Modell: Anzahl Tiere vs. nötige Fläche

18.04.2013, 17:28	79616363	Auf diesen Beitrag antworten »
Modell: Anzahl Tiere vs. nötige Fläche Hallo, ich hab folgendes Problem, bei dem ich ein mathematisches Modell brauche. Genau gesagt geht es um Ratten und welche Fläche eine gewisse Anzahl dieser Tiere braucht um sich wohl zu fühlen. Es geht dabei um Heimtierhaltung und somit um relativ kleine Populationen $\begin{eqnarray} n\leq 25 \end{eqnarray}$ Da gibt es zwar schon Tools, die aber nach dem Mond gehen. Die Fachliteratur bzgl. Farbratten und deren Platzbedarf ist mehr als dürftig und ungenau obendrein. Genau genommen gibt es nur drei halbwegs belegte Punkte, die obendrein noch unscharf sind (von ... bis … Tiere) – Na toll, so kann man arbeiten Viel mehr gibt es nicht, nur halt eine schwammige Aussage über einzuhaltende Mindestmaße bei der Grundfläche (rechteckiger Grundriss vorausgesetzt). Diese Angaben liegen nur für drei Tiere vor, den Rest darf man sich aus den Fingern saugen. Dann gibt es noch die tolle Aussage, dass der zusätzlich benötigte Platz für jede weitere Ratte abnehmend sei. Wenn ich ein in böser Mensch wär, dann würd ich da sagen, dass ich die Umkehrfunktion nehm, da ne Quadratische rein leg und das wider rumdrehe. Fein, das erfüllt sämtliche Forderungen, ich kann die Interpolation machen, die Steigung ist stets positiv, die Steigung nimmt ab und blah blah blah – Also alles erfüllt? Ja schon, nur sinnvoll ist das net! Ich bin ja selbst Rattenhalter und so ein Modell wollt ich denen net antun. Dazu muss man nur überlegen, dass dann $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty }\frac{f(n)}{n}=0 \end{eqnarray}$ wäre! Feine Sache, bei sehr vielen Ratten braucht eine dann fast gar keinen Platz mehr? Kann ich irgendwie net recht glauben! Viel glaubhafter erscheint mir, das $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty }\left[f(n)-p(n)\right]=0 \end{eqnarray}$ gelten muss und $\begin{eqnarray} p(n) \end{eqnarray}$ linear ist. D.h $\begin{eqnarray} f(n) \end{eqnarray}$ ist hat irgend ne Gerade als Asymptote. Dann wird jedem Tier nämlich auch bei großen n zumindest ne Mindestfläche zugestanden. Deshalb hab ich die Forderungen etwas verschärft bzw. ergänzt: $\begin{eqnarray} f(n)>0; f(x_{i})=y_{i}, i \in \left\{ 1 ... 3\right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(n)>0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(n)\geq 0; \lim_{n \to \infty } f''(n) = 0 \end{eqnarray}$ Okay, das ist immer noch sehr schwammig und das muss bestimmt noch weiter verschärft werden. Zumindest Funktionen die $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } f''(n)= 0 \end{eqnarray}$ einhalten gibt es aber gar viele und auch die anderen Bedingungen bringen net viel. Ich hab auch schon daran gedacht die Wahrscheinlichkeitstheorie zu bemühen um ein Modell zu finden. Immerhin darf man annehmen, dass Ratten Rudeltiere sind und einen Lieblingsplatz im Gehege haben. Die Wahrscheinlichkeit dass sie sich vom Lieblingsplatz wo anders hin verziehen nimmt mit wachsender Entfernung ab. Aber mit welcher Verteilung? Wie würdet ihr das Ding angehen? Ich würd mich sehr über eine Antwort freuen. Viele Grüße, Uli und die Teppichmonster PS: Sorry, bin mit dem Formeleditor noch net ganz firm.
19.04.2013, 09:25	79616363	Auf diesen Beitrag antworten »
Uih, böser Fehler, die Bedingunge hätten natürlich heißen sollen: $\begin{eqnarray} f(n)>0 \end{eqnarray}$ für n>0 $\begin{eqnarray} f'(n)>0 \end{eqnarray}$ für n > 0 $\begin{eqnarray} f''(n)\leq 0; \lim_{n \to \infty } f''(n) = 0 \end{eqnarray}$ . Hmm, ein Bild sagt manchmal mehr als tausend Worte. So ungefähr müsste die Funktion aussehen: Externen Link entfernt, Bild ist angehängt. Steffen Das ist jetzt nur so ein zusammengenageltes gebrochen rationales Ding, das aber zumindest mal die ungefähre Form veranschaulichen soll. Achso, Beschreibung vom Bild: : $\begin{eqnarray} f(n) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(n) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(n) \end{eqnarray}$ Jetzt müsst man halt nur noch wissen, wie man aus den spärlichen Infos irgendwie ein passendes Modell baut. Bislang ist's bei mir ja mehr Raterei als Mathe Viele Grüße, Uli
19.04.2013, 10:42	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat man N Ratten, so kann man deren zeitliche Änderung $\begin{eqnarray} \tfrac{dN}{dt} \end{eqnarray}$ als Maß für das Wohlfühlen (Schlechtfühlen) betrachten. Die Ratten fühlen sich also besonders gut, wenn die Ableitung $\begin{eqnarray} \tfrac{dN}{dt}>0 \end{eqnarray}$ ein Maximum hat und besonders schlecht, wenn die Ableitung ( $\begin{eqnarray} \tfrac{dN}{dt}<0 \end{eqnarray}$ ein Minimum hat. Eine Modell-Variante wäre das sogenannte „Logistische Wachstum“ (Guck mal unter WIKIPEDIA). Dieses Modell basiert auf 2 Annahmen: Annahme 1: Je mehr Ratten da sind, um so mehr werden sterben bzw. geboren. Also ist die zeitliche Änderung $\begin{eqnarray} \tfrac{dN}{dt} \end{eqnarray}$ proportional zur Anzahl der Ratten, dh. $\begin{eqnarray} \tfrac{dN}{dt} \propto N \end{eqnarray}$ . Annahme 2: Der Lebensraum ist durch die Käfiggröße begrenzt. Wenn N=K die Kapazitätsgrenze ist, bei der aufgrund der Raumknappheit keine Geburten mehr stattfinden, dann kann man annehmen, dass die Geburtenrate proportional zu dem Abstand von dieser Kapazitätsgrenze ist, also proportional zur Differenz $\begin{eqnarray} 1-\tfrac{N}{K} \end{eqnarray}$ , dh. $\begin{eqnarray} \tfrac{dN}{dt}\propto 1-\tfrac{N}{K} \end{eqnarray}$ . Beide Proportionalitäten lassen sich zusammenfassen zu einer Gleichung $\begin{eqnarray} \tfrac{dN}{dt}=r\cdot N\cdot (1-\tfrac{N}{K}) \end{eqnarray}$ . Der Proportionalistätsfaktor r kann als Maß für die „Gebärfreudigkeit“ der Ratten interpretiert werden. Wenn zu Beginn t=0 die Anzahl der Ratten $\begin{eqnarray} N=N_0 \end{eqnarray}$ beträgt, so lautet die Lösung der obigen Differenzialgleichung $\begin{eqnarray} N(t)=\frac{1}{(\tfrac{1}{N_0}-\tfrac{1}{K})e^{-rt}+\tfrac{1}{K}} \end{eqnarray}$ . Für große Zeiten $\begin{eqnarray} t \rightarrow \infty \end{eqnarray}$ schmiegt sich diese Kurve asympthotisch an die Gerade N(t)=K an, also an die Kapazitätsgrenze. Es sind 3 Fälle zu unterscheiden: Fall 1: N<<K, schnelles Wachstum, da man weit entfernt von der Kapazitätsgrenze K ist. Fall 2: N=K: Nullwachstum, weil die Kapazitätsgrenze erreicht ist Fall 3: N>K: Negativwachstum, weil die Anzahl über der Kapazitätsgrenze liegt Die Konstanten K und r muss man experimentell bzw. mittels Erfahrung bestimmen. Dann hätte man ein schönes Modell.
19.04.2013, 10:58	79616363	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Ehos, super, das sieht doch schon mal sehr brauchbar aus. Das muss mir am WE gleich mal richtig angucken, ob das so passen könnt bzw. sich mit belegten Erfahrungswerten ungefähr deckt. Das klingt aber sehr plausibel und könnt die Sache treffen. Ganz herzlichen Dank, jetzt kommt da hoffentlich etwas mehr Struktur rein und die Raterei hört auf. Nochmals vielen vielen Dank Viele Grüße, Uli und die Teppichmonster
21.04.2013, 09:03	79616363	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, etwas zu früh gefreut, irgendwie rechne ich da im Kreis. War aber trotzdem net schlecht, denn durch die nun langsam wieder kommende Übung bröckelt ein wenig der Rost aus dem alten Getriebe Der Ansatz taugt trotzdem was, irgendwie so muss es gehen - Nur anders Mittlerweile komm ich fast doch zum Schluss, dass ich die wenigen bekannten Messwerte nochmal genauer angucken sollte, dann rückwärts rechnen und so vielleicht was über die Dichtefunktion raus zu kriegen. Na ja, ich hab ja Zeit, also lass ich mir die auch. Wichtig war schon mal, dass der große Rostbrocken bei mir wieder raus ist Viele Grüße, Uli
21.04.2013, 11:44	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
@Ehos Die zeitliche Ableitung der Population als Maß für das Wohlfühlen der Ratten finde ich etwas gewagt. Dann müsste am Maximum der Population, wo ja $\begin{eqnarray} \frac{dN}{dt}\approx 0 \end{eqnarray}$ (nehmen wir mal N als stetig an, obwohl auch das fragwürdig ist) das Wohlfühlmaß nicht ganz mies sein. Wenn die Population dann abnimmt würden sich die Ratten erst mal immer mieser fühlen? Ich vermute, dass es eine optimale Dichte gibt, bei der die Ratten sich am wohlsten fühlen. Für kleinere Dichten könnte man die Reproduktionsrate als annähernd konstant ansehen, für größere dürfte sie abnehmen und die Sterberate dürfte sich erhöhen. Gemäß deinem Modell nähert sich die Population für alle Anfangsbedingungen monoton dem Wert K. Ich vermute eher, dass die Population sich einpendelt, so eine Art gedämpfter Schwingung. Das alles natürlich ohne stochastische Komponente, denn eigentlich müsste man wohl eine stochastische DGl aufstellen.
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24.04.2013, 06:38	79616363	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo RavenOnJ, ich hab die Problematik jetzt mal auf mich wirken lassen und nebenher andere Tools gebastelt. Ist oft ne gute Strategie mal was anderes zu machen und dann nochmal frisch anfangen ... Dann hab ich mir die vorhandenen Daten (veröffentlichte Erfahrungswerte) nochmal genau angeschaut und dargestellt. Okay, da ist ein brutales Rauschen drin und trotzdem lässt sich ein Trend erkennen. Das wichtigste Werkzeug, den Verstand, hab ich auch mal bemüht. Ich kam jetzt zu Schluss, das vorerst doch als Interpolationsproblem zu sehen und als interpolierende Funktion halt etwas zu nehmen, was dem Charakter der eigentlich gesuchten Funktion am ehesten entspricht. Die Forderungen sind halt, dass diese Funktion die Vorgabelpunkte trifft und eine schräge Asymptote hat. Punktsymmetrie im Ursprung wäre wünschenswert, ist aber nicht Bedingung. Nun was wär besser geeignet als in dem Fall eine gebrochen rationale Interpolierende mit speziellen Randbedingungen zu nehmen? Durch die Charakteristiken kann ich ja auch schon Forderungen an das Nenner und Zählerpolynom stellen (wo die Nullstellen ungefähr sind und welchen Grad welches hat) Ich denk so könnt ein Schuh draus werden. Danach kann ich ja versuchen das so zu untersuchen, dass was wahrscheinlichkeitstheoretisch Plausibles dabei raus kommt. Mal gucken, ob das klappt. Ja klar, das Pferd rumgedreht, aber was will man machen? Besser als das vorhandene Geeier wird das allemal. Ist ja alles nur zum Wohle der Teppichfräsen Dennoch begeistert mich die Idee immer noch, da ein selbstregulierendes Modell draus zu bauen ... Mit Nachwuchs und Tod lässt sich da so wohl nicht viel machen, die Anzahl der Ratten ist ja konstant. Insofern hat es eher damit zu tun, wie groß der Fleck wenn, wenn man nen Teller Erbsensuppe umwirft. Obwohl, der Nachwuchs-/Sterbeansatz könnt doch was werden, wenn man nicht die Funktion selbst, sondern deren Umkehrfunktion anpackt. So könnt das von Ehos vielleicht auch gemeint gewesen sein? Man fragt nimmer, wie viel Platz soundsoviel Ratten brauchen, sondern bis zu welcher Population sich die Ratten bei einer vorhandenen Kapazität ausdehnt. Hmm, das wird noch knifflig und eine elende Rechnerei. Da bin ich froh, dass ich Maple entstaubt hab ... Viele Grüße, Uli und die sechs Pelzknäuel.

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