vielleicht durch Fallunterscheidung zeigen, dass alle geraden und ungeraden y aus |N angenomen werden? Also ich nehme die 4 Paare (gerade, gerade), (ungerade, ungerade), (ungerade, gerade) und (gerade, ungerade).
Nubler Auf diesen Beitrag antworten »

solang du begründest, warum du aufsplitten darfst
Sanguinius Auf diesen Beitrag antworten »

zur 2.:

Da bin ich echt noch am Grübeln. Ich muss ja im Grunde zeigen, dass man Paare bilden kann sodass JEDES Element aus |N mindestens einmal getroffen wird. Die ungeraden natürlich Zahlen werden definitiv mindestens einmal getroffen, weil für gilt: . Das Problem ist, dass ich kein Paar finde, sodass ich nur die geraden Zahlen heraus bekommen.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du bei der Injektivität denn dein "Aufsplitten" begründen können? Man kann das sonst auch sehr schön direkt zeigen. Setze



und führe [Edit: Tippfehler korrigiert] zum Widerspruch. Das ist auch ein Einzeiler.

Allgemein ein Urbild anzugeben könnte jedenfalls schwierig sein. Würde ich auch gar nicht anstreben. Wie wäre es denn einfach mal mit ein bisschen Text? Das Urbild konkret anzugeben dürfte sehr schwierig sein, weil es da so viele Fälle gibt bei den geraden Zahlen. Für Zweierpotenzen ist es einfach, dann ist m=1. Was ist aber mit dem Rest? Wird schwierig...

Nimm dir eine beliebige natürliche Zahl.

Wenn diese Zahl gerade ist, kannst du sie durch 2 teilen. Ist sie dann immer noch gerade, teilst du wieder durch 2. Und so weiter und so fort, irgendwann bleibt dann nur noch eine ungerade Zahl übrig. Und dann hast du doch eine Zerlegung in eine Zweierpotenz und eine ungerade Zahl und genau das wollen wir ja haben. Denn das 2m-1 deckt ja JEDE ungerade natürliche Zahl wohl ab.

Und wenn die Zahl ungerade ist, hast du schon sofort eine passende Zerlegung mit , wie du schon sagtest.

Wir müssen ja gar nicht wissen, wie das Urbild aussieht. Wir müssen nur zeigen, dass es eins gibt.

Mit der Injektivität folgt dann die Eindeutigkeit, also dass jede natürliche Zahl sich eindeutig in ein Produkt aus einer Zweierpotenz und einer ungeraden Zahl zerlegen lässt.
Sanguinius Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

deinen Vorschlag zur Injektivität kann ich nicht so ganz nachvollziehen verwirrt Warum willst du n ungleich q zum Widerspruch führen?

Ich dachte an eine etwas umfassendere Fallunterscheidung, aber ich vermute, da steckt dein Vorschlag mit drin?!

1. und
2. und
3. und
4. und

Nur der erste Fall führt zu einer wahren Aussage. Demnach ist f injektiv.

Das zur Surjektivität gefällt mir gut und ich kann es auch nachvollziehen Freude
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du das alles richtig nachrechnen konntest, soll mir das Recht sein. Augenzwinkern Geht eben auch ohne irgendwelche Fallunterscheidungen ganz direkt.

Ich hatte natürlich auch einen Tippfehler drin, gemeint war , sorry.

Was ich meinte: Wenn , dann setzen wir zum Beispiel o.B.d.A. (das können wir machen, denn eins von beiden muss ja größer sein als das andere, so bleibt alles schön ganzzahlig) und dividieren auf beiden Seiten durch . Dann erhalten wir



Nun steht links das Produkt einer geraden und einer ungeraden Zahl, also insgesamt eine gerade Zahl. Rechts steht allerdings eine ungerade Zahl. Widerspruch, also muss sein und damit natürlich auch .
 
 
Sanguinius Auf diesen Beitrag antworten »

Jo, das ist schöner. Danke.
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