Vektorräume beweisen

18.04.2013, 17:57

Agent 47

Vektorräume beweisen

Schönen Abend wünsche ich.
Ich würde gerne sicher gehen, dass ich auch wirklich verstanden habe wann eine Menge einen Vektorraum darstellt und wann nicht.
Und zwar z.B.:
i) Die Menge der Polynome mit Grad genau 2
Ist kein Vektorraum, da Vektoraddition zwar immer ein Polynom zweiten Grades ergibt, aber man bei Skalarmultiplikation ja auch mit Null multiplizieren kann, oder?
ii) Die Menge der Polynome mit grad höchstens 2
Selbiges wie oben, nur darf die Multiplikation mit Null jetzt auch das Nullpolynom ergeben.
iii) Die Menge der Polynome geraden Grades
Auch kein Vektorraum, da die Addition zwar wieder passt, aber das Nullpolynom ja den Grad $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ hat (und Null zwar gerade aber nur eine Zahl ist)
iv) $\begin{eqnarray*} \left\{ (a,b)\in \mathbb R ^2|a,b>0\right\} \end{eqnarray*}$
Ist auch kein Vektorraum, weil Vektoraddition immer die Bedingung a,b>0 erfüllt, ich aber mit einem negativen Skalar multiplizieren kann.
Stimmt das, bzw. vor allem auch die Begründungen?
Wäre super wenn mir das jemand bestätigen, bzw. etwaige Fehler aufzeigen könnte.

18.04.2013, 18:31

Leopold

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RE: Vektorräume beweisen

Zitat:

Original von Agent 47
i) Die Menge der Polynome mit Grad genau 2
Ist kein Vektorraum, da Vektoraddition zwar immer ein Polynom zweiten Grades ergibt, aber man bei Skalarmultiplikation ja auch mit Null multiplizieren kann, oder?

$\begin{eqnarray*} p(x) = 2x^2 - 3x + 1 \, , \ \ q(x) = -2x^2 + 5x - 2 \end{eqnarray*}$

Was ist der Grad von $\begin{eqnarray*} p+q \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von Agent 47
ii) Die Menge der Polynome mit grad höchstens 2
Selbiges wie oben, nur darf die Multiplikation mit Null jetzt auch das Nullpolynom ergeben.

Das Argument verstehe ich nicht.

Zitat:

Original von Agent 47
iii) Die Menge der Polynome geraden Grades
Auch kein Vektorraum, da die Addition zwar wieder passt, aber das Nullpolynom ja den Grad $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ hat (und Null zwar gerade aber nur eine Zahl ist)

vgl. i)

Zitat:

Original von Agent 47
iv) $\begin{eqnarray*} \left\{ (a,b)\in \mathbb R ^2|a,b>0\right\} \end{eqnarray*}$
Ist auch kein Vektorraum, weil Vektoraddition immer die Bedingung a,b>0 erfüllt, ich aber mit einem negativen Skalar multiplizieren kann.

Und wie ist das mit den Inversen bezüglich der Addition?

18.04.2013, 18:42

Agent 47

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RE: Vektorräume beweisen

Zitat:

Was ist der Grad von $\begin{eqnarray*} p+q \end{eqnarray*}$ ?

Ja richtig an das hatte ich mal wieder gar nicht gedacht. Danke :-)

Zitat:

Das Argument verstehe ich nicht.

Die Skalarmultiplikation muss ja mit jeder reellen Zahl wieder einen Vektor aus meiner Menge ergeben, der auch die Bedingungen dieser erfüllt.
Also kann ich ja auch mit Null multiplizieren, was aber kein Polynom mit Grad 2 ergibt. Ist das nicht korrekt?

Zitat:

Und wie ist das mit den Inversen bezüglich der Addition?

Hmm was meinst du damit? Verstehe ich jetzt leider nicht ganz.

18.04.2013, 19:11

Leopold

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RE: Vektorräume beweisen

Zitat:

Original von Agent 47
Die Skalarmultiplikation muss ja mit jeder reellen Zahl wieder einen Vektor aus meiner Menge ergeben, der auch die Bedingungen dieser erfüllt.
Also kann ich ja auch mit Null multiplizieren, was aber kein Polynom mit Grad 2 ergibt. Ist das nicht korrekt?

Aber bei ii) geht es doch um Polynome von höchstens zweitem Grad.

Zitat:

Original von Agent 47

Zitat:

Und wie ist das mit den Inversen bezüglich der Addition?

Hmm was meinst du damit? Verstehe ich jetzt leider nicht ganz.

Ich meine nicht, daß dein Argument bei iv) falsch ist. Ich wollte nur weitere interessante Gründe liefern. Damit es nicht langweilig wird, wenn man immer auf die skalare Multiplikation abhebt.

18.04.2013, 19:20

Agent 47

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RE: Vektorräume beweisen

Zitat:

Aber bei ii) geht es doch um Polynome von höchstens zweitem Grad.

Ok sorry, hab eben erst gesehen, wie schlecht ich mich da ausgedrückt habe.
Ich meinte bei Polynome mit Grad höchstens zwei ist es ein Vektorraum, weil auch die Skalarmultiplikation mit Null funktioniert was bei Grad genau zwei ja nicht der Fall war.

Zitat:

Ich wollte nur weitere interessante Gründe liefern.

Ja ist eh sehr gut. Ich nehme immer die Skalarmultiplikation weil es da (zumindest für mich) immer leichtere Gegenbeispiele gibt.
Trotzdem weiß ich nicht was du mit den Inversen meinst...wäre toll wenn du mir da noch einen Tipp geben könntest.
Aber jedenfalls noch mal Danke, hat mir sehr geholfen und mir gezeigt, dass ich es zumindest nicht komplett falsch verstanden habe. :-)

18.04.2013, 19:28

Leopold

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RE: Vektorräume beweisen

Zitat:

Original von Agent 47
Trotzdem weiß ich nicht was du mit den Inversen meinst...wäre toll wenn du mir da noch einen Tipp geben könntest.

$\begin{eqnarray*} x + \text{Inverses von} \ x = 0 \end{eqnarray*}$

Das Inverse von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ (bezüglich der Addition) wird üblicherweise mit $\begin{eqnarray*} -x \end{eqnarray*}$ bezeichnet. Und wie sieht es in iv) mit dem Inversen von z.B. $\begin{eqnarray*} (a,b) = (1804,2013) \end{eqnarray*}$ aus?

18.04.2013, 19:38

Agent 47

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RE: Vektorräume beweisen
Aber die Elemente des Vektors mit dem ich dann addieren muss (also das Inverse von x)sind doch nicht mehr größer als Null oder?
Nein tut mir leid ich kann gerade wohl nicht mehr denken.
Wie ist das gemeint?

18.04.2013, 19:40

Leopold

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RE: Vektorräume beweisen

Zitat:

Original von Agent 47
Aber die Elemente des Vektors mit dem ich dann addieren muss (also das Inverse von x)sind doch nicht mehr größer als Null oder?

Eben.

18.04.2013, 19:43

Agent 47

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RE: Vektorräume beweisen
Aber das Ergebnis erfüllt ja dann die Bedingung genauso wenig wie der zweite Vektor.
Ich dachte ich muss wenn dann einen zweiten Vektor finden der die Bedingung erfüllt und dann aber zeigen, dass das Ergebnis der Vektoraddition nicht mehr passt.
So haben wir es zumindest bei einem ähnlichen Beispiel gemacht.

18.04.2013, 19:52

Leopold

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Wir bekommen immer mehr Argumente, warum bei iv) kein Vektorraum vorliegt.

1. Jeder Vektorraum enthält ein neutrales Element der Addition (die Null, den "Nullvektor"). Also liegt bei iv) kein Vektorraum vor.

2. In einem Vektorraum gibt es zu jedem x ein Inverses bezüglich der Addition. Da nach 1. schon kein neutrales Element vorhanden ist, kann man auch gar nicht von Inversen reden.

18.04.2013, 19:55

Agent 47

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Ja stimmt. Ok danke jetzt hab ich es wohl endlich verstanden ^^
Vielen Dank nochmals!

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